（人教A版）选择性必修一高二数学上册题型归纳培优练习 专题09 椭圆离心率题型归类（2份，原卷版+解析版）

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TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc29677" 【题型一】离心率基础 PAGEREF _Tc29677 2
\l "_Tc8061" 【题型二】利用椭圆第一定义求离心率 PAGEREF _Tc8061 3
\l "_Tc32167" 【题型三】焦点三角形与余弦定理 PAGEREF _Tc32167 5
\l "_Tc28487" 【题型四】顶角直角三角形型 PAGEREF _Tc28487 7
\l "_Tc10755" 【题型五】焦半径与第二定义 PAGEREF _Tc10755 10
\l "_Tc28460" 【题型六】第三定义与中点弦 PAGEREF _Tc28460 11
\l "_Tc4869" 【题型七】焦点三角形：双底角型 PAGEREF _Tc4869 14
\l "_Tc4906" 【题型八】焦点三角形：双余弦定理型 PAGEREF _Tc4906 16
\l "_Tc16031" 【题型九】焦点弦与定比分点 PAGEREF _Tc16031 19
\l "_Tc11206" 【题型十】焦点圆 PAGEREF _Tc11206 22
\l "_Tc31787" 【题型十一】椭圆与圆 PAGEREF _Tc31787 23
\l "_Tc20506" 培优第一阶——基础过关练 PAGEREF _Tc20506 26
\l "_Tc7908" 培优第二阶——能力提升练 PAGEREF _Tc7908 30
\l "_Tc17652" 培优第三阶——培优拔尖练 PAGEREF _Tc17652 34
综述：
1.椭圆离心率求解方法主要有：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③特殊情况下的不等方程，甚至可以直接设a=1，分别解出c或b的值，c值就是离心率
2.椭圆扁平程度：因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆
【题型一】离心率基础
【典例分析】
如果椭圆的离心率为，则（ ）
A．B．或C．D．或
【答案】B
【分析】分焦点在x轴和在y轴两种情况，分别得到a,b的表达式，进而求得c的表达式，然后根据离心率得到关于k的方程，求解即可．
【详解】解：因为椭圆的离心率为，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得，
当时，椭圆焦点在轴上，可得：，解得．或.故选：B．
【变式训练】
1.已知椭圆的离心率，则m的值为______．
【答案】或3
【分析】分别对焦点在轴和轴讨论，结合离心率求解m即可.
【详解】已知椭圆方程为当焦点在轴上，即时，有，
则依题意得，解得m＝3.当焦点在轴上，即时，有
则，依题意有解得，即的值为或.
故答案为：或
2.方程表示的曲线是椭圆，则离心率的取值范围是____________．
【答案】；
【分析】根据椭圆的标准方程求解．
【详解】由题意且，解得。所以m-3>m-4，故焦点在x轴上。且
，
故答案为：．
3.在平面直角坐标系中，若椭圆的两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是__________.
【答案】
【分析】由题易得，再利用计算即可.
【详解】由已知，，所以，故离心率为.
故答案为：.
【题型二】利用椭圆第一定义求离心率
【典例分析】
已知分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上一点，且，若，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用椭圆定义和勾股定理可构造齐次方程求得离心率.
【详解】设，则，由椭圆定义知：；
，，即，，
，椭圆的离心率.故选：C.
【变式训练】
1.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
【答案】【详解】因为关于的对称点在椭圆上，则，，为正三角形，，又，
所以轴，设，则，即，故答案为.
2..已知椭圆C的左、右焦点分别为，，直线AB过与该椭圆交于A，B两点，当为正三角形时，该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理、椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】设正三角形的边长为，
设椭圆的标准方程为：，设左、右焦点分别为，
设，则有，由椭圆的定义可知：，
，解得：，，
在中，由余弦定理可知：，
故选：B
3.已知椭圆C：（）的左､右焦点分别为F1，F2，点P为C上一点，若线段的中点在轴上，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由线段的中点在轴上，得轴，由通径长得，由直角三角形得，然后由椭圆定义得关系，转化可得离心率．
【详解】由已知可得轴，，又，则，
， ，.故选：D．

【题型三】焦点三角形与余弦定理
【典例分析】
已知是椭圆的一个焦点，若直线与椭圆相交于两点，且，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将与椭圆的左、右焦点连接起来，由椭圆的对称性得到一个平行四边形，利用椭圆的定义和余弦定理，结合重要不等式可得离心率的范围.
