沪教版（五四制）（2024）七年级上册（2024）整式的乘法课堂检测

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知识点1 单项式与单项式相乘
单项式与单项式相乘的法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘.
要点：
（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.
（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.
（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.
（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.
【即学即练】
1．计算：
(1) ；
(2)；
(3)；
(4)
2．计算：
（1） ；
（2） ；
（3） ．
3．已知单项式与的积为，则 ．
知识点2 单项式与整式相乘
单项式与整式相乘的运算法则
单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即
要点：
（1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.
（2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同.
（3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.
（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.
【即学即练】
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ．
3．一个长方形的长为，宽为，则这个长方形的面积为 ．
知识点3 整式与整式相乘
1.思考
如何计算(2x³+3xy)·(x+y²)?
可以把x+y²看成一个整体，运用乘法对加法的分配律计算，得
(2x³+3xy)·(x+y²)=2x³·(x+y²)+3xy·(x+y²)
=2x³·x+2x³·y²+3xy·x+3xy·y²
=2x⁴+2x³y²+3x²y+3xy³.
2.整式与整式相乘的运算法则
整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即
.
要点：
整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积.
整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：
.
【即学即练】
1．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
2．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
3．已知，则a，b的值分别是（ ）
A．B．C．D．
4．计算的结果中，含的项的系数为（ ）
A．B．1C．5D．
5．已知，，则与的大小关系为（ ）
A．B．C．D．不确定
题型01 单项式与单项式相乘
【典例1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)（n是整数，）．
【变式1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式2】．计算：
(1)；
(2)．
题型02 单项式与单项式相乘求值问题
【典例1】．先化简，后求值：，其中，．
【变式1】．已知是关于，的三次单项式，且，求的值．
【变式2】．已知与的积与是同类项．
(1)求的值，
(2)先化简，再求值：．
题型03 单项式与整式相乘
【典例1】】．计算：
(1)；
(2)．
【变式1】．（1）计算：；
（2）计算：；
（3）计算：；
（4）计算：．
【变式2】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
题型04 单项式与整式相乘求值问题
【典例1】．先化简，再求值：，其中．
【变式1】．先化简，再求值：，其中．
【变式2】．先化简，再求值：其中．
题型05 整式与整式相乘
【典例1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)．
题型06 整式与整式相乘求值问题
【典例1】．先化简，再求值：，其中．
【变式1】．先化简，再求值：其中．
【变式2】．先化简，再求值，其中．
题型07 “看错”、“抄错”等问题
【典例1】．小明在计算一个整式乘以时，因看错运算符号，变成了加上，得到的结果为-2x2-2x+1，请你帮助小明得到正确的计算结果．
【变式1】．在计算（x+a）（x+b）时，甲把b错看成了6，得到结果是：x2+8x+12．
(1)求出a的值；
(2)在（1）的条件下，且b＝﹣3时，计算（x+a）（x+b）的结果．
【变式2】．小奇计算一道整式的混合运算的题：，由于小奇将第一个整式中的“”抄成“”，得到的结果为．
(1)求的值；
(2)请计算出这道题的正确结果．
题型08 （x+p）（x+q）型整式乘法
【典例1】．若，则m，n的值分别为（ ）
A．， B．35，C．35，300D．5，
【变式1】．若，则的值为（ ）
A．11B．C．D．1
【变式2】．若，则实数a、b的符号为（ ）
A．a、b同为正B．a、b同为负
C．a、b异号且绝对值大的为正D．a、b异号且绝对值大的为负
【变式3】．已知等式（为整数），则的值不可能是（ ）
A．B．4C．11D．7
题型09 整式的乘法综合
【典例1】．计算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【变式1】．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式2】．先化简，再求值：，其中，．
题型10 根据整式的乘法求参数
【典例1】．若，则a的值为（ ）
A．2B．3C．4D．8
【变式1】．若（am＋1bn＋2）•（a2n-1b2m）＝a5b3，则m＋n的值为（ ）
A．1B．2C．3D．﹣3
【变式2】．若等式□成立，则□内应填 ．
【变式3】．如果的乘积中不含项，则= ．
题型11 整式的乘法不含某项问题
