2025学年七年级数学上册同步学与练(沪教版)第11章 整式的乘除（高效培优讲义）（教师版+学生版）

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第11章 整式的乘除 知识点1 幂的运算 1.乘方 我们知道，a·a·a表示三个a相乘，记作a³,叫作“a的立方”或“a的三次方”. 一般地，将n个a相乘的运算叫作乘方， 2.幂 记作“an”,乘方的结果叫作幂. 3.乘方有关的概念 在an中，a叫作底数，正整数n叫作指数.“an”读作“a的n次方”,当“an”被看作是a的n次方的结果时，也读作“a的n次幂”.当n=1时，我们规定：a¹=a. 4.同底数幂的乘法 同底数幂的乘法性质： am·an=am+n(m、n是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 同底数幂的乘法运算，可以转化为指数的加法运算. 5.幂的乘方 幂的乘方性质： (am)n=amn(m、n是正整数). 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方运算，可以转化为指数的乘法运算. 要点： （1）公式的推广： (，均为正整数) （2）逆用公式： ，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题. 6.积的乘方性质： (ab)n=anbn(n是正整数). 积的乘方，等于乘方的积. 要点： 公式的推广： (为正整数). 逆用公式：逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如： 【即学即练】 1．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方． 根据幂的运算性质和整式乘法法则，需逐一验证各选项的正确性， 【详解】解：A、，故该选项A不正确，不符合题意； B、，故该选项B不正确，不符合题意； C、，故该选项C不正确，不符合题意； D、，故该选项D正确，符合题意； 故选D． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的乘法，根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式； 故答案为：． 3．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查积的乘方的逆用．逆用积的乘方进行计算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2． 4．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，同底数幂的乘法的逆用． 先逆用积的乘方得到，再逆用同底数幂的乘法计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 5．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，先整理，结合，得，进行解方程，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 知识点2 整式的乘法 1.单项式与单项式相乘的法则 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘. 要点： （1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用. （2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式. （3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成. （4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则. 2.单项式与整式相乘的运算法则 单项式与整式相乘，就是用单项式去乘整式的每一项，再把所得的积相加.即 要点： （1）单项式与整式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题. （2）单项式与整式的乘积仍是一个整式，项数与原整式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，整式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号. （4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果. 3.整式与整式相乘的运算法则 整式与整式相乘，先用一个整式的每一项乘另一个整式的每一项，再把所得的积相加.即 . 要点： 整式与整式相乘，仍得整式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个整式的项数之积. 整式与整式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘： . 【即学即练】 1．计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，根据单项式乘以单项式运算法则即可求解，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 2．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式、多项式乘多项式等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． （1）直接运用单项式乘多项式的运算法则求解即可； （2）直接运用多项式乘多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：          ． （2）解： ． 3．若，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据多项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ， 故答案为：5． 4．如图是学校劳动基地的平面示意图，则图中阴影部分的面积是 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，以及整式的乘法、加减，解答本题的关键是掌握长方形的面积公式和合并同类项的方法． 用整个大长方形的面积减去两个空白长方形的面积，再进行计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 5．如果多项式乘积中不含关于x的一次项，那么常数 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解答本题的关键在于正确去括号并计算，直接利用多项式乘法去括号，进而得出一次项系数为0，求解即可． 【详解】解： ， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点3 乘法公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b². 要点： 在这里，既可以是具体数字，也可以是整式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b². 要点： 公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 【即学即练】 1．