数学北师大版（2024）3 勾股定理的应用一课一练

这是一份数学北师大版（2024）3 勾股定理的应用一课一练，共10页。试卷主要包含了8mB．1mC．1，2米B．2，5，等内容，欢迎下载使用。
一、基础应用
1．一架长5m的梯子，如图那样斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙1.4m，如果梯子的顶端下滑0.8m，那么他的底部滑行了（ ）
A．0.8mB．1mC．1.2mD．1.6m
2．如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面面5m处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m 处， 旗杆折断之前的高度是（ ）
A．5mB．12mC．13mD．18m
3．一个台阶如图，阶梯每一层高15cm，宽25cm，长60cm．一只蚂蚁从A点爬到B点最短路程是（ ）
A．60cmB．80cmC．90cmD．100cm
4．如图，一条小巷的左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离OB为1.5米，梯子顶端到地面距离AB为2米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面距离CD为2.4米，则小巷的宽度BD为（ ）
A．2.2米B．2.3米C．2.4米D．2.5米
5．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离C处5米的绿地旁边B处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从A到B，而是沿小道从A→C→B，这样多走了 米．
6．如图，一个游泳爱好者，要横跨一条宽AC=8m 的河流，由于水流速度的原因，这位游泳爱好者向下游偏离了BC=6m，这位游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为 米．
7．为了更好地提升居民的生活水平和居住满意度，某小区进行小范围绿化，要在一块如图所示的四边形空地ABCD内进行绿化改造，∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，BC＝17m，CD＝8m．
（1）若要在B，D两点间铺一条鹅卵石路，铺设成本为120元/m；最低花费为多少元？
（2）如果种植草皮的费用是200元/m2，那么在整块空地上种植草皮共需投入多少元？
二、能力提升
8．如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON＝30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以20米/秒的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（ ）
A．16秒B．18秒C．20秒D．22秒
9．如图，有一个绳索拉直的木马秋干，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米（即DE=3米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ）
A．1米B．2米C．2米D．4米
10．我国古代数学著作《九章算术》记载了一道有趣的问题．原文是：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何．译为：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，水的深度与这根芦苇的长度分别是多少？设芦苇的长度是x尺．根据题意，可列方程为（ ）
A．（x﹣1）2+52＝x2B．x2+102＝（x+1）2
C．（x﹣1）2+102＝x2D．x2+52＝（x+1）2
11．如图 ， E 为矩形 ABCD 的边 AB 上一点， 将矩形沿 CE 折叠， 使点 B 恰好落在 ED上的点 F 处． 若 BE=1，BC=3， 则 CD 的长为（ ）
A．6B．5C．4D．3
12．如图， 在矩形纸片 ABCD 中， AD=8， 折叠纸片，使 AB 边与对角线 AC 重合， 点 B 落在点 F 处，折痕为 AE， 若 EF=3， 则 AB 的长为 .
13．如图， 在矩形 AB CD 中， CD=4，BC=8， 将 △BCD 沿 BD 翻折得到 △BED，BE 交 AD于点 F， 则 AF=
14．2025年1月1日，汕头市区春节烟火晚会精彩呈现，吸引了近万名市民共同感受“粤东之城，蛇年呈祥”的美好图景．如图，东海岸道路上有A、B两个出口，相距250米，在公路北面不远处的C地是烟火晚会烟花燃放处，已知C与A的距离为150米，与B的距离为200米，在烟花燃放过程中，为了安全起见，燃放点C周围半径130米范围内不得进入．
（1）烟花燃放点C距离公路的垂直距离为多少米？
（2）烟花燃放过程中，按照安全要求，A、B之间的公路是否需要暂时封锁？若需要封锁，请说明理由，并求出需要封锁的公路长．
15．如图，某沿海城市A接到台风预警，在该市正南方向340km的B处有一台风中心，沿BC方向以20km/ℎ的速度移动，已知城市A到BC的距离AD为160km．
（1）台风中心经过多长时间从B点移到D点？
（2）如果在距台风中心200km的圆形区域内都将受到台风的影响，那么A市受到台风影响的时间持续多少小时？
16．如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE=1m，将它往前推送4m（水平距离BC=4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF=2m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．
三、综合拓展
17．
（1）问题背景在△ABC 中，AB，BC，AC 三边的长分别为 5，10，13，求这个三角形的面积.小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1)，再在网格中画出格点△ABC(即△ABC 三个顶点都在小正方形的顶点处)，如图①所示.这样不需求△ABC 的高，而借用网格就能计算出它的面积.
