高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线当堂检测题

抛物线的简单几何性质同步练习

一、选择题

1. 抛物线的准线方程是，则其标准方程是（ ）

A.  B.  C.  D.

2. 已知以圆的圆心为焦点的抛物线与圆C在第一象限交于点A，点B是抛物线上任意一点，BM与直线垂直，垂足为点M，则的最大值为             

A.  B. 2 C. 1 D. 8

3. 抛物线的焦点为F，准线为l，A，B是抛物线上的两个动点，且满足设线段AB的中点M在l上的投影为N，则的最小值是（ ）

A.  B.  C.  D. 2

4. 设O为坐标原点，直线与抛物线交于D，E两点，若ODOE，则C的焦点坐标为   

A. ， B. ， C.  D.

5. 抛物线上一点A的纵坐标为4，则点A与抛物线焦点的距离为     

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

6. 若抛物线的焦点为F，点P在此抛物线上且横坐标为3，则等于（ ）

A. 4 B. 6 C. 8 D. 10

7. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，Q两点，若，则的面积为（ ）

A.  B.  C.  D.

8. 设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于D，E两点，若，则C的焦点坐标为（ ）

A.  B.  C.  D.

9. 已知A为抛物线C：上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则

A. 2 B. 3 C. 6 D. 9

10. 过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点在x轴上方，l为C的准线，点N在l上，且，则M到直线NF的距离为（ ）

A.  B.  C.  D.

11. 已知抛物线C：，则焦点到准线的距离是（ ）

A.  B.  C. 3 D.

12. 设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为是抛物线上异于O的一点，过P作于Q，则线段FQ的垂直平分线（ ）

A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP

13. 已知抛物线焦点为F，经过F的直线交抛物线与，，点A、B在抛物线准线上的投影分别为，，以下四个结论：，，，的中点到抛物线的准线的距离的最小值为2，其中正确的个数为（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

14. 设双曲线C的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为若C的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，则双曲线C的方程为（ ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题

15. 从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且设抛物线的焦点为F，则的面积为________．
16. 如图，抛物线的一条弦AB经过焦点F，取线段OB的中点D，延长OA至点C，使，过点C，D作y轴的垂线，垂足分别为E，G，则EG的最小值为_______．
     
17. 设过抛物线上任意一点异于原点的直线与抛物线交于A，B两点，直线OP与抛物线的另一个交点为Q，则______．
18. 已知抛物线C：，点在抛物线上，则该抛物线的焦点F的坐标为______，点P到准线的距离为______．
19. 若直线经过抛物线的焦点，则______．

三、解答题

20. 已知抛物线G：，过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．
    当直线l的倾斜角为时，求抛物线G的方程；
    对于问中的抛物线G，若点，求证：为定值，并求出该定值．
    
    
    
    
     
21. 如图，已知点P是y轴左侧不含y轴一点，抛物线C：上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上．

Ⅰ设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；

Ⅱ若P是半椭圆上的动点，求面积的取值范围．


 

22. 已知直线l经过抛物线的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．
    若直线l的倾斜角为，求的值；
    若，求线段AB的中点M到准线的距离．
    
    
    
     
23. 已知抛物线C：上一点到其焦点F的距离为10．
    Ⅰ求抛物线C的方程；
    Ⅱ设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求的取值范围．
    
    
    
    
    
    
    
    

答案和解析

1.【答案】B
【解答】
解：由题意可知抛物线的焦点在y轴的负半轴，
设抛物线标准方程为：，
抛物线的准线方程为，
，
，
抛物线的标准方程为：．
故选B．
2.【答案】C
【解答】解：圆的圆心为，以其为焦点的抛物线方程为，
由解得．
抛物线的焦点为，准线方程为，
则，
当且仅当在之间三点共线时，可得最大值为1．
3.【答案】C
【解答】
解：设，，A，B在准线上的射影点分别为Q，P，连接AQ，BP，

由抛物线定义，得且，
在梯形ABPQ中根据中位线定理，得．
由勾股定理得，整理得：，
又，
，
当且仅当时取等号，
则．
，
即的最小值为．
故选C．
4.【答案】B

