高中数学人教版新课标B选修2-1空间向量及其运算教学设计

这是一份高中数学人教版新课标B选修2-1空间向量及其运算教学设计，共5页。教案主要包含了教学目标，教学重点，教学过程，回顾总结，布置作业等内容，欢迎下载使用。
1.运用类比方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程；
2.了解空间向量的概念；
3.掌握空间向量的线性运算及其性质。
二、教学重点：
空间向量的概念、空间向量的线性运算及其性质。
三、教学过程：
（一）问题情境
由于实际问题的需要,在必修4中，我们学习了平面向量，研究了平面向量的概念、运算及其性质，进而解决了平面上有关点，线的位置关系及度量问题。
但向量未必都在同一平面内，如下问题；
已知物体受三个大小都为1000N的力F1 ，F2，F3，且这三个力两两之间的夹角都为60°，则物体所受的合力为多少？
是否为eq \(F1,\d\f1()\s\up7(→))+eq \(F2,\d\f1()\s\up7(→))+eq \(F3,\d\f1()\s\up7(→))？
F1
F2
F3
此问题中，三个向量不在同一平面内，问题不好直接用平面向量来解决，为此需要将向量由平面向空间推广！
（二）数学理论
1.平面向量与空间向量的有关概念
(1)在平面上，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量。
平面上的向量一般用有向线段表示，同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；
方向相反但模相等的向量叫做相反向量；向量a的相反向量记作－a．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；
记作：a∥b，0∥a．
由向量的实际背景，平面向量的有关概念都可以移植到空间中。
(2)空间向量的有关概念：
在空间，我们把既有大小又有方向的量叫做空间向量。
空间向量一般用有向线段表示。同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
在空间中：
长度为0的向量叫零向量，记作0，0的方向是任意的；
长度为1个单位长度的向量，叫单位向量；
方向相反但模相等的向量叫做相反向量;向量a的相反向量记作－a．
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量(共线向量)，规定0与任一向量平行；
记作：a∥b，0∥a．
2.平面向量与空间向量的线性运算
我们现在研究的是自由向量，大小相等方向相同的向量是相等向量，而与它们的起点无关。
所以任意两个空间向量都可以平移到同一平面内。
因此，空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
这样，空间两个向量的线性运算的意义与平面向量完全一样。
已知空间向量a，b，在空间任取一点O，作eq \(OA,\d\f1()\s\up7(→))＝a，eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＝b.由O，A，B三点确定一个平面或共线可得，空间任意两个向量都可以用同一平面内的两个有向线段来表示.
b
a
B
A
O
α
空间向量的加法、减法与数乘运算的意义如下（如图）
O
B
b
a
C
A
a＋b
a
b
a
b
O
A
B
a＋b
a
A
O
b
B
a－b
a
λa
O
P
eq \(OB,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(OA,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＝a＋b（三角形法则）
eq \(OC,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(OA,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(OB,\d\f1()\s\up7(→))＝a＋b（平行四边形法则）
eq \(BA,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(OA,\d\f1()\s\up7(→))－eq \(OB,\d\f1()\s\up7(→))＝a－b
eq \(OP,\d\f1()\s\up7(→))＝λa(λ∈R)
平面向量的线性运算满足下列运算律
3.运算律：
(1)加法交换律：a＋b＝b＋a
(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
(3)数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb(λ∈R)
那么，空间向量的运算是否仍满足上述规律？
(1)、(3)中只涉及两个向量，显然满足，但(2)中涉及三个向量，在空间中是否成立？
这一规律关系到空间中三个向量和的定义问题？
结合律的验证：
O
A
B
C
a
b
c
a＋b
a＋b＋c
b＋c
三个向量中有共线向量时规律显然成立。
平面向量共线的充要条件在空间也是成立的。
A1
B1
C1
B
C
A
M
例1. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M是BB1的中点，
化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量：
(1)eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(BA1,\d\f1()\s\up7(→));
(2)eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \F(1,2)eq \(AA1,\d\f1()\s\up7(→));
(3)eq \(AA1,\d\f1()\s\up7(→))－eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))－eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))
解：(1)eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(BA1,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(CA1,\d\f1()\s\up7(→))
(2)因为M是BB1的中点
所以eq \(BM,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \F(1,2)eq \(BB1,\d\f1()\s\up7(→))，eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \F(1,2)eq \(AA1,\d\f1()\s\up7(→))
又eq \(AA1,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(BB1,\d\f1()\s\up7(→))，所以eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \F(1,2)eq \(AA1,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(BM,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(AM,\d\f1()\s\up7(→)).