下列多项式相乘，不能用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式，掌握是解题关键．根据平方差公式的特点逐一判断即可． 【详解】解：A、，二项式中的两项均互为相反数，不符合平方差公式，符合题意； B、，能用平方差公式，不符合题意； C、，能用平方差公式，不符合题意； D、，能用平方差公式，不符合题意； 故选：A 2．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】本题考查了完全平方公式和平方差公式，能熟记完全平方公式和平方差公式是解此题的关键． 根据完全平方公式和平方差公式逐个判断即可． 【分析】A：应用平方差公式，应为，但选项结果为，错误； B： 可变形为，应用平方差公式得，但选项结果为，错误； C：应用完全平方公式，展开为，与选项结果一致，正确； D：正确展开为，但选项缺少，错误； 故选：C． 3．已知是完全平方式，则k的值为（     ） A． B． C． D．18 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟记完全平方公式并能进行灵活变形是解题的关键，需注意要分和的完全平方公式和差的完全平方公式两种情况，否则容易遗漏答案．根据完全平方公式的结构特征进行求解即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：C． 4．用乘法公式计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查了乘法公式，熟练掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键． （1）将化为，再由完全平方公式求解； （2）将化为，再由平方差公式求解． 【详解】（1）解：原式    ； （2）解：原式 ． 5．已知． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查由完全平方公式恒等变形求值，熟记完全平方公式，灵活变形是解决问题的关键． （1）将恒等变形为，再将代入计算即可得到答案； （2）将恒等变形为，再将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 知识点4 整式的除法 1.同底数幂的除法性质： am÷an=am-n(m、n是正整数且m>n,a≠0). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 同底数幂的除法运算，可以转化为指数的减法运算. 当a≠0时，am÷am=1.要使得同底数幂的除法性质在m=n时仍成立，即am÷am=am-m=a⁰, 规定 a⁰=1(a≠0),即任何不等于零的数的零次幂都等于1. 要点： （1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算. （2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式. （3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质. （4）底数可以是一个数，也可以是单项式或整式. 2.两个单项式相除，把系数和同底数幂分别相除. 要点：单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式. 3.整式除以单项式：先把整式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 即 要点： （1）整式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式. （2）利用法则计算时，整式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化. 【即学即练】 1．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法．利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂除法，掌握法则并熟练应用是解题关键．根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．下列四个算式：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查整式的除法运算，根据单项式除法法则：系数相除作系数，相同字母根据同底数幂除法运算，多项式除以单项的除法法则：用每一个单项式除以单项式求解即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， ，故①错误不符合题意， ，故②错误不符合题意， ，故③正确符合题意， ，故④错误不符合题意， 故选：B． 4．若，则的取值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂的除法，根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出m、n的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 5．若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用面积除以一边长求得另一边长，即可解答． 【详解】解：长方形的另一边长为：， 故答案为：． 6．先化简再求值：，其中，． 【答案】，4. 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值．利用平方差公式和多项式除以单项式运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 题型01 幂的运算 【典例1】．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方和积的乘方．根据同底数幂的乘法法则可判断选项A，根据幂的乘方和积的乘方法则可判断选项B，D，根据同底数幂的除法法则可判断选项C． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的运算性质，根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算正确，符合题意； D、，故原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式2】．若k为正整数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了积的乘方、同底数幂相乘等知识点，掌握同底数幂相乘的运算法则成为解题的关键． 先根据乘法的意义和积的乘方的运算法则可得，再根据同底数幂乘法的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 故选：B． 题型02 整式的乘除运算（解答题） 【典例1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以多项式的运算，整式的加减运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）由单项式乘以多项式法则计算即可； （2）由单项式乘以多项式法则计算即可； （3）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算； （4）先进行单项式乘以多项式，再进行整式的加减计算，最后再计算单项式乘以多项式． