选择性必修 第一册空间向量的应用综合训练题

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已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))在直线l上的投影向量为eq \(AQ,\s\up6(→))＝a，则点P到直线l的距离为eq \r(a2－a·u2) (如图)．
二、点到平面的距离
已知平面的法向量为 , 是平面内的任一点，是平面外一点,过点作则平面的垂线，交平面于点,则点到平面的距离为（如图）.
注意：线面距、面面距均可转化为点面距离，用求点面距的方法进行求解。
直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。
三、异面直线所成角
若分别为直线的方向向量，为直线的夹角，则.
四、直线与平面所成角
1、夹角定义：设是直线的方向向量,是平面的法向量,直线与平面的夹角为.则.
2、利用空间向量求异面直线所成角的步骤：
（1）建立适当的空间直角坐标系，
（2）求出两条异面直线的方向向量的坐标，
（3）利用向量的夹角公式求出两直线方向向量的夹角，
（4）结合异面直线所成角的范围得到两异面直线所成角。
3、求两条异面直线所成角的两个关注点
（1）余弦值非负：两条异面直线所成角的余弦值一定为非负值，而对应的方向向量的夹角可能为钝角。
（2）范围：异面直线所成角的范围是（0，），故两直线方向向量夹角的余弦值为负时，应取其绝对值。
五、平面与平面的夹角
平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于的二面角称为这两个平面的夹角.
若分别为平面的法向量，为平面的夹角，则.
题型一 求点到直线的距离
【例1】已知点P(5，3，6)，直线l过点A(2，3，1)，且一个方向向量为，则点P到直线l的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意，，，，，，到直线距离为.故选：B.
【变式1-1】在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为点，则点到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．6
【答案】C
【解析】由题意，，，
的方向向量，，
则点到直线的距离为
.故选：C.
【变式1-2】如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，，
取AC的中点O，则，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点C到直线的距离为：.故选：D
【变式1-3】如图，已知正方体的棱长为1，则线段上的动点P到直线的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【解析】如图建立空间直角坐标系，则，设，
则，
∴动点P到直线的距离为
，当时取等号，
即线段上的动点P到直线的距离的最小值为.故选：D.
题型二 求点到平面的距离
【例2】已知平面的法向量为，点在平面内，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 则点到平面的距离为
故选：D
【变式2-1】已知正方体的棱长为2，，分别为上底面和侧面的中心，则点到平面的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，易知，设平面的法向量，则，令，解得，
故点到平面的距离为.故选：A.
【变式2-2】已知点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为点A（l，0，0），B（0，l，0），C（0，0，2），所以，设平面ABC的一个法向量为，则，即，令，得，则，所以，故选：C
【变式2-3】如图，在长方体中，，，､､分别是､､的中点，则直线到平面的距离为___________.
【答案】
【解析】以D为原点，DC，DA，所在直线分别为轴，轴，轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，由题，则，，
因为､､分别是､､的中点，
所以，，，则，
所以，所以平面，所以点E到平面的距离即为直线到平面的距离，设平面的法向量为，
则，因为，所以，取，则，，
所以是平面的一个法向量，又向量，所以点E到平面的距离为，即直线到平面的距离为.
题型三 求异面直线所成角
【例3】在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点P为坐标原点，以，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，令，则，，，，则，，设异面直线PN和BM所成角为，则.故选：B.
【变式3-1】在正方体中，为正方形ABCD的中心，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，以D为坐标原点，DA,DC, 分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 , 则 ，故，
故线与直线所成角的余弦值为，故选：B
【变式3-2】在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面BCD，，且，M为AD的中点，则异面直线BM与CD夹角的余弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，正方体内三棱锥A-BCD即为满足题意的鳖臑，以B为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则，，，，，则，，，则异面直线BM与CD夹角的余弦值．故选：A．
【变式3-3】在矩形ABCD中，O为BD中点且，将平面ABD沿对角线BD翻折至二面角为90°，则直线AO与CD所成角余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在平面中过作，垂足为；
在平面中过作，垂足为.由于平面平面，且交线为，
所以平面，平面，设，
，同理可得，
以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则，，
设与所成角为，则.故选：C
题型四 求直线与平面所成角
【例4】如图为一个四棱锥与三棱锥的组合体，C，D，E三点共线，已知三棱锥P－ADE四个面都为直角三角形，且ED⊥AD，PA⊥平面ABCE，PE＝3，CD＝AD＝2，ED＝1，则直线PC与平面PAE所成角的正弦值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如图建立空间直角坐标系，，，，
则有：，，设平面PAE的法向量，则有,令,则，即∴，即直线PC与平面PAE所成角的正弦值为．故选：C．
【变式4-1】如图，正三棱柱的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，，的中点，则EF与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，连接，，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，故为平面的一个法向量，EF与平面所成角为，则EF与平面所成角的正弦值为，故选：A．
【变式4-2】如图，在四棱锥中，平面，，，，已知是边的中点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】以为坐标原点，以，，的方向分别为，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以.取平面的一个法向量为，则，
即与平面所成角的正弦值为.故选：A.
