人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线一课一练

这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册双曲线一课一练，文件包含人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题35直线与双曲线的位置关系七大题型原卷版docx、人教A版高中数学高二上册选择性必修第一册同步考点讲与练专题35直线与双曲线的位置关系七大题型解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共33页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc22968" 【题型1 判断直线与双曲线的位置关系】 PAGEREF _Tc22968 \h 2
\l "_Tc6656" 【题型2 根据直线与双曲线的位置关系求参数或范围】 PAGEREF _Tc6656 \h 3
\l "_Tc13471" 【题型3 双曲线的弦长问题】 PAGEREF _Tc13471 \h 6
\l "_Tc6217" 【题型4 双曲线的“中点弦”问题】 PAGEREF _Tc6217 \h 9
\l "_Tc16618" 【题型5 双曲线中的面积问题】 PAGEREF _Tc16618 \h 11
\l "_Tc16794" 【题型6 双曲线中的定点、定值、定直线问题】 PAGEREF _Tc16794 \h 17
\l "_Tc12158" 【题型7 双曲线中的最值问题】 PAGEREF _Tc12158 \h 22
【知识点1 直线与双曲线的位置关系】
1．直线与双曲线的位置关系
(1)研究直线与双曲线的位置关系：
一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断.
①代入②得.
当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点.
当0，即时，=.
>0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交；
=0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切；
0x1+x20；
③若一条直线与双曲线的左、右两支各有一个交点，则应满足条件Δ>0x1x20)，则右焦点F(2a,0)，所以直线方程为y=3(x−2a)，
设A(x1,y1),B(x2,y2)，将y=3(x−2a)代入x2a2−y2a2=1(a>0)化简得，8x2−182ax+19a2=0，
所以x1+x2=92a4,x1x2=19a28，所以AB=1+9(x1+x2)2−4x1x2=1010a216=5，
解得a2=4，得a=2，所以双曲线方程为x24−y24=1，所以双曲线的右焦点为F(22,0)，
直线方程为y=3(x−22)，由y=xy=3(x−22)，得x=32y=32，由y=−xy=3(x−22)，得x=322y=−322，
所以CD=32−3222+32+3222=35，
故选：C.
【题型4 双曲线的“中点弦”问题】
【例4】已知双曲线方程x2−y23=1，则以A2,1为中点的弦所在直线l的方程是（ ）
A．6x+y−11=0B．6x−y−11=0C．x−6y−11=0D．x+6y+11=0
【解题思路】利用点差法可求得直线l的斜率，利用点斜式可得出直线l的方程.
【解答过程】设直线l交双曲线x2−y23=1于点Mx1,y1、Nx2,y2，则x1+x2=4y1+y2=2，
由已知得x12−y123=1x22−y223=1，两式作差得x12−x22=y12−y223，所以，y1−y2x1−x2=3x1+x2y1+y2=6，即直线l的斜率为6，
故直线l的斜率为y−1=6x−2，即6x−y−11=0.经检验满足题意，故选：B.
【变式4-1】已知双曲线C：x2−y2b2=1(b>0)的焦点到渐近线的距离为2，直线l与C相交于A，B两点，若线段AB的中点为N1,2，则直线l的斜率为（ ）
A．−1B．1C．2D．2
【解题思路】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线l的斜率.
【解答过程】因为双曲线的标准方程为x2−y2b2=1(b>0)，所以它的一个焦点为(c,0)，一条渐近线方程为bx−y=0，所以焦点到渐近线的距离d=bcb2+1=2，化简得b2c2=2(b2+1)，解得b2=2，
所以双曲线的标准方程为x2−y22=1，设A(x1,y1),B(x2,y2)，所以x12−y122=1①，x22−y222=1②，
①-②得，(x12−x22)−12(y12−y22)=0，化简得(x1+x2)(x1−x2)−12(y1+y2)(y1−y2)=0③，
因为线段AB的中点为N1,2，所以x1+x2=2,y1+y2=4，代入③，整理得x1−x2=y1−y2，
显然x1≠x2,y1≠y2，所以直线l的斜率k=y1−y2x1−x2=1.故选：B.