【解答】

解：根据题意，不妨设，，
因为，可得，所以，故，

所以抛物线C：，所以抛物线的焦点坐标为．
故选B．
5.【答案】D
【解答】解：因为，所以，所以，所以，
焦点坐标为，所以所求距离为．
6.【答案】B
 

【解析】解：抛物线的焦点在x轴上，，
由抛物线的定义可得：．
7.【答案】C

【解析】解：因为抛物线C：的焦点为F，所以，设直线l的方程为，
将代入，可得，设，，则，，
因为，所以，
所以，，
所以，即，
所以，
所以的面积，
故选：C．
设直线l的方程为，将代入，设，，利用韦达定理以及向量的关系，转化求解三角形的面积即可．
8.【答案】B
【解答】
解：将代入抛物线，可得，，可得，
即，解得，
所以抛物线方程为：，它的焦点坐标．
故选：B．
9.【答案】C
【解答】
解：A为抛物线C：上一点，
点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：；
故选：C．
10.【答案】C

【解析】解：抛物线C：的焦点，且斜率为的直线：，
过抛物线C：的焦点F，且斜率为的直线交C于点在x轴上方，l
可知：，解得
可得，NF的方程为：，即，
则M到直线NF的距离为：．
11.【答案】A

【解析】解：根据题意，抛物线C：，可得，，
焦点坐标为，准线方程为，
该抛物线的焦点到准线的距离等于：；
12.【答案】B

【解析】解：不妨设抛物线的方程为，则，准线l为，
不妨设，
，
设准线为l与x轴交点为A，则，
可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，
故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，
13.【答案】C
 

【解析】解：抛物线焦点为，准线方程为，
可设过F的直线方程为，
代入抛物线方程可得，
即有，，
；
AB的中点纵坐标为，
AB的中点到抛物线的准线的距离为，时，取得最小值2；
由，，，
可得，
即有，
综上可得正确，错误．
14.【答案】D
【解答】
解：抛物线的焦点坐标为，
则直线l的方程为，
双曲线C的方程为的渐近线方程为，
的一条渐近线与l平行，另一条渐近线与l垂直，
，，
，，
双曲线C的方程为，
故选：D．
15.【答案】10
【解答】解：由题意，得，则抛物线的准线方程为从抛物线上一点P引抛物线准线的垂线，设，则由抛物线的定义知，所以，所以，所以．
16.【答案】4
【解答】
解：设点，，
由题意可知，


，
当且仅当时等号成立，
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为，
联立
得，
所以，
所以，由此可知，

即EG的最小值为4．

当直线AB的斜率不存在时，直线AB：，此时，，
所以，，即，，所以．
综上，EG的最小值为4．
故答案为4．
17.【答案】3
【解答】
解：如图所示：

联立方程组，解得，
联立方程组，解得，
，，
．
故答案为：3．
18.【答案】 

【解析】解：由抛物线C：可知，焦点F的坐标为，
点在抛物线上，
，即，
又准线方程为，
点P到准线的距离为．
故答案为：，．
19.【答案】

【解析】解：可化为，焦点坐标为，代入直线方程可得．
故答案为：．
求出抛物线的焦点坐标，代入直线方程，求解即可．
20.【答案】解：抛物线G：，知，
设直线l的方程为，，
由 得：，
，显然成立．
可得，
，
，
可得．
当直线l倾斜角为时，，
，得，
所以抛物线G的方程为．
证明：由知，M为线段AB的中点，
且，
可得，，即，
又，
若满足题意，
此时．
综上为定值6．
21.【答案】解：Ⅰ证明：可设，，，
AB中点为M的坐标为，
抛物线C：上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上，
可得，
，
化简可得，为关于y的方程的两根，
可得，，
可得，所以点M与P的纵坐标相同，
则PM垂直于y轴；
Ⅱ若P是半椭圆上的动点，
可得，，，
由Ⅰ可得，，
由PM垂直于y轴，可得面积为


，
可令
，
可得时，t取得最大值；
时，t取得最小值2，
即，
则在递增，可得，
所以面积的取值范围为
22.【答案】解：由，准线方程为，焦点．
直线l的方程为，即．
与抛物线方程联立，消y，整理得，其两根为，，且．
由抛物线的定义可知，．
所以，线段AB的长是8．
，则
线段AB的中点M到准线的距离为．
，即可求线段AB的中点M到准线的距离．
23.【答案】解：Ⅰ已知到焦点F的距离为10，则点M到其准线的距离为10．
抛物线的准线为，，
解得，，抛物线的方程为分
Ⅱ由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为，则l：．
设，，由消去y得，，
，．
由于抛物线C也是函数的图象，且，则．
令，解得，，从而．
同理可得，，
．
，的取值范围为分