【详解】如图设分别为椭圆的左、右焦点，设直线与椭圆相交于，连接.
根据椭圆的对称性可得：四边形为平行四边形.
由椭圆的定义有：
由余弦定理有：
即
所以
当且仅当时取等号，又的斜率存在，故不可能在轴上.
所以等号不能成立,即即，所以故选：A
【变式训练】
1.已知是椭圆：的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于，两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意设椭圆的右焦点，根据正弦定理即可求得和的关系，即可求得椭圆的离心率．
【详解】解：设椭圆的右焦点，连接，，根据椭圆对称性可知四边形为平行四边形，
则，且由，可得，
所以，则，
由余弦定理可得
，即，
∴椭圆的离心率，故选：A．
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，若椭圆上存在一点使得，则该椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】
【分析】根据椭圆定义，结合余弦定理得到，再由基本不等式得到，转化为关于离心率的不等式，求出取值范围.
【详解】由椭圆的定义可知：，
在△中，由余弦定理得：，
所以，又，即，当且仅当时等号成立，
故，所以，，解得：.故答案为：
3.已知椭圆方程为，左、右焦点分别为、，P为椭圆上的动点，若的最大值为，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】利用椭圆的定义结合余弦定理可求得，再利用公式可求得该椭圆的离心率的值.
【详解】由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得
，
因为的最大值为，则，可得，
因此，该椭圆的离心率为.
故答案为：.
【题型四】顶角直角三角形型
【典例分析】
已知椭圆上一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆得左焦点为，连接，则四边形为矩形，从而有，由，可得，再根据椭圆的定义计算即可得解.
【详解】解：如图所示，设椭圆得左焦点为，连接，
则四边形为矩形，则，所以，
在中，由，得，
所以，所以，因为，所以，
所以，所以.故选：B.
【变式训练】
1.设椭圆的右焦点为，椭圆上的两点，关于原点对你，且满足，，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆的左焦点，由已知条件知四边形为矩形，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到，再根据，得到的范围，然后利用对勾函数的值域得到的范围，然后由求解.
【详解】如图所示：
设椭圆的左焦点，由椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，
又，即，所以四边形为矩形，，
设，，在直角中，，，得，所以，令，得，
又，得，所以，所以 ，即，所以所以椭圆的离心率的取值范围为，故选：B
2.设椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为、，P是椭圆上一点，，()，，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，运用椭圆的定义和勾股定理，求得，令，可得，即有，运用二次函数的最值的求法，解不等式可得所求范围．
【详解】解：设，，由椭圆的定义可得，，可设，可得，
即有，①由，可得，即为，②
由②①，可得，令，可得，即有，
由，可得，即，则当时，取得最小值；当或3时，取得最大值，
即有，解得：，所以椭圆离心率的取值范围为.故选：B.
3.设椭圆的两焦点为，．若椭圆C上有一点P满足，则椭圆C的离心率的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的几何性质求解
【详解】由椭圆的几何性质知当点在短轴顶点时，最大，设短轴顶点为B，则，得，
故选：A
【题型五】焦半径与第二定义
【典例分析】
已知椭圆C：的左，右焦点，过原点的直线l与椭圆C相交于M，N两点．其中M在第一象限．，则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题设易知四边形为矩形，可得，结合已知条件有即可求椭圆C的离心率的取值范围.
【详解】由椭圆的对称性知：，而，
又，即四边形为矩形，
所以，则且M在第一象限，整理得，
所以，又即，
综上，，整理得，所以.故选：D.
【变式训练】
1.设分别为椭圆的左､右焦点，若在直线（c为半焦距）上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，则椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据题意得到，得到，求得，进而求得椭圆离心率的范围.
【详解】如图所示，椭圆，可得焦距，
因为在直线上存在点P，使的长度恰好为椭圆的焦距，
可得，即，可得，即，解得
又因为椭圆的离心率，所以.选：B.