(3)eq \(AA1,\d\f1()\s\up7(→))－eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))－eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(CA1,\d\f1()\s\up7(→))－eq \(CB,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(BA1,\d\f1()\s\up7(→)).
例2.如图，在长方体OADB-CA’D’B’中，OA＝3，OB＝4，OC＝2，OI＝OJ＝OK＝，点E、F分别是DB,D’B’的中点，设eq \(OI,\d\f1()\s\up7(→))＝i，eq \(OJ,\d\f1()\s\up7(→))＝j，eq \(OK,\d\f1()\s\up7(→))＝k试用向量i ，j ，k表示eq \(OE,\d\f1()\s\up7(→))和eq \(OF,\d\f1()\s\up7(→)).
D/
O
A/
A
D
E
B
F
C
B/
解：∵eq \(BD,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(OA,\d\f1()\s\up7(→))＝3eq \(OI,\d\f1()\s\up7(→))＝3i，∴eq \(BE,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \F(1,2)eq \(BD,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \F(3,2) i.
又eq \(OB,\d\f1()\s\up7(→))＝4eq \(OJ,\d\f1()\s\up7(→))＝4j,∴eq \(OE,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(OB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(BE,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \F(3,2)i＋4j.
∵eq \(EF,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \( BB’,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(OC,\d\f1()\s\up7(→))＝2k，∴eq \(OF,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(OE,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(EF,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \F(3,2) i＋4j＋2k.
例3.已知平行六面体ABCD-ABCD.求证：eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AB’,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AD’,\d\f1()\s\up7(→))＝2eq \( AC’,\d\f1()\s\up7(→))。
A
B
C
D
A’
B’
C’
D’
证明：∵平行六面体的六个面均为平行四边形，
∴eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(AD,\d\f1()\s\up7(→))，eq \( AB’,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AA’,\d\f1()\s\up7(→))，
eq \( AD’,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(AD,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AA’,\d\f1()\s\up7(→))，
∴eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AB’,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AD’,\d\f1()\s\up7(→))＝(eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(AD,\d\f1()\s\up7(→)))＋(eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AA’,\d\f1()\s\up7(→)))
+(eq \(AD,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AA’,\d\f1()\s\up7(→)))＝2(eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(AD,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AA’,\d\f1()\s\up7(→))).
又∵eq \( AA’,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \( CC’,\d\f1()\s\up7(→))，eq \(AD,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(BC,\d\f1()\s\up7(→))，
∴eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(AD,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AA’,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(BC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( CC’,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( CC’,\d\f1()\s\up7(→))＝eq \( AC’,\d\f1()\s\up7(→))，
∴eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AB’,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \( AD’,\d\f1()\s\up7(→))＝2eq \( AC’,\d\f1()\s\up7(→)).
【课堂练习】
已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：
(1)eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(BC,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(CD,\d\f1()\s\up7(→))；
(2)eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \F(1,2)(eq \(BD,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(BC,\d\f1()\s\up7(→)))；
(3)eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))－eq \F(1,2)(eq \(AB,\d\f1()\s\up7(→))＋eq \(AC,\d\f1()\s\up7(→)))．
四、回顾总结
空间向量的定义与运算法则
五、布置作业