人教A版 (2019)选择性必修 第一册空间向量的应用综合训练题

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如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量eq \(OP,\s\up6(→))来表示．我们把向量eq \(OP,\s\up6(→))称为点P的位置向量．
二、空间中直线的向量表示式
1、直线的方向向量：
若A、B是直线上的任意两点，则为直线的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线的方向向量。
【注意】（1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量。
（2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算。
2、空间直线的向量表示式：
直线l的方向向量为a ，且过点A。如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ta①，把eq \(AB,\s\up6(→))＝a代入①式得eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \(OA,\s\up6(→))＋teq \(AB,\s\up6(→))②，
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
三、空间中平面的向量表示式
1、平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使，我们称其为空间平面ABC的向量表示式。
2、平面的法向量
如图，若直线，取直线的方向向量，称为平面的法向量；
过点A且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合
3、利用待定系数法求平面法向量的步骤
（1）设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)
（2）选向量：在平面内选取两个不共线向量eq \(AB,\s\up7(→))，eq \(AC,\s\up7(→))
（3）列方程组：由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\(AC,\s\up7(→))＝0，))列出方程组
（4）解方程组：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(n·\(AB,\s\up7(→))＝0，,n·\(AC,\s\up7(→))＝0.))
（5）赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)
（6）得结论：得到平面的一个法向量
4、求平面法向量的三个注意点
（1）选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量
（2）取特值：在求n的坐标时，可令x，y，z中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的一个法向量
（3）注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0
四、空间中直线、平面的平行
1、线线平行：若分别为直线的方向向量，则使得 .
2、线面平行：设直线的方向向量，是平面的法向量，，则 .
法2：在平面内取一个非零向量，若存在实数，使得，且，则.
法3：在平面内取两个不共线向量，若存在实数，
使得，且，则.
3、面面平行：设分别是平面的法向量，则，使得.
五、空间中直线、平面的垂直
1、线线垂直：若分别为直线的方向向量，则.
2、线面垂直：设直线的方向向量，是平面的法向量，
则，使得.
法2：在平面内取两个不共线向量，若.则.
3、面面垂直：设分别是平面的法向量，则.
题型一 平面法向量的求法
【例1】已知平面内有两点，，平面的一个法向量为，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【变式1-1】已知三点A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的单位法向量为_______
【变式1-2】已知四棱锥S﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝90°，AD∥BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD，试建立空间直角坐标系，求平面SAB，平面SDC的一个法向量．
【变式1-3】在正方体中，求证：是平面的法向量．
题型二 利用向量法证明平行问题
【例2】已知长方体中，，，，点S、P在棱、上，且，，点R、Q分别为AB、的中点．求证：直线直线．
【变式2-1】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段A1D上，点Q在线段AC上，线段PQ与直线A1D和AC都垂直，求证：PQ∥BD1.
【变式2-2】已知正方体中，棱长为2a，M是棱的中点.求证：平面.
【变式2-3】如图，在四棱锥中，平面ABCD．，四边形ABCD满足，，，点M为PC的中点，求证：平面PAB．
【变式2-4】如图，已知棱长为4的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1D1，A1B1，D1C1，B1C1的中点，求证：平面∥平面.
【变式2-5】如图，在正方体中，点E，F，G，H，M，N分别是该正方体六个面的中心，求证：平面平面HMN．
题型三 利用向量法证明垂直问题
【例3】如图，在正方体中，和相交于点O，求证：．
【变式3-1】如图，在正方体中，E，F分别是，的中点．求证：．
【变式3-2】如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
【变式3-3】如图，在长方体中，，，E是CD的中点．
求证：平面．
【变式3-4】如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M、N分别是AB、PC的中点．求证：平面MND⊥平面PCD；
【变式3-5】如图，在正三棱柱中，，，分别是，上的点，且，，求证：平面平面．
1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系
【题组1 平面法向量的求法】
1、在正方体中,平面的一个法向量为( )
A． B． C． D．
2、如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，．平面的法向量为（ ）
A． B． C． D．
3、如图，在长方体中，，，，建立适当的空间直角坐标系，求下列平面的一个法向量：
（1）平面ABCD； （2）平面； （3）平面．
4、如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE，设PA＝1，AD＝2．求平面BPC的法向量；
5、如图在正方体中，E、F分别是棱，的中点.求证：为平面的一个法向量.
1、如图，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角.求证：CM∥平面PAD.
2、如图，已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD，B1C的中点，利用向量法证明：
（1）MN∥平面CC1D1D；（2）平面MNP∥平面CC1D1D．
3、四边形为正方形，平面，，.求证：平面.
4、如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA＝2，M，N分别为OA，BC的中点．求证：直线MN∥平面OCD；
5、如图所示，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱，，的中点．
求证：（1）直线平面；（2）平面平面．
6、在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点.试用向量的方法证明：平面AA1D1D∥平面FCC1.
7、如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．
8、如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，、分别为、的中点，证明：平面平面.
【题组3 利用向量法证明垂直问题】
1、如图，在四棱锥中，平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，，，，，Q为PD的中点．求证：．
2、在正方体中,为的中点,为四边形的中心．求证：对上任一点,都有．
3、如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点.求证：平面.
4、如图所示在四棱锥中，底面，，，，，是的中点．求证：平面．
5、已知：如图，在空间直角坐标系中有长方体，，，，点E是的中点．求证：平面平面．
6、在正三棱锥P­ABC中，三条侧棱两两互相垂直，PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求证：平面EFG⊥平面PBC.
7、如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E为BB1的中点，证明：平面AEC1⊥平面AA1C1C.
8、如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.求证：平面BCE⊥平面CDE.