【变式4-3】如图，已知AB是圆柱底面圆的一条直径，OP是圆柱的一条母线，C为底面圆上一点，且，，则直线PC与平面PAB所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为AB是圆柱底面圆的一条直径，所以，又OP是圆柱的一条母线，
如图，以为原点建立空间直角坐标系，因为，所以，，
又因，所以，所以，即，
设，则，则，
则，
设平面PAB的法向量为，
则有，可取，
则，
所以直线PC与平面PAB所成角的正弦值为.故选：A.
题型五 求平面与平面所成角
【例5】如图，点､､分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，，，所以，，
设平面的法向量为，则即取
又因为平面的法向量为，所以故选：B
【变式5-1】正方体中，点为中点，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、，
所以，，，设平面的法向量为，
则，取，可得，易知平面的一个法向量为，
所以，，
易知，平面与平面所成锐二面角的余弦值为.故选：C.
【变式5-2】如图，已知三棱锥的底面是正三角形，侧面是菱形，且，是的中点，，则二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取的中点，连接，，则，又侧面是菱形，且，所以，又，所以四边形为平行四边形，所以，
又，所以，平面建立以为坐标原点，的反向延长线，
，分别为，，轴的空间直角坐标系,如图：设，则，
则平面的法向量为，
，，，，，
则，，设平面的法向量为，
则，令，得，
，∴二面角的余弦值是.故选：B.
【变式5-3如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点是棱的中点．
（1）证明：平面平面；（2）求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为平面，平面，所以，
又，，，平面，所以平面．
又平面，所以．
又因为，，
所以，所以．
又，，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
（2）以为坐标原点，，，的所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示．因为，，所以，，，，．
设平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，
且，，，，
因为所以令，则，，所以．
又因为所以令，则，，所以．
所以．设二面角的大小为，则，所以二面角的正弦值为．1.4.2 空间向量研究距离、夹角问题
【题组1 求点到直线的距离】
1、已知，，，则点C到直线AB的距离为（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
【解析】因为，，所以．
设点C到直线AB的距离为d，则故选：D
2、直线l的方向向量为，且l过点，则点到l的距离为___________.
【答案】
【解析】，直线l的方向向量为，
由题意得点到l的距离
3、已知正方体的棱长为1，在正方体内部，且满足，则点到直线AD的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如图，建立空间直角坐标系，则，，，，故，，，
因为，所以，易知，
故点到直线AD的距离.故选：B.
4、在棱长为1的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
由已知，得，，，，，
所以在上的投影为，
所以点到直线的距离为故选：B
5、鳖臑是指四个面都是直角三角形的三棱锥.如图，在鳖臑中，平面，，，分别是棱，的中点，点是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因为，且是直角三角形，所以.以为原点，分别以，的方向为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.因为，
所以，，，，则，.
故点到直线的距离.
故点到直线的距离是.
6、在如图所示的多面体中，且.，且，且，平面ABCD，.求点F到直线EC的距离；
【答案】
【解析】因为平面，平面，平面，
所以，且，因为，
如图所示，以为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，，，，，，，
所以，，所以求点F到直线EC的距离为
.
【题组2 求点到平面的距离】
1、已知平面的一个法向量(3，4，0)，点A(-1，1，1)在内，则P(1，2，3)到的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】B
【解析】由题意，得，又知平面的一个法向量，则到平面的距离故选：B.
2、在正方体中，分别是线段的中点，则点到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向，
建立空间直角坐标系.因为，所以，
所以，
则点到直线的距离故选：A
3、在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
正三棱柱中，若，点是的中点，
，，，，
，，，设平面的法向量为，
，，，取，则，
点到平面的距离．故选：A．
4、在长方体中，､，，求直线到平面的距离.

【答案】
【解析】以点为原点，分别以､与的方向为、、轴的正方向，建立空间直角坐标系.则､､､､､､､，
所以，，，
设平面的一个法向量.
