初中数学人教版（2024）九年级上册二次函数教案

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册二次函数教案，共8页。教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。
第四课时《22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质》教学设计
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
本节课在讨论了二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质的基础上对二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质进行研究.主要的研究方法是从一个具体的二次函数y=12x2-6x+21开始，通过配方y=ax2+bx+c向y=a(x-h)2+k转化，体会知识之间内在的联系,接着利用待定系数法求函数解析式。
学习者分析
学生在八年级已经学会了待定系数法求解析式，在前一节已经学会了探究二次函数性质的方法。学生已经积累了探究二次函数性质的经验。学生已经具备了一定的观察能力，类比能力，总结归纳的能力。
教学目标
1.通过图象了解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质，体会数形结合的思想．
2.会用待定系数法确定二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
3.通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想．
教学重点
通过配方将数字系数的二次函数的解析式化为y=a(x-h)2+k的形式，并由此得到二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质.
教学难点
将二次函数y＝ax2＋bx＋c转化为y＝a(x－h)2＋k的形式。
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
【提问】抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2有什么关系？
学生活动1：
教师提出问题，学生回答
活动意图说明：复习回顾二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象特征和性质，及y=a(x-h)2+k与y=ax2之间的关系，为本节课学习二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象特征和性质进行铺垫．
环节二：新知探究
教师活动2：
探究：
如何画出y＝12x2－6x＋21的图象呢？
我们知道，像y＝a(x－h)2 ＋k这样的函数，容易确定相应抛物线的顶点为(h，k)，二次函数y＝12x2－6x＋21也能化成这样的形式吗？
教师展示配方的具体过程：
y＝x2－6x＋21＝(x2－12x＋42)＝(x2－12x＋36－36＋42)＝(x－6)2＋3．
问：抛物线y=12x2如何平移可以得到抛
物线y=12x2-6x+21？
用描点法画二次函数y=12x2-6x+21的图象。
抛物线y=12x2-6x+21的开口方向、对称轴、顶点、最值、增减性各是什么？
你能用前面的方法讨论二次函数
y=-2x2-4x+1的图象和性质？
尝试将y= ax2+bx+c（a≠0）化为y=ax-h2+k的形式吗？
教师引导学生观察：两个等式右边的多项式结构各有什么特点？教师与学生一起进行配方变形，教师展示配方的具体过程：
y=ax2+bx+c=ax2+bax+ca
= ax2+bax+b24a2-b24a2+ca= ax2+bax+b24a2-b24a2+4ac4a2 =ax+b2a2+4ac-b24a
你能说出二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）的图象特征和性质吗？
学生活动2：
教师提出问题，学生回答