2.设F1、F2是椭圆E：的左、右焦点，P为直线上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，把用表示出来后可求得离心率．
【详解】由题意可得，，，如图，，则，所以，∴ 3a＝4c，∴．故选：C．
【题型六】第三定义与中点弦
【典例分析】
若椭圆与直线交于，两点，过原点与线段中点的连线的斜率为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】把代入椭圆得，由根与系数的关系可以推出线段中点坐标为，再由原点与线段中点的连线的斜率为，能够算出，进而利用离心率的计算公式求出即可.
【详解】解：把代入椭圆得，
整理得.设，，则，.线段中点坐标为，原点与线段中点的连线的斜率.
由椭圆，可知，，则.则椭圆的离心率.
故选：B.

【变式训练】
1..已知椭圆上关于原点对称的两点为A，B，点M为椭圆C上异于A，B的一点，直线AM和直线BM的斜率之积为，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，代入椭圆的方程，表示出，由即可得，据此即可求出离心率.
【详解】由已知可设.
设,由题设可得,,所以.
因为,
所以,则,所以.
故选：C.
2.已知直线与椭圆：（）相交于，两点，且线段的中点在直线：上，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将直线代入椭圆方程整理得关于的方程，运用韦达定理，求出中点坐标，再由条件得到，再由，，的关系和离心率公式，即可求出离心率.
【详解】解：将直线代入椭圆方程得，
，即，
设，，，，则，
即中点的横坐标是，纵坐标是，
由于线段的中点在直线上，则，又，
则，，即椭圆的离心率为.
故选：A
3.若A，B分别是椭圆，短轴上的两个顶点，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，若直线AP与BP的斜率之积为，则椭圆的离心率为_________.
【答案】
【分析】点P（x0，y0），利用直线AP与直线BP的斜率之积为，结合点P在椭圆上，求出m，利用离心率公式即得解.
【详解】设直线AP、BP的方程为，，点P（x0，y0），，，
则①，
又点P在椭圆上，②，
由①②得，m2＝4，∵m＞1，∴m＝2．即离心率e．
故答案为：.
【题型七】焦点三角形：双底角型
【典例分析】设P为椭圆上一点，且，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】设，利用正弦定理，求得与的关系，进而求得椭圆的离心率，得到答案.
【详解】设，
在中，由正弦定理得，
可得，
又由，所以，
所以
.故选：B.

【变式训练】
1.设椭圆的左、右焦点分别为、，且，若椭圆上存在点M使得在中，，则该椭圆离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】设，，，，根据题意由正弦定理化简可得，再根据列式，结合离心率公式求解即可.
【详解】设，，，．
在中，由正弦定理有，且，则，
解得．由于，即．
又恒成立，则有，得．
故答案为：
2.已知椭圆的两个焦点分别为，点为椭圆上一点，且，，则椭圆的离心率为 __．
【答案】
【分析】由题意得到，即，进而求得，结合，得到，即可求得椭圆的离心率.
【详解】因为，，则，所以,
且，所以，
又由，即，即，所以.故答案为：
3.设为椭圆上一点，两焦点分别为，，如果，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用正弦定理可求的值，此值即为椭圆的离心率的倒数，故可求椭圆的离心率.
【详解】设椭圆的半焦距为，则.
在中，由正弦定理有，
所以，故，
整理得到.
故即.故选：A.
【题型八】焦点三角形：双余弦定理型
【典例分析】
已知椭圆的焦点为，，过的直线与交于，两点，若，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意可表示出、、，在在和中利用余弦定理，再根据，得到方程，解得.
【详解】解：，，
在和中利用余弦定理可得
。
即
化简可得同除得：解得或（舍去）故选：

【变式训练】
1.已知椭圆的上顶点，左右焦点分别为，连接，并延长交椭圆于另一点P，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意及椭圆的定义，可求得、的长，根据三角函数定义，求得根据余弦定理，可求得，根据两角的关系，列出方程，代入离心率公式，即可得答案.