请你将△ABC 的面积直接填写在横线上： .
（2）思维拓展我们把上述求△ABC 面积的方法叫作构图法，若△ABC 三边的长分别为 5a，22a，17aa0)，请利用图②的正方形网格(每个小正方形的边长为a)画出相应的△ABC，并求出它的面积.
（3）探索创新若△ABC三边的长分别为 m2+16n2，9m2+4n2， 2m2+n2m0，n>0，且m≠n)，试运用构图法求出这个三角形的面积.
18．阅读与思考
阅读下列材料并完成相应的任务．
任务：
（1）在以上两种方法中任选一种，证明以a，b，c为边长的△ABC是直角三角形．
（2）学校园林设计师按照如图所示的方式摆放兰花，已知这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m，要求在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，请你计算出总共需要的兰花数量．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】D
3．【答案】D
4．【答案】A
5．【答案】4
6．【答案】10
7．【答案】（1）解：如图，连接BD，
∵∠A＝90°，AB＝12m，AD＝9m，
∴BD＝AB2+AD2＝122+92＝15（m），
∴铺设这条鹅卵石路的最低花费为120×15＝1800（元）；
（2）解：∵CD＝8m，BC＝17m，BD＝15m，
∴CD2+BD2＝82+152＝289＝172＝BC2，
∴∠BDC＝90°，
∴整块空地的面积为：S∆ABD+S∆BCD=12×9×12+12×15×8=114(m2)，
∴整块空地上种植草皮共需投入114×200＝22800（元）．
8．【答案】A
9．【答案】A
10．【答案】A
11．【答案】B
12．【答案】6
13．【答案】3
14．【答案】（1）（1）解：由题意得AB=250米，AC=150米，BC=200米，
如图，过C作CD⊥AB，
∵1502+2002=2502，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB=90°，
S△ABC=12AC⋅BC=12AB⋅CD，
∴12×150×200=12×250×CD，
解得：CD=120（米），
答：烟花燃放点C距离公路的垂直距离为120米
（2）（2）解：按照安全要求，A、B之间的公路需要暂时封锁，理由如下：
如图，由（1）可知，CD=1200，
c−b=1>0，
∴c>a，c>b，
a2+b2=m2+[12(m2−1)]2=14(m4+2m2+1)=[12(m2+1)]2=c2，
∴a，b，c为边长的△ABC是直角三角形；
方法二：∵a=m2−n2，b=2mn，c=m2+n2，
∴a2=m4−2m2n2+n4，b2=4m2n2，c2=m4+2m2n2+n4，
∴a2+b2=c2，
∴a，b，c为边长的△ABC是直角三角形
（2）解：∵这四个直角三角形全等，且直角三角形的三边是勾股数，较短的直角边长为7m，
∴直角三角形的三边长为7m，24m，25m，
∴正方形AHFD的边长为：7+24=31(m)，
正方形BCEG的边长为：25m，
∵在每个直角三角形的三个顶点处需要摆放一盆兰花，每个直角三角形的三条边间隔1米摆放一盆兰花，
∴正方形AHFD上摆放兰花的盆数为：32+31+31+30=124（盆），
正方形BCEG上摆放兰花的盆数为：24×4=96（盆），
∴总共需要的兰花数量为：124+96=220（盆），
答：总共需要兰花220盆．我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方，勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”．关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”．
以下是毕达哥拉斯等学派研究出的确定勾股数组的两种方法：
方法1：若m为奇数(m≥3)，则a=m，b=12(m2−1)和c=12(m2+1)是勾股数．
方法2：若任取两个正整数m和n(m>n)，则a=m2−n2，b=2mn，c=m2+n2是勾股数．