【变式4-2】已知点A，B在双曲线x2−y2=3上，线段AB的中点为M1,2，则AB=（ ）
A．25B．45C．210D．410
【解题思路】首先结合已知条件，利用点差法求出直线AB的斜率，进而得到直线AB的方程，然后联立双曲线方程，结合韦达定理和弦长公式求解即可.
【解答过程】不妨设A(x1,y1)，B(x2,y2)，从而x12−y12=3，x22−y22=3，
由两式相减可得，(x1−x2)(x1+x2)−(y1−y2)(y1+y2)=0，
又因为线段AB的中点为M1,2，从而x1+x2=2，y1+y2=4，故y1−y2x1−x2=12，即直线AB的斜率为12，
直线AB的方程为：y−2=12(x−1)，即y=12x+32，
将y=12x+32代入x2−y2=3可得，x2−2x−7=0，从而x1+x2=2，x1x2=−7，
故AB=1+(12)2|x1−x2|=52(x1+x2)2−4x1x2=210.故选：C.
【变式4-3】已知双曲线x2−y22=1，过点P1,1的直线l与该双曲线相交于A,B两点，若P是线段AB的中点，则直线l的方程为（ ）
A．2x−y−1=0B．2x+y−1=0
C．2x−y+1=0D．该直线不存在
【解题思路】设Ax1,y1,Bx2,y2，代入双曲线方程作差可得x1+x2x1−x2=y1+y2y1−y22，若P是线段AB的中点，则x1+x2=2,y1+y2=2，则可得直线方程，检验直线方程与双曲线方程交点是否存在，即可确定直线l的方程.
【解答过程】解：设Ax1,y1,Bx2,y2，且x1≠x2，代入双曲线方程得x12−y122=1x22−y222=1，两式相减得：
x12−x22=y122−y222⇒x1+x2x1−x2=y1+y2y1−y22，若P是线段AB的中点，则x1+x2=2,y1+y2=2，所以y1−y2x1−x2=2，即直线AB的斜率为2，所以直线AB方程为：y−1=2x−1，即2x−y−1=0；但联立x2−y22=12x−y−1=0，得2x2−4x+3=0，则Δ=16−4×2×3=−80,b>0的左、右焦点分别为F1,F2，F1F2=25，且E的渐近线方程为y=±x2．
(1)求E的方程；
(2)过F2作两条相互垂直的直线l1和l2，与E的右支分别交于A，C两点和B，D两点，求四边形ABCD面积的最小值．
【解题思路】（1）根据题意得到ba=12，结合F1F2=2a2+b2=25b2=25，求得a,b的值即可；
（2）设直线l1:y=kx−5，l2:y=−1kx−5，求得140的渐近线方程为y=±bax，
因为双曲线E的渐近线方程为y=±x2，所以ba=12，即a=2b，
又因为F1F2=2a2+b2=25b2=25，所以b=1，则a=2，故E的方程为x24−y2=1．
（2）根据题意，直线l1，l2的斜率都存在且不为0，
设直线l1:y=kx−5，l2:y=−1kx−5，其中k≠0，
因为l1，l2均与E的右支有两个交点，所以k>12，−1k>12，所以140，因为双曲线C的离心率为2，所以e=ca=2，ba=ca2−1=3，
又双曲线C的右焦点与抛物线y2=8x的焦点重合，抛物线y2=8x的焦点坐标为2,0，
所以c=2，所以a=1,b=3，双曲线C的标准方程为x2−y23=1；
（2）知A−1,0，B1,0，设Mx,yx0，所以kMA=yx+1，kMB=yx−1，
因为MA，MB的斜率之比为3:−1，即3x+1=−x−1，解得x=−12，所以点M在直线x=−12上，
设M−12,m，Px1,y1，Qx2,y2，则切线MP方程为：xx1−yy13=1，则切线MQ方程为：xx2−yy23=1，
因为点M既在直线MP上又在直线MQ上，即：−12x1−my13=1，−12x2−my23=1，
所以直线PQ的方程为：−12x−my3=1，化简可得my3=−12x+2，所以直线PQ过定点−2,0；

（3）由（2）得直线PQ过定点N−2,0，所以，AN=1，BN=3，
所以，点B到直线PQ的距离为点A到直线PQ的距离的3倍，所以，S2=3S1，
