人教版新课标B选修2-1空间向量及其运算教学设计及反思

这是一份人教版新课标B选修2-1空间向量及其运算教学设计及反思，共3页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学难点，教学过程设计等内容，欢迎下载使用。
1.了解空间向量基本定理及其推论；
2.理解空间向量的基底、基向量的概念。
二、教学重点：向量的分解（空间向量基本定理及其推论）
三、教学难点：空间作图
四、教学过程设计：
（一）复习引入
1.复习向量与平面平行、共面向量的概念．
区别：
(1)向量与平面平行时，向量所在的直线可以在平面内，而直线与平面平行时两者是没有公共点的．
(2)平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面内的，但可以平移到同一平面内．
2.空间共面向量定理及其推论．
(1)共面向量定理：如果两个向量a、b不共线，则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x，y，使得 p= xa+yb．
(2)共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x，y，使得，或对于空间任意一定点O，有 ．

对平面向量基本定理加以推广，应用上面的三个公式可以解决与四点共面有关的问题，得出空间向量基本定理。
（二）新课讲授
问题1.两个平面向量贡献的判定与性质，是对于空间向量仍然成立？
共线向量定理 两个空间向量a,b(b≠0)，a//b的充要条件是存在唯一的实数x，使得a=xb
问题2.在平面向量中，向量与向量（≠0）共线的充要条件是存在实数λ，使得＝λ．那么，空间任意一个向量与两个不共线的向量，共面时，它们之间存在什么样的关系呢？
通常我们把平行于同一个平面的向量叫共面向量；
理解：
(1)若，为不共线且同在平面α内，则与，共面的意义是在α内或∥．
(2)空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面了．
平面向量中，向量与非零向量共线的充要条件是，类比到空间向量，即有：
共面向量定理 如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在有序实数组(x，y)，使得＝x＋y．这就是说，向量可以由不共线的两个向量，线性表示．
问题3.如果向量、、分别和向量a、b、c共线，能否用向量a、b、c表示向量？
＝xa+yb+zc
事实上，对空间任一向量，我们都可以构造出上述平行六面体，由此我们得到了空间向量基本定理：
如果三个向量a、b、c不共面，那么对于空间任一向量p，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使 p＝xa+yb+zc．
证明：存在性：
唯一性：设另有一组实数x’、y’、z’，使得p＝x’a+y’b+z’c，则有
xa+yb+zc＝x’a+y’b+z’c，
∴(x－x’ ) a+(y－y’ )b+( z－z’ )c＝0．
∵a、b、c不共面，
∴x－x’＝y－y’＝z－z’＝0， 即x＝x’且y＝y’且z＝z’．
故实数x、y、z是唯一的．
由上述定理可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成，我们把｛a、b、c｝叫做空间的一个基底，a、b、c都叫做基向量．
说明：
(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底．
(2)三个向量不共面就隐含着它们都不是零向量．（零向量与任意非零向量共线，与任意两个非零向量共面）
(3)一个基底是不共面的三个向量构成的一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量．
由定理的证明过程可以得到下面的推论：
设O、A、B、C是不共面的四个点，则对空间任一点P，都存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使．
说明：若x＋y＋z＝1，则根据共面向量定理得：P、A、B、C四点共面．
四、课时小结
1.空间向量基本定理也成为空间向量分解定理，它与平面向量基本定理类似，区别仅在于基底中多了一个向量，从而分解结果中多了以“项”。证明的思路、步骤也基本相同．
2.空间向量基本定理的推论意在用分解定理确定点的位置，它对于今后用向量方法解几何问题很有用，也为今后学习空间向量的直角坐标运算作准备．