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)8 【分析】本题主要考查了积的乘方、幂的乘方、同底数幂乘法和除法、积的乘方法则逆用等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． （1）先根据积的乘方运算，然后再运用幂的乘方计算即可； （2）先根据乘方运算化简，然后根据同底数幂的乘法和除法计算即可； （3）先把写成，然后运用同底数幂乘法和除法计算即可； （4）直接运用积的乘方计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4） ． 【变式2】．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式乘法运算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可； （4）利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型03 整式的乘除运算（选填题） 【典例1】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式1】．计算 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式，根据单项式乘多项式计算即可． 【详解】解：， 故答案为： 【变式2】．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘除运算. 先计算单项式的乘法，再计算单项式的除法即可. 【详解】 【变式3】．计算 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式．用多项式的每一项除以单项式，即可求解．熟练掌握多项式除以单项式法则是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式4】． ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方的逆用，逆用积的乘方法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【变式5】．给出下列式子： ①；    ② ③；    ④ 其中正确的是（   ） A．④ B．③ C．② D．① 【答案】A 【分析】本题主要考查平方差公式和完全平方公式，应用平方差公式和完全平方公式逐一验证各等式是否成立，进行判断即可． 【详解】解：① 左边展开：，但右边为，错误． ② 左边展开：，但右边为，错误． ③ 左边展开：，但右边为，符号和项均不符，错误． ④ 左边展开：，与右边完全一致，正确． 综上，只有④正确， 故选：A． 题型04 根据整式的乘除运算求参数 【典例1】．如果，那么m、n的值分别是（   ） A．，12 B．7，12 C．， D．7， 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据多项式乘多项式法则计算即可． 【详解】解：， 又， ，， 故选：A． 【变式1】．若，则的取值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂的除法，根据单项式除以单项式的计算法则计算即可得出m、n的值，熟练掌握单项式除以单项式的计算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， 故选：B． 【变式2】．若 ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用多项式乘多项式法则展开后得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解： ， 则， 解得：，， 故答案为： 【变式3】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方的逆运算，先整理，结合，得，进行解方程，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即， 解得， 故答案为：． 题型05 根据整式的乘除运算求代数式的值 【典例1】．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 【变式1】．已知，，则的值为 ． 【答案】72 【分析】本题考查了幂的乘方，逆用幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：72． 【变式2】．若，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用，根据同底数幂乘法及幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为：． 【变式3】．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，由已知可得，再利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法运算可把代数式转化为，进而把已知代入计算即可求解，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4】．已知，，则 【答案】675 【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可． 【详解】∵am=3，an=5， ∴a3m+2n =(am)3•(an)2 =33×52 =27×25 =675． 故答案为：675． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方以及同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 题型06 根据完全平方公式求参数 【典例1】．若，，则 ． 【答案】/0.128 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，根据幂的乘方及同底数幂的除法运算法则进行计算．掌握幂的乘方，同底数幂的除法（底数不变，指数相减）运算法则是解题关键． 【详解】解：原式， ，， 原式， 故答案为：． 【变式1】．若是一个完全平方式，则a的值为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得出，进而可求出a的值． 【详解】解：若是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故选：D． 【变式2】．若是一个完全平方式，则的值为（   ） A．6 B． C．12 D． 【答案】D 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式的结构特征判断即可求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ， 故选：D． 【变式3】．若代数式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方式，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据完全平方式的特征进行计算，即可解答． 【详解】解：代数式是一个完全平方式， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 【变式4】．