【详解】由题意得，所以，则，
由椭圆的定义可得，所以，因为，
所以，解得，，在中，，
在中，，因为，
所以，即，所以所以.故选：C
2.椭圆的左焦点为点，过原点的直线与椭圆交于，两点，若，，，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性，得到，分别在和，利用余弦定理列出方程组，求得，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】解：设为椭圆的右焦点，根据椭圆的对称性可知，四边形为平行四边形，令，在中，，
则，即
在中，，则，
即，联立方程组，解得，
因为，所以椭圆的离心率为.故选：B.
3.已知，，分别是椭圆的左焦点､右焦点､上顶点，连接并延长交于点，若为等腰三角形，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意和椭圆的定义可得，进而求出，
，利用余弦定理求出，结合列出关于a与c的方程，解方程即可.
【详解】由椭圆的定义，得，由椭圆的对称性，得，
设，则，又，所以，因为为等腰三角形，所以，
即，得，所以，.在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
又，所以，即，整理，得，
所以，由，得.故选：C
【题型九】焦点弦与定比分点
【典例分析】
设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据题意，设，则，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求椭圆的离心率.
【详解】由题意，如图：设，因，则，由椭圆的定义知，，，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得，
在中，由余弦定理得：，
即，即，即，
所以，椭圆的离心率为.故选：A.
【变式训练】
1.已知椭圆的左右焦点分别为，过的直线与C交于两点.若，，则C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由，，利用椭圆的定义，求得，，，
可得，，由于，由二倍角公式列方程可得结果.
【详解】如图，由题意可得：，，，，所以，故，可得，，，，利用，则为等腰三角形，所以，，，,可得，可得．故选：C
2.已知椭圆的左右焦点分别为，，点A是椭圆上一点，线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为B，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】线段的垂直平分线与椭圆的一个交点为，可得．根据，，可得，．点是椭圆短轴的一个端点，不妨设为上端点．作轴，垂足为点．可得．利用性质可得点的坐标．代入椭圆方程可得离心率．
【详解】由题意知，又，所以线段AB过点且，
不妨设，故，由椭圆定义可得，
故，，，，故点A为椭圆短轴的一个端点，
不妨设，过点B作轴于M，由和相似，又，可得，
所以点，所以点，
代入椭圆的方程可得，解得，即.故选：．
3.直线经过椭圆的右焦点，交椭圆于，两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由直线方程求出，的坐标，再由向量关系得出点坐标，利用椭圆定义可得，然后可计算出离心率．
【详解】中，令，得到，所以椭圆的，令，得到，
设，而，
∵，∴，得过，
所以，
所以.故选：D
【题型十】焦点圆
【典例分析】
已知P为椭圆上一点，，是椭圆的左、右焦点，若使为直角三角形的点P有且只有4个，则椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先考虑通径上有四个点满足题意，然后根据以为直径的圆与椭圆无交点得到关于，，的不等式，通过不等式求解椭圆离心率即可.
【详解】方法一：当轴时，有两个点满足为直角三角形；
同理当轴时，有两个点满足为直角三角形．
∵使为直角三角形的点有且只有4个，
∴以原点为圆心，c为半径的圆与椭圆无交点，∴，
∴，∴，又，解得.
方法二：由题意为直角三角形的点有且只有4个，根据椭圆的几何性质可知，当点落在椭圆的短轴端点时，取得最大值，可得此时,
又，故.故选：A．
【变式训练】
1.已知圆与轴的交点分别为点是直线上的任意一点，椭圆以为焦点且过点，则椭圆的离心率的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意易得椭圆的半焦距，然后求得点关于直线的对称点为，由，此时椭圆的离心率取得最大值求解.
【详解】圆与轴的交点分别为，，不妨令点，，
椭圆的半焦距．
设点关于直线的对称点为，，解得，．
如图所示：连接交直线于点，此时有最小值，此时的最小值为，当长轴长最小时，椭圆的离心率取得最大值，
即．又，椭圆的离心率的取值范围为，故选：A
2.已知椭圆的左右焦点分别为，直线与C相交于M，N两点（其中M在第一象限），若M，，N，四点共圆，且直线倾斜角不小于，则椭圆C的离心率e的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和圆的性质得以为直径的圆与椭圆C有公共点，则有以，再根据直线倾斜角不小于得，由椭圆的定义得，由此可求得椭圆离心率的范围.