所以所以
令，则，
设直线到平面的距离为，因为，
所以，所以直线到平面的距离为
5、如图，在正三棱柱中，已知，D为的中点，E在上．
（1）若，证明：DE⊥CE；
（2）若平面CDE，求直线和平面CDE的距离．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：因为，，由余弦定理，
所以，又因为平面，平面，
所以，由于，故DE⊥平面，而平面，故DE⊥EC；
（2）以C为坐标原点，CA为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系．
此时，，，，，设，
此时，，
设平面CDE的一个法向量为，
则，即，
因为平面CDE，所以，
故，
即，解得，故
由于平面CDE，直线和平面CDE的距离等于点和平面CDE的距离．
此时，，取，
所以点和平面CDE的距离，
所以直线和平面CDE的距离为.
6、正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，M，N，E，F分别为A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中点，则平面AMN与平面EFBD的距离为_____.
【答案】
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4，0，0)，M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4).
∴=(2，2，0)，=(2，2，0)，=(2，0，4)，=(2，0，4)，
∴，∴EF∥MN，BF∥AM，EF∩BF=F，MN∩AM=M.
∴平面AMN∥平面EFBD.设=(x，y，z)是平面AMN的一个法向量，
则解得取z=1，则x=2，y=-2，得=(2，2，1).平面AMN到平面EFBD的距离就是点B到平面EFBD的距离.
∵=(0，4，0)，∴平面AMN与平面EFBD间的距离d=.
【题组3 求异面直线所成角】
1、已知直三棱柱的所有棱长都相等，为的中点，则与所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】取线段的中点，则，设直三棱柱的棱长为，
以点为原点，、、的方向分别为、、的正方向，
建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、，所以，，，
.
所以，.故选：C.
2、已知在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面.若，，是线段的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，
则，故，
所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：B
3、在正方体中，E，F分别为棱AD，的中点，则异面直线EF与所成角的余弦值为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，∴，
∴，即异面直线EF与所成角的余弦值为.故选：A.
4、如图，在圆锥中，，点C在圆O上，当直线与所成角为60°时，直线与所成角为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【解析】以点O为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，设，
则，，所以，，因为直线与所成角为60°，所以，
又因为点C在圆O上，所以，所以解得，
所以，点，所以，则，
又直线与所成角的范围为，
所以直线与所成的角60°，故选：C．
5、如图，直三棱柱，，且，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨取，则．
，，，．，，．
．故选：D．
6、如图，是正三角形所在平面外一点，，分别是和的中点，，且，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设，如图建立空间直角坐标系，
则相关各点坐标为，，，，
又，分别是和的中点，则，．
所以，，所以，
所以，因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以异面直线与所成角的余弦值为，故选：B.
7、将正方形沿对角线折起，使得平面平面，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】取中点为，连接，所以，
又面面且交线为，面，所以面，面，则.设正方形的对角线长度为2，如图所示，建立空间直角坐标系，，所以，
所以.
所以异面直线与所成角的余弦值为.故选:A
8、如图，矩形ABCD是圆柱的轴截面，，，点E在上底面圆周上，且，则异面直线AE与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根据题意可以为坐标原点，，所在直线分别为y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，故，，
故，故异面直线AE与所成角的余弦值为，
故选：B.
【题组4 求直线与平面所成角】
1、已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是边长为2的正方形，侧棱与底面垂直，若点C到平面AB1D1的距离为，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图，连接交于点，过点作于，则平面，则，设，则，则根据三角形面积得，代入解得．以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，
所以， 设平面的法向量为，，，
则，即，令，得．，
所以直线与平面所成的角的余弦值为，故选：．
2、如图，在棱长为2的正方体中，E为的中点，则直线与平面BDE所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以点D为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，，，，所以，，，设平面BDE的一个法向量，则，即，令，则，，
所以平面BDE的一个法向量，设直线与平面BDE所成角为，
所以．故选：D.
3、如图，正三棱柱ABC­A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设正三棱柱的棱长为2，取的中点，连接，，分别以，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，0，，，，0，，
所以，，，，．
设平面的法向量为，
则，取，则，，
故为平面的一个法向量，所以，
所以与平面所成角的正弦值为．故选：A．
4、如图，在正方体中，E为的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】以点D为坐标原点，向量分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，
可得，，，设面的法向量为，有，取，则，所以，，，则直线与平面所成角的正弦值为．故选：D.
5、已知正方形的边长为2，，分别为，的中点，沿，将三角形，折起，使得点，恰好重合，记为点，则与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知，故，故三线互相垂直，故以分别为轴建立空间直角坐标系，可以求得，，，，
设，根据，则
，则，，则
，可得，设平面的法向量为
..