因为S1=12AN⋅y1−y2，所以，S2−S1=2S1=y1−y2，
若直线PQ的斜率为0，则直线PQ与双曲线的左支的交点为−1,0与已知矛盾，
若直线PQ的斜率不存在，则直线PQ的方程为x=−2，
直线x=−2与双曲线x2−y23=1的交点坐标为Q−2,−3,P−2,3，
故切线MP的方程为x−2−y=1，切线MQ的方程为x−2+y=1，
此时点M的坐标为−12，0，与点M在第二象限矛盾，设PQ:x=ty−2 t≠0，
将PQ:x=ty−2代入双曲线C:x2−y23=1中得3t2−1y2−12ty+9=0，由已知3t2−1≠0，
方程3t2−1y2−12ty+9=0的判别式Δ=144t2−363t2−1=36t2+36>0，
所以，y1+y2=12t3t2−1，y1y2=93t2−1，由已知x1+x20，
所以ty1+ty20，所以12t23t2−10，
化简可得t20的离心率为2.
(1)求双曲线C的渐近线方程；
(2)若双曲线C的右焦点为F，若直线EF与C的左，右两支分别交于E,D两点，过E作l:x=a2的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.
【解题思路】（1）根据题意可得e=ca=1+b2a2=2，即可得出答案；
（2）设直线EF的方程x=my+2a，直线EF与双曲线C的左右两支分别交于E,D点，则m∈−∞,−33∪33,+∞，联立直线EF与双曲线的方程，设Dx1,y1,Ex2,y2,Ra2,y2,y1≠y2，结合韦达定理可得y1+y2,y1y2，写出直线DR的方程，令y=0，解得x,即可得出答案．
【解答过程】（1）由双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为2，
所以e=ca=c2a2=1+b2a2=2，所以ba=3，所以双曲线C的渐近线方程为y=±3x.
（2）由题意可得直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程x=my+2a，
因为直线EF与双曲线C的左右两支分别交于E,D点，则m∈−∞,−33∪33,+∞，
联立x=my+2ax2a2−y23a2=1，得3m2−1y2+12may+9a2=0，
设Dx1,y1,Ex2,y2,Ra2,y2,y1≠y2，
则y1+y2=−12ma3m2−1,y1y2=9a23m2−1，直线DR的方程y−y2=y2−y1a2−x1x−a2，
令y=0，得x=x1y2−a2y1y2−y1=my1+2ay2−a2y1y2−y1=my1y2+2ay2−a2y1y2−y1=−34ay1+y2+2ay2−a2y1y2−y1=5a4y2−y1y2−y1=5a4，
所以直线DR过定点5a4,0.
【变式6-2】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的实轴长为2，两渐近线的夹角为π3．
(1)求双曲线C的方程：
(2)当a0的渐近线方程为y=±12x，其左右焦点为F1，F2，点D为双曲线上一点，且△DF1F2的重心G点坐标为43,33.
(1)求该双曲线的标准方程；
(2)过x轴上一动点Pt,0作直线l交双曲线的左支于A，B两点，A点关于x轴的对称点为A′（A′与B不重合），连接BA′并延长交x轴于点Q，问OQ⋅OP是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.
【解题思路】（1）根据双曲线方程设x24−y2=λ，Dx0,y0，根据重心坐标公式求出D(4,3)，代入原方程即可得到λ的值，则得到双曲线方程；
（2）设l的方程为y=k(x−t)，Ax1,y1,Bx2,y2，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，写出直线BA′的方程，令y=0，解出x，将韦达定理式代入整理得x=4t，则得到定值.