【详解】解：设椭圆的半焦距为c，由椭圆的中心对称性和M，，N，四点共圆得，四边形必为一个矩形，
即以为直径的圆与椭圆C有公共点，所以，所以，所以，
因为直线倾斜角不小于，所以直线倾斜角不小于，所以，化简得，，
因为，所以，所以，，又，
因为，所以，所以，所以，
所以.故选：B.
【题型十一】椭圆与圆
【典例分析】
.已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】连接，设直线、分别与圆切于点A、B，，根据题意得到，在直角三角形中，利用正弦函数的定义得到，再结合，得到的离心率的取值范围．
【详解】连接，当不为椭圆的上、下顶点时，设直线、分别与圆切于点A、B，，
∵存在、使得，∴，即，
又，∴，连接，则，∴．又是上任意一点，则，
又，∴，则由，得，又，∴．故选：C．
【变式训练】
1.已知为椭圆左焦点，直线过椭圆的中心且与椭圆交于，两点．若以为直径的圆过，且，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设,由以为直径的圆过,可得,即,运用直径所对的圆周角为直角,以及锐角三角函数的定义,以及辅助角公式,结合离心率公式可得所求范围．
【详解】解:设,则
由以为直径的圆过,可得,即
在直角三角形中,,
由椭圆的对称性可得
即有. 由可得，则.故选:A．
2.椭圆的焦点，，长轴长为，在椭圆上存在点，使，对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】椭圆上存在点，使，只需最大角，结合直线上存在点到圆心距离等于2，可建立不等关系求出离心率的范围.
【详解】由题：椭圆的焦点，，长轴长为，在椭圆上存在点，使，只需最大角，即当为短轴端点时，
得最大角即，
所以，即，
又对于直线，在圆上始终存在两点使得直线上有点，满足，临界情况即过点作圆的两条切线互相垂直，此时点到圆心的距离为2，
直线上存在点到圆心距离等于2，
只需到直线距离小于等于2，，，
所以离心率，且，综上所述：椭圆离心率的取值范围.故选：A
3.已知椭圆：的左、右焦点分别为、，第二象限的点在椭圆上，且，若椭圆的离心率为，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据离心率，将椭圆的方程变形整理为：，再根据，列方程，两方程联立，求解.再计算斜率即可.
【详解】依题意，，解得，故，则椭圆：；而，联立，解得，则，故.故选：D
分阶培优练
培优第一阶——基础过关练
1.设和为椭圆的两个焦点，若，，是等边三角形的三个顶点，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由三角形是等边三角形，得到b、c的齐次式，即可求出离心率.
【详解】设椭圆是焦距为2c.
因为，，是等边三角形的三个顶点，
所以，有，则.
故选：B.
2.椭圆的左､右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆的定义，求得，再由，求得的值，结合离心率的定义，即可求解.
【详解】因为的周长为，根据椭圆的定义可得，解得，
则，所以，则椭圆的离心率为.故选：A.
3.已知椭圆的两个焦点为，，若椭圆上存在一点满足，则椭圆离心率的最小值为________．
答案】
【分析】不妨设椭圆的两个焦点在轴上，故当点为椭圆的上下顶点时最大
设椭圆的上顶点为，则，结合，，分析即得解
【详解】
不妨设椭圆的两个焦点在轴上，故当点为椭圆的上下顶点时最大
设椭圆的上顶点为，若椭圆上存在一点满足，
则且，故故
则则椭圆离心率的最小值为故答案为：
4.已知椭圆的左、右焦点分别为，直线与相交于两点（在第一象限）.若四点共圆，且直线的倾斜角为，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】依据四点共圆，且直线的倾斜角为，利用椭圆定义可得，进而求得椭圆的离心率
【详解】根据题意四边形为平行四边形，
又由四点共圆，可得平行四边形为矩形，即又直线的倾斜角为，则有
则，，则，即
则椭圆的离心率故选：B
5.已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上点到焦点的最大距离为3，最小距离为1，则椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由椭圆上的点到焦点的距离最大值为，最小值为，可求出，即可计算出离心率
【详解】设椭圆的半焦距为，由题意可得，解得，，所以椭圆C的离心率，
故选：A.
