人教A版选择性必修一高二数学上册同步考点归纳讲与练 第一章：空间向量重点题型复习+单元检测（2份，原卷版+解析版）

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第一章：立体几何与空间向量重点题型复习题型一 空间向量的线性表示【例1】如图，在斜三棱柱中，M为BC的中点，N为靠近的三等分点，设，，，则用，，表示为（ ）A． B． C． D．【变式1-1】如图，设，，，若，，则（ ）A． B． C． D．【变式1-2】如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则等于（ ）A． B． C．- D．【变式1-3】如图，在四面体中，，，，且，，则（ ）A． B． C． D．题型二 空间向量的共面问题【例2】（多选）给出下列四个命题，其中是真命题的有（ ）A．若存在实数，，使，则与，共面；B．若与，共面，则存在实数，，使；C．若存在实数，，使则点，，A，共面；D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．【变式2-1】已知O为空间任意一点，A、B、C、P满足任意三点不共线，但四点共面，且，则m的值为（ ）A． B．2 C． D．【变式2-2】已知空间、、、四点共面，且其中任意三点均不共线，设为空间中任意一点，若，则（ ）A． B． C． D．【变式2-3】，若三向量共面，则实数（ ）A．3 B．2 C．15 D．5【变式2-4】如图所示，在长方体中，为的中点，，且，求证：四点共面．题型三 空间向量的数量积问题【例3】如图，三棱锥中，和都是等边三角形，，，为棱上一点，则的值为（ ）A． B．1 C． D．【变式3-1】四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（ ）A． B． C． D．【变式3-2】已知、都是空间向量，且，则（ ）A． B． C． D．【变式3-3】四棱柱的底面是边长为1的菱形，侧棱长为2，且，则线段的长度是（ ）A． B． C．3 D．【变式3-4】如图，在大小为60°的二面角中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是______．题型四 空间向量的对称问题【例4】求点关于x轴的对称点的坐标为（ ）A． B． C． D．【变式4-1】在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ）A． B． C． D．【变式4-2】在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点的坐标是（ ）A． B． C． D．【变式4-3】点关于轴的对称点为，则（ ）A． B．C． D．题型五 利用空间向量证明平行与垂直【例5】已知四棱锥中，底面为正方形，平面，，，、分别为、的中点.求证：；【变式5-1】如图，在正方体中，，分别为，的中点．求证：平面；【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，，平面平面，且，为的中点，证明：平面平面.【变式5-3】在如图所示的五面体中，面是边长为的正方形，面，，且，为的中点，为中点.求证：平面.题型六 利用空间向量计算空间角【例6】在正方体中，直线与AC所成角的余弦值为______．【变式6-1】如图，在四棱柱中，平面，底面满足，且.（1）求证:平面;（2）求直线与平面所成角的正弦值.【变式6-2】如图所示，在四棱锥P-ABCD中，，且，若，，则二面角A-PB-C的余弦值为______．【变式6-3】如图，已知AB为圆锥SO底面的直径，点C在圆锥底面的圆周上，，，BE平分，D是SC上一点，且平面平面SAB．（1）求证：； （2）求平面EBD与平面BDC所成角的余弦值．题型七 利用空间向量计算空间距离【例7】长方体中，，，为的中点，则异面直线与之间的距离是（ ）A． B． C． D．【变式7-1】如图，在长方体中，，，若为的中点，则点到平面的距离为______．【变式7-2】如图，在四棱锥中，，底面为菱形，边长为2，，平面，异面直线与所成的角为60°，若为线段的中点，则点到直线的距离为______．【变式7-3】空间直角坐标系中、、）、，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为（ ）A． B． C． D．题型八 利用空间向量探究动点存在问题【例8】如图，在四棱锥中，底面，底面是梯形，，且，，．（1）求二面角的大小；（2）已知为中点，问：棱上是否存在一点，使得与垂直？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由．【变式8-1】如图，在矩形ABCD中，，，E为边AD上的动点，将沿CE折起，记折起后D的位置为P，且P在平面ABCD上的射影O恰好落在折线CE上．（1）设，当为何值时，的面积最小？（2）当的面积最小时，在线段BC上是否存在一点F，使平面平面POF，若存在求出BF的长，若不存在，请说明理由．【变式8-2】如图，在直三棱柱中，为的中点，分别是棱上的点，且．（1）求证：直线平面；（2）若是正三角形为中点，能否在线段上找一点，使得平面？若存在，确定该点位置；若不存在，说明理由．【变式8-3】如图，在直角梯形中，，，平面，，．（1）求证：；（2）在直线上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．第一章：空间向量与立体几何章末测试一、单选题：1．在空间直角坐标系中，与点关于平面对称的点为（ ）A． B． C． D．2．如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（ ）A． B． C． D．3．在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（ ）A． B．C． D．4．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）A．－1 B． C． D．5．如图所示，在棱长为1的正方形中，点P是的中点，点M，N是矩形内（包括边界）的任意两点，则的取值范围是（ ）A． B． C． D．6．已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ）A． B． C． D．7．正方体中，E，F分别为，的中点，则异面直线AE与FC所成角的余弦值为（ ）A． B． C． D．8．已知正方体，是线段上一点，下列说法正确的是（ ）A．若，则直线平面B．若，则直线平面C．若，则直线平面D．若，则直线平面二、多项选择题：9．对于任意非零向量，，以下说法错误的有A．若，则B．若，则C．D．若，则为单位向量10．给出下列命题，其中正确的有（ ）A．空间任意三个向量都可以作为一个基底B．已知向量，则，与任何向量都不能构成空间的一个基底C．，，，是空间中的四个点，若，，不能构成空间的一个基底，那么，，，共面D．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底11．如图，在棱长为2的正方体中，点在线段上运动，则下列说法正确的是（ ）A．平面B．几何体的外接球半径C．异面直线与所成角的正弦值的取值范围为D．面与底面所成角正弦值的取值范围为三、填空题：12．若四点，，，共面，则可以为______．（写出一个符合题意的即可）13．光丘楼亦称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，位于山东省聊城市，其墩台为砖石砌成的正四棱台，直观图如图所示，其上下底面边长之比约为，则______．14．已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______四、解答题：15．如图，三棱柱中，平面平面，过的平面交线段于点（不与端点重合），交线段于点.（1）证明：；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.16．在空间直角坐标系中，已知和，试问：（1）在轴上是否存在点，满足？（2）在y轴上是否存在点，使为等边三角形？若存在，试求出点的坐标．17．如图，在正四棱锥中，O为底面中心，，M为PO的中点，．（1）求证：平面EAC；（2）求直线DM到平面EAC的距离．18．如图，在以P，A，B，C，D为顶点的五面体中，四边形ABCD为等腰梯形，∥，，平面平面，．（1）求证：平面平面；（2）若二面角的余弦值为，求直线PD与平面PBC所成角的正弦值．19．已知正四棱柱中，.（1）求证：；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在点，使得平面平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.