【解答过程】（1）因为双曲线的渐近线方程为y=±12x，故可设双曲线的方程为x24−y2=λ，
设Dx0,y0，因为△DF1F2的重心G点的坐标为43,33，
所以x03=43y03=33，解得x0=4y0=3，所以D(4,3)，则代入得λ=1，所以双曲线的标准方程为 x24−y2=1
（2）由题意知直线l的斜率必存在，设l的方程为y=k(x−t)，
Ax1,y1,Bx2,y2，则A′x1,−y1，联立y=k(x−t)x2−4y2−4=0，
化简得1−4k2x2+8k2tx−4k2t2−4=0，则Δ=8k2t2+41−4k24k2t2+4>0，且1−4k2≠0，
由韦达定理得x1+x2=8k2t4k2−10，则直线BA′的方程为：y+y1=y2+y1x2−x1x−x1，
令y=0，则x=y1x2−x1y2+y1+y1=y1x2+x1y2y1+y2=kx1−tx2+kx2−tx1kx1+x2−2t=2kx1x2−ktx1+x2kx1+x2−2t
=8k3t2+8k4k2−1−8k3+24k2−1k⋅8k2t−8k2t+2t4k2−1=8k4k2−12tk4k2−1=4t，故|OQ|⋅|OP|=t⋅|4t∣=4.
【知识点3 双曲线中的最值问题】
1．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
【题型7 双曲线中的最值问题】
【例7】已知双曲线C：x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为4，右顶点为A，以A为圆心，b为半径的圆与双曲线的一条渐近线相交于R，S两点，且∠RAS＝60°.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)已知点M，Q是双曲线C上关于坐标原点对称的两点，其中M位于第一象限，∠F1QF2的角平分线记为l，过点M做l的垂线，垂足为E，与双曲线右支的另一交点记为点N，求MEMN的最大值.
【解题思路】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，则利用点A到渐近线bx−ay=0的距离为32b列方程组求解；
（2）方法①设点M(x0,y0)，写出直线MN方程与椭圆方程联立，利用韦达定理把MEMN，表示为点M的纵坐标的函数进行求解；方法②设直线l的斜率为k，利用角平分线的向量表示，韦达定理，弦长公式，参数间的转化，最终把MEMN表示为关于k的函数进行求解.
【解答过程】（1）由题意可知：△ARS是正三角形，所以点A到渐近线bx−ay=0的距离为32b
所以abc=32b，解得a=3,b=1，所以双曲线标准方程是：x23−y2=1
（2）方法①：由双曲线的光学性质，可知点Q处的切线即为∠F1QF2的角平分线.
设点M(x0,y0)，x0>0,y0>0，则Q−x0,−y0，设直线l的方程是：y=kx+t，
由y=kx+tx23−y2=1得：3k2−1x2+6ktx+3t2+3=0，
∴3k2−1≠0Δ=36k2t2−43k2−13t2+3=0，解得：t2=3k2−1，∴−x0=−6kt23k2−1=−3kt，
∵−y0=−kx0+t，x023−y02=1，∴k=x03y0，t=1y0，即直线l：−x0x3+y0y=1，
即：x0x−3y0y+3=0 由点到直线的距离公式得：ME=x02−3y02+3x02+9y02=612y02+3
直线MN方程：y−y0=−3y0x0(x−x0)，即：y=−3y0x0⋅x+4y0
由y=−3y0x0⋅x+4y0x2−3y2=3，得：(1−27y02x02)x2+72y02x0x−48y02−3=0
所以x0+xN=−72x0y02x02−27y02=72x0y0224y02−3，由M,N都在双曲线右支上，得：x0+xN=72x0y0224y02−3>0，所以y02>18
所以MN=1+9y02x02⋅x0−xN=12y02+3⋅24y02+624y02−3
所以MEMN=6(24y02−3)(12y02+3)(24y02+6)=8y02−1(4y02+1)2，令t=4y02+1>32，则MEMN=2t−3t2=−3(1t)2+2t
当1t=13，即y0=22时，MEMN的最大值为13.