6.椭圆的左顶点为，点均在上，且关于原点对称.若直线的斜率之积为，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，再根据直线的斜率之积为列式，结合椭圆的方程化简即可.
【详解】设且，则.
又，故，故，所以.故选：B
7.已知椭圆， 是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则______.
【答案】【解析】设, ，因为，所以可得 ， ，三等式联立消去 可得 故答案为.故答案为
8.．设,分别是椭圆的左､右焦点，过点的直线交椭圆于两点，，若，则椭圆的离心率为___________.
【答案】
【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的等量关系式，从而求出离心率
【详解】设，则，，，.
，在中，由余弦定理得，，
，化简可得，而，故，
，，，，是等腰直角三角形，
，椭圆的离心率 ，故答案为：.
9.已知，分别为椭圆的左、右两个焦点，是以为直径的圆与该椭圆的一个交点，且，则这个椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由几何关系得，再由椭圆性质求解
【详解】由题意为直角三角形，，而，则，又，
∴，，由椭圆的定义知，，
∴离心率为．
故选：A
10.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点（在x轴上方），连结PF1并延长交椭圆于另一点Q，且PF1＝3F1Q，若PF2垂直于x轴，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】求得椭圆的左右焦点，设，由题意可得，代入椭圆方程求得，再由向量共线的坐标表示可得的坐标，代入椭圆方程，化简整理，由椭圆的离心率公式可得所求值．
【详解】解：设椭圆的左、右焦点分别为，，
设，，由垂直于轴可得，由，可得，
设，由，可得，，解得，，
将，代入椭圆方程可得，即，即有，
则，故选：．
11.以椭圆的右焦点F为圆心､c为半径作圆，O为坐标原点，若圆F与椭圆C交于A，B两点，点D是OF的中点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由几何性质得出点坐标，代入椭圆方程求解
【详解】不妨令点A在第一象限，由D是OF的中点，且，。可知△OAF是正三角形，则，
将点A坐标代入椭圆C方程可得，即，即，
整理得，即，得或.
因为，所以，则。故选：C
培优第二阶——能力提升练
1.已知，为椭圆（）的两个焦点，过作椭圆的弦AB，若的周长为8，椭圆的离心率，则椭圆的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆定义求得，结合椭圆离心率公式、椭圆中的关系求得即可得出椭圆方程.
【详解】由椭圆的定义知，所以，
又因为，所以，，所以椭圆的方程为.
故选：D
2.若是椭圆C的两个焦点，P为C上一点，且，，则C的离心率为_______．
【答案】
【分析】由椭圆的定义与余弦定理求解
【详解】由椭圆定义得，又，
解得，，而在中，由余弦定理得
解得故答案为：
3.已知椭圆的左、右焦点分别为，为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆上，则该椭圆的离心率为______．
【答案】
【分析】根据椭圆的定义与几何性质判断为正三角形，且轴，设，可得，从而可得结果.
【详解】
因为关于的对称点在椭圆上，
则，，
为正三角形，，
又，
所以轴，
设，则，
即，故答案为.
4..椭圆上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，只要最大时大于等于即可，从而可得出答案.
【详解】解：当点位于短轴的端点时，最大，要使椭圆上存在一点P满足，
只要最大时大于等于即可，即当点位于短轴的端点时，，
所以，又椭圆的离心率，所以椭圆的离心率的范围是.
故选：D.
5.已知，分别是椭圆的左顶点和右焦点，是椭圆上一点，直线与直线相交于点.且是顶角为120°的等腰三角形，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据是顶角为120°的等腰三角形，建立等式，解方程可得结果.
【详解】如图，设直线与轴的交点为，由是顶角为120°的等腰三角形，知，.
于是，在中.而，故.
结合得，即，解得.故选：C.