所以可以求得平面的法向量为，，
所求与平面所成角的正弦值为．故选：B.
6、如图，正四棱锥中，为顶点在底面内的投影，为侧棱的中点，且，则直线与平面的夹角是（ ）
A．45° B．90° C．30° D．60°
【答案】C
【解析】如图，以O为坐标原点，以为x轴，以为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，则A（0，﹣a，0），C（0，a，0），D（﹣a，0，0），S（0， 0 ，a） ，P（，0，），则（0，﹣2a， 0），（，a， ），（﹣a，﹣a，0），设平面PAC的一个法向量为，则，，
∴，可取（1，0，1），设直线与平面的夹角为，
则，由，， 故选：C
7、如图，在直三棱柱中，，，E是的中点，则直线BC与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意知，CA，CB，CC1两两垂直，以，，的方向分別为x轴､y轴､z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，.设平面的法向量为，则令，得.
因为，所以，
故直线BC与平面所成角的正弦值为.故选：D.
8、在三棱锥中，平面ABC，，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，，，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系：平面，，，，分别是棱，，的中点，若设，，则，，，，，，
，0，，，，，，设是平面的一个法向量，
则，即，取，则，设与平面所成的角为，则．故选：B．
【题组5 求平面与平面所成角】
1、如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则平面CBF与平面DBF夹角的正切值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设AC∩BD＝O，连接OF，以O为原点，OB，OC，OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝，
∴且为平面BDF的一个法向量.由，，
可得平面BCF的一个法向量为
，故选：D
2、如图，正三角形与正三角形所在平面互相垂直，则二面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图示，取AC中点E，连结BE、DE，在正三角形与正三角形中，BE⊥AC，DE⊥AC，因为面⊥面，面面，所以BE⊥面ADC,以E为原点，为x轴正方向，为y轴正方向，为z轴正方向，建立空间直角坐标系，设AC=2，则,平面ACD的一个法向量为而，设为面BCD的一个法向量，
则：即 ，不妨令x=1，则设二面角的平面角为θ，则θ为锐角，所以.故选：D
3、如图，在正方体中，二面角的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方体中，、、两两垂直，以点为坐标原点，分别以、、所在直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设棱长为，则，，，，所以，，，，设平面的一个法向量为，则，即，
不妨令，则，即；设平面的一个法向量为，
则，即，不妨令，则，即，
所以，则；又二面角显然是锐二面角，
所以二面角的大小为.故选：C.
4、如图所示，是棱长为的正方体，、分别是棱、上的动点，且.当、、、共面时，平面与平面所成锐二面角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则、、，
由题意知：当、时，、、、共面，设平面的法向量为，，，则，取，解得，
设平面的法向量为，，，
则，取，解得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为，故选：B.
5、如图，在四棱锥P—ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B—AC—M的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为BC⊥平面PAB，PA⊂平面PAB，所以PA⊥BC，又PA⊥AB，且BC∩AB＝B，所以PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴，z轴，
建立空间直角坐标系A­xyz.则A(0，0，0)，C(1，2，0)，P(0，0，2)，B(1，0，0)，M，所以，，求得平面AMC的一个法向量为＝(－2，1，1)，又平面ABC的一个法向量＝(0，0，2)，所以cs〈，〉＝.所以二面角B­-AC­-M的余弦值为.故选：A
6、如图，正方体中，，分别是和的中点，则平面与平面所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】以点为坐标原点，，，的方向分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2，
则，，，，∴，.
∴平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为.
∵是平面的一个法向量，∴.故选：B
7、如图，在直三棱柱中，底面是等边三角形，是的中点，且．
（1）证明：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：连接交于点，连接，在三棱柱中，四边形为平行四边形，因为，则为的中点，又因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.
（2）因为为等边三角形，为的中点，则，又因为平面，以点为坐标原点，、、的方向分别为、、的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，
设平面的法向量为，故，，
则，取，可得，设平面的法向量为，
故，，则，取，可得，
所以.因为，平面与平面夹角的余弦值为.
8、如图，在三棱锥中，．
（1）证明：平面平面．
（2）若点Q在棱上，且与平面所成角的正弦值为，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】（1）证明：取的中点，连接、．
因为，则，
所以，即．又，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
（2）如图，建立空间直角坐标系，则，
则，，，．
令，则．
设平面的法向量为，
则，取．
设直线与平面所成的角为，
则，解得或（舍去），
故设平面的法向量为，
所以，取．
记二面角的平面角为，所以