【典例1】．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（ ）
A．B．0C．2D．
【变式1】．已知的乘积项中不含和x项，则 ．
题型12 整式的乘法的几何应用
【典例1】．如图：已知长方形纸片长为，宽为，裁去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分面积为 ．
【变式1】．如图，该几何图形的面积可用代数恒等式表示为 ．
【变式2】．如图所示的是小芳卧室的结构示意图，则它的面积是 ．
【变式3】．如图，两正方形并排在一起，左边大正方形边长为右边小正方形边长为，则图中阴影部分的面积可表示为（ ）．

A．B．
C．D．
【变式4】．，两块长方形板材的规格如图所示（为正整数），设板材，面积分别为，，请比较，的大小 ．
【变式5】．如图，现有正方形卡片A类、B类和长方形卡片C类各若干张，如果要拼一个长为，宽为的长方形，则需要A类、B类、C类卡片共 张．
【变式6】．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图1可以得到，请解答下列问题：
（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若，则_____；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张边长分别为的长方形纸片拼出一个面积为长方形图形，则_______．
（4）如图4所示，将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，三点在同一直线上，连接和，若两正方形的边长满足，你能求出阴影部分的面积吗？
题型13材料、规律题
【典例1】．观察以下等式：
(1)按以上等式的规律，填空：
①______．
②______．
(2)利用整式的乘法法则，说明（1）中②的等式成立．
(3)利用（1）中的公式化简；
【变式1】．在学习整式乘以整式时，我们知道的结果是一个整式，并且最高次项为：，常数项为．那么一次项是什么呢？要解决这个问题，就是要确定一次项的系数．通过观察，我们发现：一次项的系数就是，即一次项为－3x．
请参考上面的方法，解决下列问题：
(1)计算所得整式的一次项系数为______；
(2)如果计算所得整式不含一次项，则常数a的值是______；
(3)如果，则的值是______．
【变式2】．“杨辉三角”揭示了（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系：
第一行 1
第二行 1 1 各项系数和为2
第三行 1 2 1 各项系数和为4
第四行 1 3 3 1 各项系数和为8
第五行 1 4 6 4 1 各项系数和为16
根据上述规律，完成下列各题：
(1)将展开后，各项的系数和为______．
(2)将展开后，各项的系数和为______．
(3)______．
下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题：
第一行
第二行
第三行
第四行
第五行
……………………
(4)若表示第m行，从左到右数第n个数，如表示第四行第二个数是，则表示的数是______，表示的数是______．
一、单选题
1．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
2．下列运算正确的是（）
A．B．
C．D．
3．计算等于（ ）
A．B．
C．D．
4．若，则的值为（ ）
A．B．1C．5D．6
5．已知，，则的值为（ ）
A．B．C．D．6
6．小轩计算一道整式乘法的题：，由于小轩将第一个整式中的“+2m”抄成“-2m”，得到的结果为．则m的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
7．若的结果中不含项，则的值为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正方形与正方形的边长分别为a，b，连接，若阴影部分的面积为10．当a，b的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
9．计算： ．
10．计算的结果是 ．
11．用含x的代数式表示图中阴影部分的面积为 ．
12．若，则 ．
13．若等式恒成立．无论为何值，的值始终为一个定值，则这个定值为 ．
三、解答题
14．（1）； （2）．
15．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
16．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
17．先化简，再求值：，其中．
18．已知的展开式中不含x的一次项，且常数项是．
(1)求m，n的值；
(2)先化简，再根据（1）中的结果求值．
19．如图，公园有一块长为米．宽为米的空地，图中空白处有一些樱花树，为了能使新栽中的花有充足的阳光，计划在阴影部分栽种牡丹．
(1)请用表示牡丹栽种的面积，结果化为最简；
(2)若种植牡丹费用为元/平方米．已知米，米．那么栽种牡丹需要的费用为多少元？
20．7个如图①的小长方形，长为a，宽为b，按照图②方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为 的长度为m．
(1)填空： ____，_______（用含a、b、m的式子表示）；
(2)若的值与m的取值无关，求a与b的数量关系；
(3)在（2）的条件下，直接写出的值．
21．定义：对于依次排列的整式（，，，是常数），当它们满足，且为常数时，则称，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．如对于整式，因为，所以，，，是一组平衡数，是该组平衡数的平衡因子．
(1)已知，，，是一组平衡数，求该组平衡数的平衡因子．
(2)若a，b，c，d是一组平衡数，，请写出一组b，c的值，
(3)当a，b，c，d之间满足什么数量关系时，它们是一组平衡数？请说明理由．
教学目标
会进行单项式与单项式、单项式与整式、整式与整式的乘法计算；
会利用整式的乘法求字母或代数式的值；
整式乘法的应用。
教学重难点
1.重点
（1）整式乘法的运算及求值；
（2）根据整式乘法运算求参数；
（3）整式乘法运算的综合应用。
2.难点
（1）根据整式乘法运算求参数—与整式概念、加减运算等结合；分类讨论思想；
（2）整式的乘法运算的几何应用。