6.已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据椭圆性质结合离心率运算处理．
【详解】由题得：，所以
故选：A．
7.在平面直角坐标系中，已知的顶点，顶点在椭圆上，___
【答案】【解析】由题意椭圆中． 故是椭圆的两个焦点， ，由正弦定理得
8.已知椭圆=1（a>b>0）的右焦点为F，椭圆上的A，B两点关于原点对称，|FA|=2|FB|，且·≤ a2，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）
A．（0，]B．（0，]C．，1)D．，1)
【答案】B
【分析】如图设椭圆的左焦点为E，根据题意和椭圆的定义可知，
利用余弦定理求出，结合平面向量的数量积计算即可.
【详解】由题意知，如图，设椭圆的左焦点为E，则，
因为点A、B关于原点对称，所以四边形为平行四边形，由，得，，
在中，，所以，
由，得，整理，得，又，
所以.故选：B
9.设，分别是椭圆的左右焦点，为椭圆的下顶点，为过点，，的圆与椭圆的一个交点，且，则的值为__________.
【答案】【详解】设过三点的圆的圆心为 是通径的一半，
是圆中的一条弦，根据圆的对称性可知的坐标，
，整理得
整理得解得，舍去负根
10.已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，直线BF与椭圆C的另一个交点为D，且，则C的离心率为 （ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，根据得，代入椭圆方程即可求得离心率.
【详解】设椭圆方程，所以，设，
所以，所以，在椭圆上，
所以，.故选：A
11.在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点为，以为圆心的圆与直线交于两点，且，，则的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据题意可设出的中点为，由可得出即，在可求出即为直线直线的斜率，从而可得到的离心率.
【详解】设的中点为，则，由，
得，即，设，，
在等边中，，在中有，
而直线的斜率是，所以，即，解得故选：C
培优第三阶——培优拔尖练
1.已知､是椭圆的两焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆交于､两点，若为直角三角形，则该椭圆离心率的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据椭圆的几何性质及定义得到，即可求出离心率.
【详解】如图示，
由椭圆的对称性知为等腰直角三角形，所以为等腰直角三角形.
由椭圆的定义知：，而，所以.
所以，所以离心率.故选：D
2.．已知点P是椭圆上的一点，、为椭圆的左、右焦点，若，且的面积为，则椭圆的离心率是______________．
【答案】##
【分析】根据三角形面积公式求出，利用椭圆的定义及三角形余弦定理即可求出结果．
【详解】由，的面积为，可得，
∴．再根据椭圆的定义可得．
再利用余弦定理可得
，求得，∴．故答案为：．
3.已知椭圆C的方程为离心率，，分别为左焦点和右顶点，点在椭圆上，若为锐角，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】利用离心率先求出，然后把点参数化，得到，进而利用为锐角，得到，最后得到实数的取值范围
【详解】∵椭圆C的标准方程为，∴，
又∵椭圆C的离心率，∴，则，若点在椭圆上，
则，（为参数），则，，
若为锐角，则，
即，，又由时，与同向，，
故，，即实数的取值范围是
故答案为：
4..过原点的一条直线与椭圆交于A，B两点，为椭圆右焦点，且AB长度等于焦距长，若，则该椭圆离心率的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由椭圆的对称性可知四边形是平行四边形，且AB长度等于焦距长则该四边形为矩形，进而用角分别表示，进而由椭圆的定义构建方程并表示离心率，最后由三角函数求值域方式求得取值范围.
【详解】由题可知，AB长度等于焦距长且直线AB过原点，由椭圆的对称性可知，四边形是矩形，则，
又因为点A在椭圆上，则，即，
因为，即，则，故
5.设，分别为椭圆的左，右焦点，若直线上存在点，使，则椭圆离心率的取值范围为______.
【答案】
【分析】由题设易知，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围.
【详解】由题设，，则，而，
所以.故答案为：.
6.已知A，B分别为椭圆：的左、右顶点，是椭圆上关于x轴对称的不同两点，设直线AP，BQ的斜率分别为，，若，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，则，可计算出，然后可得答案.
【详解】根据椭圆的标准方程：知，，
设，则，且，，，
所以．又，所以，
故选：C．
7.已知，为椭圆：的左、右顶点，点在上，在中，，，则椭圆的离心率为________．
【答案】
【分析】设，进而根据，求出m,n，然后将m,n代入椭圆方程进而得到a,b的关系，然后求出离心率.