若是完全平方式，则m的值是(　　) A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式是解决问题的关键．根据完全平方公式的概念进行配凑即可． 【详解】由题意，是完全平方式，则， ，或； 故选：C． 题型07 根据完全平方公式求代数式的值 【典例1】．若，，则的值为（   ） A．4 B． C． D．2 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式，并能灵活运用公式进行变形计算是解题的关键．本题可利用完全平方公式，将已知条件代入公式，进而求出的值． 【详解】解：∵， ∴，即 ． 又∵， ∴把代入中，可得 ． ∴， 故选：C ． 【变式1】．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．先将进行因式分解，然后根据已知条件，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【变式2】．已知关于x的式子，则（　　） A．9 B．10 C．11 D．7 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用完全平方公式解答即可． 【详解】解：， ， 故选：C． 题型08 看错、遮住等问题 【典例1】．数学课上，老师讲了单项式乘以多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，“□”的地方被墨水弄污了，则“□”内应填写的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘多项式，掌握相关运算法则是解题关键．将单项式与多项式的每一项分别相乘，即可得到答案． 【详解】解：， 即“□”内应填写的式子是， 故选：A． 【变式1】．在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可以得到，，然后整理化简，即可求得m、n的值； （2）先将所求式子化简，然后将m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴，， ∴，， 解得，； （2）解： ， 当，时，原式． 题型09 不含某项问题 【典例1】．若的乘积中不含项，则常数a的值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，合并同类项．利用多项式乘多项式的法则运算并合并同类项，再令项的系数为0得到关于a的方程求解即可． 【详解】解： , ∵多项式的乘积中不含项， ∴，解得：． 故选D． 【变式1】．若 的积中不含、x项，则 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以多项式的计算法则求出的结果，再根据乘积中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的积中不含项， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 题型10 整式的乘除其他应用 【典例1】．若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 【变式1】．已知，，，则，，的大小关系为 （用“>”连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，运用幂运算的性质把它们变成相同的指数，然后根据底数大的就大比较两个数的大小即可. 【详解】解：， ， ， 则． 故答案为： 题型11 解答题—整式的乘除求值问题 【典例1】．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把，代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式1】．先化简，再求值：．其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解题的关键； 先计算中括号内的，再计算多项式除以单项式，然后代值求解即可. 【详解】解： ； 当时，原式． 【变式2】．先化简，再求值：，其中 【答案】，7 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据完全平方公式，平方差公式将整式展开，然后合并同类项，最后将数值代入计算即可． 【详解】解： 当时，原式 【变式3】．已知：，，． (1)求的值； (2)试说明． 【答案】(1)27 (2)见解析 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法的逆用，幂的乘方逆用，掌握这些法则并灵活应用是关键； （1）逆用同底数幂的乘法与除法即可求解； （2）逆用同底数幂的乘法及幂的乘方，计算出，即可证明． 【详解】（1）解：，，， ； （2）解：，， ， 所以． 题型12 整式的乘除的几何应用 【典例1】．如图，利用图中的面积关系可以验证的等式关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查完全平方公式几何意义，解题关键在于结合面积的计算方法进行验证 整体观察这个图形，用两种方法表示阴影部分的面积即可得出结果 【详解】解：根据面积得：， 故选B 【变式1】．如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是()． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了利用几何方法验证平方差公式：根据拼接前后不同的几何图形的面积不变得到等量关系．易求出图（1）阴影部分的面积为，图（2）中阴影部分进行拼接后，长为，宽为，面积等于，由于两图中阴影部分面积相等，即可得到结论． 【详解】解：图（1）中阴影部分的面积等于两个正方形的面积之差，即为； 图（2）中阴影部分为矩形，其长为，宽为，则其面积为， ∵前后两个图形中阴影部分的面积， ∴． 故选：D． 【变式2】．如图，两个正方形的边长分别为a、b，如果，． (1)求的值； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)184 (2)57 【分析】此题考查了完全平方公式的变形应用，单项式乘以多项式的应用，解题的关键是掌握以上知识点． （1）利用完全平方公式的变形求解即可； （2）首先表示出，，，然后利用代入求解即可． 【详解】（1）； （2）由题意得：，，， ，， ． 【变式3】．如图，两个相连的正方形的边长分别是a、b.完成下面两题（如果含有，请在结果中保留的形式）．    (1)用含a、b的式子表示阴影部分的面积； (2)当，时，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列代数式，涉及到正方形、圆的面积公式，正确表示出阴影部分的面积是解题的关键． （1）阴影部分的面积梯形的面积三角形的面积正方形的面积扇形的面积； （2）当，时，代入（1）中代数式计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积为： ； （2）当，时，原式． 【变式4】．如图，在长方形中，放入6个形状和大小都相同的小长方形，已知小长方形的长为，宽为．    (1)用含，的代数式表示长方形的长、宽； (2)用含，的代数式表示阴影部分的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由图可得：，即可得到答案； （2）由，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：由图形得：，； （2）解：由图可知： ． 