人教A版选择性必修一高二数学上册期末复习 椭圆专题：椭圆中焦点三角形的6种常见考法（2份，原卷版+解析版）

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1、定义：椭圆上一点与椭圆的两个焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”。
一般利用椭圆的定义、余弦定理和完全平方公式等知识，建立，，
之间的关系，采用整体代入的方法解决焦点三角形的面积、周长及角的有关问题
（设为θ）
2、常用性质
性质1：，（两个定义）
拓展：的周长为
的周长为
性质2：（余弦定理）
性质3：当为短轴的端点时，最大
推导：由性质2得，
.
∵，
当且仅当时，即点是短轴端点时取等号，
∴.
又∵在上单调递减，
∴当为短轴的端点时，最大。
性质4：
当，即为短轴的端点时，的面积最大，最大值为
推导：由性质3的推导过程得
∴，
∴
题型一 椭圆中焦点三角形的周长问题
【例1】已知的顶点B，C在椭圆上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC边上，则的周长是（ ）
A． B． C．8 D．16
【变式1-1】已知椭圆的两个焦点为，，过点的直线交椭圆于A，B两点，若的周长为16，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【变式1-2】椭圆C：的左、右焦点分别为，，P为椭圆上异于左右顶点的任意一点，、的中点分别为M、N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为4，则的周长是_____．
【变式1-3】已知椭圆的方程为，过椭圆中心的直线交椭圆于A、B两点，是椭圆的右焦点，则的周长的最小值为______．
题型二 椭圆中焦点三角形的面积问题
【例2】椭圆C：的焦点为，，点P在椭圆上，若，则的面积为（ ）
A．48 B．40 C．28 D．24
【变式2-1】设是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且.则的面积为（ ）
A．6 B． C．8 D．
【变式2-2】已知、为椭圆的左、右焦点，M为上的点，则面积的最大值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【变式2-3】已知点P为椭圆C：上一点，点，分别为椭圆C的左､右焦点，若，则的内切圆半径为（ ）
A． B． C． D．
题型三 椭圆中焦点三角形的个数问题
【例3】已知点、为椭圆的左、右焦点，若点为椭圆上一动点，则使得的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不能确定
【变式3-1】设椭圆的左、右两焦点分别为，，是上的点，则使得是直角三角形的点的个数为_________.
【变式3-2】已知、为椭圆的左、右焦点，若为椭圆上一点，且的内切圆的周长等于，则满足条件的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
【变式3-3】若、分别是椭圆的左、右焦点，是椭圆上的任意一点，且的内切圆的周长为，则满足条件的点的个数为（ ）
A． B． C． D．不确定
题型四 椭圆中焦点三角形的顶点坐标问题
【例4】已知、为双曲线:的左、右焦点，点在上，=，则到轴的距离为（ ）
A. B. C. D.
【变式4-1】已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，若为直角三角形，则点到轴的距离为（ ）
A．或 B．3 C． D．
【变式4-2】椭圆的焦点F1，F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．（﹣，）
C．（﹣，） D．（﹣，）
【变式4-3】椭圆的左右焦点分别为，点为其上的动点，当为钝角时，点的纵坐标的取值范围是____________.
题型五 椭圆中焦点三角形的中位线问题
【例5】设，为椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，若线段的中点在y轴上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知椭圆，点与的焦点不重合，若关于的焦点的对称点分别为，线段的中点在椭圆上，则的值为（ ）
A．6 B．12 C．18 D．24
【变式5-3】如图，若为椭圆：上一点，为椭圆的焦点，若以椭圆短轴为直径的圆与相切于中点，则椭圆的方程为___________.
题型六 椭圆中焦点三角形的角平分线问题
【例6】已知，是椭圆：的左、右焦点，离心率为，点的坐标为，则的平分线所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知椭圆，，分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，，平分角，是角的外角平分线，则与的面积之和为( )
A．1 B． C．2 D．3
【变式6-3】已知，是椭圆的两焦点，是椭圆上任一点，从引外角平分线的垂线，垂足为，则点的轨迹为（ ）
A．圆 B．两个圆 C．椭圆 D．两个椭圆