方法②：如图，由题意知点Q在双曲线左支上，设M(x0,y0)，则Q−x0,−y0.
易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，记a=1,k，又l2为∠F1QF2的平分线，则QF1⋅aQF1=QF2⋅aQF2.
因为x023−y02=1，x0≥3，所以QF1=−2+x02+y02=−2+x02+x023−1=233x0−3，
同理QF2=233x0+3，又QF1=x0−2,y0，QF2=x0+2,y0,
代入QF1⋅aQF1=QF2⋅aQF2，得x0−2,y0⋅1,k233x0−3=x0+2,y0⋅1,k233x0+3，化简得x0=3ky0.又x0>0，y0>0，所以k>0，
由x0=3ky0x023−y02=1，x0≥3，得x0=3k3k2−1，y0=13k2−1，k>33
所以M3k3k2−1,13k2−1，Q−3k3k2−1,−13k2−1.所以直线l的方程为y=kx+3k2−1，k>33，
由点到直线的距离公式得：ME=3k2−13k2−1+3k2−1k2+1=23k2−1k2+1，
又直线MN的斜率为−1k，且过点M，所以直线MN的方程为：x=−ky+4k3k2−1，
将其与x23−y2=1x>0联立得k2−3y2−8k23k2−1y+7k2+33k2−1=0.
设Nx1,y1，则y0+y1=8k2k2−33k2−1，y0y1=7k2+3k2−33k2−1.
易知点N在第四象限，所以y0y10，b>0）的实轴长为2，且过点(e,3)，其中e为双曲线C的离心率．
(1)求C的标准方程；
(2)过点M(−2,0)且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A,B，点N在线段AB上，且|MA||MB|=|AN||NB|，P为线段AB的中点，记直线OP，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，求k1+k2的最小值．
【解题思路】（1）根据题意列式求解a,b,c即可；
（2）设直线l的方程及交点坐标，利用韦达定理求P,N的坐标，进而可得k1k2=−9，结合基本不等式分析运算即可.
【解答过程】（1）因为双曲线C:x2a2−y2b2=1的实轴长为2，则a=1，
由双曲线过点(e,3)，且e=ca=c，则c2−9b2=1，即c2−9b2=1c2=1+b2，解得b=3c=2，
故双曲线C的标准方程为x2−y23=1．
（2）设直线l:my=x+2(m≠0)，Ax1,y1，Bx2,y2,Nx3,y3,Px4,y4，
由题意可知x133或m0,b>0的右焦点为F，离心率为2，且过点P2,3．
(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设过原点O的直线l1在第一、三象限内分别交双曲线E于A，C两点，过原点O的直线l2在第二、四象限内分别交双曲线E于B，D两点，若直线AD过双曲线的右焦点F，求四边形ABCD面积的最小值．
【解题思路】（1）利用双曲线的标准方程与性质即可求解.
（2）通过直线与双曲线的位置关系，利用韦达定理，代入S△OAD=12×OF×y1−y2，求解双曲线中的最值问题．
【解答过程】（1）由双曲线E的离心率为2，得ca=2 ①．因为双曲线E过点P2,3，所以4a2−9b2=1 ②．
又c2=a2+b2③，联立①②③式，解得a=1，b=3．故双曲线E的标准方程为x2−y23=1．
（2）由双曲线的对称性，知四边形ABCD为平行四边形，所以S四边形ABCD=4S△OAD．
由题意知直线AD的斜率不为零，设AD的方程为x=my+2m≠±33．
联立x=my+2,x2−y23=1,消去x，得3m2−1y2+12my+9=0．
Δ=36m2+1>0，设Ax1,y1，Dx2,y2，则y1+y2=−12m3m2−1，y1⋅y2=93m2−1．
因为A，D均在双曲线右支，所以x1+x2>0,x1⋅x2>0,
所以my1+y2+4=−43m2−1>0,m2y1y2+2my1+y2+4=−3m2−43m2−1>0,解得0≤m2