教师提出问题，学生回答
学生动手实践画出二次函数y=12x2-6x+21的
图象，在学生完成图象后，教师通过多媒体展示
画图过程。
小组合作学习，尝试从开口方向、对称轴、顶点、
最值、增减性等方面描述图象特征和性质
学生动手实践画出抛物线y=-2x2-4x+1图象，教师
通过多媒体展示抛物线的图象，引导学生通过图象特征
，归纳总结其性质，学生在总结的过程中查漏补缺，
发现不足。
学生思考，试着配方
学生相互补充，师生共同梳理归纳
活动意图说明：这里我们借助从特殊例子归纳一般结论的研究思路，通过针对性的类比、对比
引导，放手让学生合作、交流，这样既突破了难点，又升华了新知，也体现了从特殊到一般的
研究思路
环节三：典例精析
教师活动3：
例、把下面的二次函数的一般式化成顶点式：
y＝2x2－5x＋3.
学生活动3：
学生思考作答，教师点评总结.
解：y＝2(x2－52x)＋3，(将含x项结合在一起，提取
二次项系数)
y＝2x2-52x+(52×12)2+3 (按完全平方式
的特点，常数项为一次项系数一半的平方)
y= 2(x-54)2-2516+3 (应用完全平方公式)
y=2(x-54)2-18
活动意图说明：运用配方法将函数一般式变为顶点式，并理解与掌握二次函数y= ax2+bx+c（a≠0）
的图象特征和性质。
环节四：典例精析
教师活动4：
已知一次函数图象上的几个点可以求出它的解析式？利用了怎样的方法？
已知一次函数图象上的两个点的坐标就可以通过待定系数法求它的解析式。
若二次函数经过(-1,10)、(1,4)、(2,7)三个点，能求出二次函数的解析式吗？
解：设二次函数为y=ax2+bx+c
由条件得a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7
解得a=2b=-3c=5
因此二次函数解析式为y=2x2-3x+5
尝试总结二次函数解析式的一般方法？
已知抛物线过三点，求其解析式，可采用一般式；
而用一般式求待定系数要经历以下四步：
第一步：设一般式y＝ax2＋bx＋c；
第二步：将三点的坐标分别代入一般式中，组成一个三元一次方程组；
第三步：解方程组即可求出a，b，c的值；
第四步：写出函数解析式.
学生活动4：
教师提出问题，学生回答
学生小组讨论交流求解．师生共同总结写出解题步骤
学生尝试总结确定二次函数解析式的步骤。
活动意图说明：尝试类比探究确定一次函数解析式的方法，探究确定二次函数解析式的方法：
根据已知图象上的三个点的坐标，设一般式确定二次函数解析式．
环节五：典例精析
教师活动5：
例、已知抛物线的顶点为(-1，-3),与y轴交点为(0，-5),求抛物线的解析式.
学生活动5：
先由学生回答，最后给出答案
解：由题意可得，抛物线的顶点为(-1，-3)
设所求二次函数为y＝a(x+1)2-3．
∵函数图象经过点(0，-5)，
∴a(0+1)2－3＝－5．
解得a＝-2．
所求二次函数是y＝-2(x+1)2－3．
活动意图说明：通过例题让学生掌握多种求解二次函数解析式的方法.
板书设计
一、二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质

二、待定系数法求二次函数解析式
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.对于二次函数y＝－14x2＋x－4，下列说法正确的是( )
A．当x＞0时，y随x的增大而增大 B．当x＝2时，y有最大值－3
C．图象的顶点坐标为(－2，－7) D．图象与x轴有两个交点
2.如图，抛物线对应的函数解析式是( )
A．y＝x2－x＋2 B．y＝－x2＋x＋2
C．y＝x2＋x＋2 D．y＝－x2＋x－2
3．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的顶点在x轴上，点A（m﹣1，n）和点B（m＋3，n）均在二次函数图象上，求n的值为____．
4.将二次函数y=-x2-4x+1的图象先向右平移a个单位再向下平移2a个单位．
（1）若平移后的二次函数图象经过点1,-1，则a＝______．
（2）平移后的二次函数图象与y轴交点的纵坐标最大值为______．
选做题：
5.已知二次函数y＝ax2＋4x＋2的图象经过点A(3，－4)．
(1)求a的值；
(2)求此抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
(3)直接写出函数y随自变量增大而减小的x的取值范围．
6.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x2-2mx+5m的图象经过点1,-2．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求二次函数图象的对称轴．
【综合拓展类作业】
7.如图，已知抛物线y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为(3，0)．
(1)求m的值及抛物线的顶点坐标；
(2)点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA＋PC的值最小时， 求点P的坐标．
课堂总结
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1．将抛物线y=x2向右平移3个单位，再向上平移4个单位，得到的抛物线是（ ）
A．y=(x-3)2+4B．y=(x+3)2+4
C．y=(x+3)2-4D．y=(x-3)2-4
2．一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是________．
选做题：
3.如图，二次函数y=ax2+bx+ca≠0图象的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为3，0，给出下列结论：①abc>0；②图象与x轴的另一个交点为(-1，0)；③当x