【点睛】本题考查了列代数式，整式的混合运算，认真观察图形，正确得出长方形的长、宽是解题的关键． 题型13 材料、规律题 【典例1】．小明同学在计算时发现一次项可以利用交叉相乘再相加的规律算得．例如计算时一次项为．仿照小明的方法，计算展开式中项的系数为 ．（用含n的代数式表示） 【答案】（写作亦可） 【分析】本题主要考查与多项式乘多项式有关的规律探究，先根据题意得出展开式中项为：，然后再进行运算即可得出答案． 【详解】解：展开式中项为： ， ∴展开式中项的系数为． 故答案为：（写作亦可）． 【变式1】．杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式，请问展开式中，共有 项，含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索，观察可知的展开式有项，的展开式中从左往右第二项的系数为，令，则的展开式中从左往右第二项的系数为，据此可得答案． 【详解】解：，展开式有2项， ，展开式有3项， ，展开式有4项， ，展开式有5项， ……， 以此类推可知，的展开式有项， ∴展开式中，共有项； ，展开式中从左往右第二项的系数为1， ，展开式中从左往右第二项的系数为2， ，展开式中从左往右第二项的系数为3， ，展开式中从左往右第二项的系数为4， ……， 以此类推可知，的展开式中从左往右第二项的系数为， 令，则的展开式中从左往右第二项的系数为， ∴的展开式中，含项的系数是， 故答案为：；． 一、单选题 1．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，包括同底数幂的乘除、幂的乘方及积的乘方，掌握幂的运算法则是解本题的关键． 根据幂的乘方，同底数幂的乘法和除法，积的乘方运算法则逐项计算后即可得到答案． 【详解】选项A：，但题目中结果为，错误； 选项B：，与题目结果一致，正确； 选项C：，但题目中系数为2，错误； 选项D：，但题目结果为，错误． 故选：B． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式的运算．根据单项式的除法，积的乘方，平方差公式，完全平方公式，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，本选项符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项不符合题意； 故选：A． 3．如图1，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为，的长方形纸片一张．把纸片Ⅰ，Ⅱ按图2所示的方式放入纸片Ⅱ内，若图2中阴影部分的面积和满足，则，满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式与几何的综合应用，分别表示出，根据，进行求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 故选C． 二、填空题 4．计算的结果等于 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，熟练掌握同底数幂的乘法和幂的乘方法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂除法，掌握法则并熟练应用是解题关键．根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 6．已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用．先将进行因式分解，然后根据已知条件，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 7．若表示一种新的运算，其运算法则为，则的结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查新定义运算，整式的混合运算，根据新定义的运算计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 故答案为： 8．若，则的末位数字是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，乘方的运算，熟练掌握平方差公式是解题关键． 根据平方差公式，得出，从而得到的末位数字，即可得到的末位数字． 【详解】解： ， 的末位数是2，的末位数是4，的末位数是8，的末位数是6，的末位数是2，… 末位数是2，4，8，6，… 每4个一循环， ， 所以的末位数是6， 所以的末位数是5， 所以的末位数是， 故答案为：2． 三、解答题 9．计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)5 (6) 【分析】此题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算幂的乘方，然后计算同底数幂的乘法； （2）根据积的乘方和幂的乘方法则求解即可； （3）首先计算积的乘方和幂的乘方，然后合并即可； （4）首先计算括号内同底数幂的乘法，然后计算同底数幂的除法； （5）根据积的乘方的逆运算逐步求解即可； （6）根据同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2）； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 10．先化简，再求值：，其中． 【答案】；14 【分析】本题主要考查了整式化简求值，熟练掌握平方差公式和完全平方公式，是解题的关键．先根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 11．思考与探究 如图 1 的两个长方形可以按不同的形式拼成图 2 和图 3 两个图形． (1)在图 2 中的阴影部分的面积 S，可表示为 （写成多项式乘法的形式）；在图 3 中的阴影部分的面积 S：可表示为 （写成两数平方差的形式）； (2)比较图 2 与图 3 的阴影部分面积，可以得到的等式是 ； A． B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算 的值． 【答案】(1)； (2)B (3) 【分析】本题考查了平方差公式的证明及应用，善于应用是解题的关键． （1）图2中阴影部分的长为，宽为，根据长方形的面积即可表示出阴影部分面积；图3中阴影部分面积为大正方形面积与小正方形面积之差； （2）根据图2图3中阴影部分面积相等，即可得结论； （3）式子乘，再依次利用上面得到的等式计算即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则面积为； 图3中阴影部分面积为边长为a的大正方形面积与边长为b的小正方形面积的差，即为； 故答案为：；. （2）解：图 2 与图 3 的阴影部分面积相等，即有； 故选：B． （3）解：原式 ． 教学目标掌握幂的运算及其应用； 会进行整式的乘法； 知道乘法公式，根据乘法公式求参数或代数式的值； 学会整式的除法运算； 会解整式的乘除的应用题。教学重难点1.重点 （1）幂的运算、整式的乘法运算； （2）乘法公式、整式的除法运算； （3）整式的乘除求值、求参数，其他代数、几何应用等。 2.难点 （1）整式的乘除有关化简、变形、求值等； （2）整式的乘除的几何应用； （3）新定义、材料阅读题等。