【详解】根据椭圆的对称性不妨设点在x轴上方，设，
由，，
联立解得：，代入到椭圆方程得：，
所以.故答案为：.
8.如图，椭圆M：的左、右焦点分别为，，两平行直线，分别过，交M于A，B、C，D四点，且，，则M的离心率为___．
【答案】
【分析】设，根据椭圆定义、对称性得到、、、，再利用勾股定理得到参数的齐次方程，进而求离心率.
【详解】设，则，故．
由椭圆的对称性知：，连接，则．
又，，所以，
在Rt中，即，解得，则，．
在中，即＋，得，所以M的离心率．
故答案为：
9.已知椭圆的左，右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．若，则椭圆C的离心率的取值范围为______．
【答案】
【分析】根据题意可得，且，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可
【详解】由题意，因为线段为直径的圆与椭圆C在第一象限相交于点A．
故半径,即 ，且.
又离心率，
因为，结合题意有，设，则，易得对勾函数在上单调递增，故在上单调递增，故，即
故答案为：
10.已知是椭圆的左焦点，过作倾斜角为的直线与椭圆交于A，B两点，若，则椭圆E的离心率为___________.
【答案】
【分析】设直线为联立椭圆方程，应用韦达定理求、，根据已知有，进而可得椭圆参数的齐次方程，即可得离心率.
【详解】由题设，令直线为，联立椭圆，消去x并整理得：，
所以，，又，易知：，则，
所以且，整理得，
由，则.故答案为：
11.已知点F是椭圆的上焦点，点P在椭圆E上，线段PF与圆相切于点Q，O为坐标原点，且，则椭圆E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据可得，结合圆的相切关系可得，然后利用椭圆的定义及勾股定理可求离心率.
【详解】设椭圆的下焦点为，圆的圆心为，线段的中点为，
因为，所以，即；所以，由于，所以；
因为线段PF与圆相切于点Q，所以，所以，所以；
因为，所以；根据椭圆定义可得，所以有，整理得，所以离心率.故选：B.【提分秘籍】
基本规律
椭圆离心率：
1.e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2) e∈(0,1)
2.椭圆扁平程度：因为e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2－b2,a2))＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2)，所以e越大，椭圆越扁；e越小，椭圆越圆
【提分秘籍】
基本规律
1.椭圆第一定义：
2.一般情况下，见到与一个焦点有关的长度，则利用第一定义转化为与另一个焦点的距离。
【提分秘籍】
基本规律
焦点三角形
（1）焦点三角形面积：
椭圆：
2．顶角
椭圆顶角在短轴顶点处最大。
3．与正余弦定理结合
设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有.
【提分秘籍】
基本规律
焦点三角形定角为直角：
1.点P是椭圆上一动点.B是短轴端点，则有：动点角范围：0≤∠F1PF2≤∠F1BF2；
2.利用椭圆的定义和勾股定理
【提分秘籍】
基本规律
点P是椭圆上一动点，则有：
1.焦半径范围：a－c≤|PF1|≤a＋c (长轴顶点到焦点最近和最远，即远、近地点)；
|2.PO|范围：b≤|PO|≤a(长、短轴顶点到原点最远、最近；
3.椭圆焦半径：
【提分秘籍】
基本规律
第三定义，又叫中点弦定理
1.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.
2.AB是椭圆的关于原点对称的两点，P椭圆上异于A、B的任一点，若斜率存在，则
【提分秘籍】
基本规律
设椭圆（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记, ,，则有
【提分秘籍】
基本规律
双三角形双余弦定理，常见的一般模型如下图：
【提分秘籍】
基本规律
椭圆焦点弦定比分点，有以下结论：
过圆锥曲线的焦点F的弦AB与对称轴（椭圆是长轴）的夹角为
．焦点弦直线斜率
若直线斜率为k，
【提分秘籍】
基本规律
以椭圆两个焦点为直径端点的圆，简称为“焦点圆”：
1.如果cb，则该圆与椭圆有、四个交点。
2.可以借助焦点三角形（直角）来解决，也可以通过圆的方程与椭圆方程联立解交点坐标。