专题25 一元一次方程的应用-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

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内容导航——预习三步曲
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：10大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 列一元一次方程解应用题的步骤
①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系
②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x）
③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系
④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程
⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值
⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称）
知识点02 用一元一次方程解决实际问题的常见类型
1.行程问题：路程＝速度×时间
2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速
3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率
4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价
5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量
6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数
7.数字问题：多位数的表示方法：例如：
【题型1 一元一次方程的应用之古代问题】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）《直指算法统宗》中有这样一道题，原文如下：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁？”大意为：有个和尚分个馒头，如果大和尚人分个，小和尚人分个，正好分完，大、小和尚各有多少人？请解答上述问题．
【答案】小和尚有人，大和尚有人．
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设小和尚有人，则大和尚有人，根据个馒头列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设小和尚有人，则大和尚有人，
由题意得，，
解得，
（人），
答：小和尚有人，大和尚有人．
【变式训练】
1.（2024·安徽六安·模拟预测）《孙子算经》中记载：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人和车各几何？”其大意是：“今有若干人乘车，每人乘一车，最终剩余辆空车；若每人同乘一车，最终剩下人因无车可乘而步行，问有多少人，多少辆车？”试求有多少人，多少辆车．
【答案】有39人，辆车．
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设共有辆车，根据题意列出方程即可求解，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】解：设共有辆车，
根据题意得，，
解得，
∴人，
答：有39人，辆车．
2.（24-25六年级上·黑龙江绥化·期中）《趣味数学》古希腊数学家丢番图的墓志铭中写到：他一生的六分之一是童年，十二分之一是无忧无虑的少年，又过了一生的七分之一组建幸福的家庭，五年后儿子出生，不料儿子先其父而死，此时儿子只活了父亲岁数的一半，丢番图在悲痛中又度过了四年，最终离开了人世．请你算一算丢番图这一生的年龄是多少岁？
【答案】84岁
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题目给出的条件，找出丢番图的年龄的表达式，根据等量关系，列出方程再求解．
【详解】解：设丢番图的年龄是x岁，
根据题意列方程得：，
解得：，
答：丢番图这一生的年龄是84岁．
【题型2 一元一次方程的应用之销售问题】
例题：（24-25九年级上·重庆·阶段练习）在2024年巴黎奥运会中，中国奥运健儿们斩获44枚金牌完美收官，其中跳水小将全红婵表现出色，一共收获了2枚金牌，某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米跳台比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次采购了20个绿龟玩偶和20个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元．
(1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？
(2)在第二场女子10米跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了元，玩偶单价优惠了元，挂件和玩偶的购买费用依然不变，玩偶的个数也不变，但挂件比玩偶多出了一件，请求出的值．
【答案】(1)购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元
(2)
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是理解题意；
（1）设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，然后可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）及题意易得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，然后可得方程，进而问题可求解．
【详解】（1）解：设购买绿龟挂件的单价为x元，则绿龟玩偶的单价为元，由题意得：
解得：；
∴绿龟玩偶的单价为60元；
答：购买绿龟挂件的单价为10元，则绿龟玩偶的单价为元．
（2）解：由（1）及题意得挂件单价变为元，玩偶的单价变为元，则有：
解得：．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某超市第一次用元购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数是乙商品件数的2倍，甲、乙两种商品的进价和售价如表：（注：获利售价进价）
(1)该超市将第一次购进的甲、乙两种商品各多少件？
(2)该超市第二次以第一次的进价又购进甲、乙两种商品，其中甲商品的件数不变，乙商品的件数是第一次的3倍．甲商品按原价销售，乙商品降价销售，第二次两种商品都售完以后获得的总利润比第一次获得的总利润多元，求第二次乙商品的售价是多少？
【答案】(1)购进甲商品件，购进乙商品件
(2)第二次乙商品的售价为元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，商品的打折销售问题，掌握利用一元一次方程解决商品的打折销售问题是解题的关键．
（1）设第一次购进甲种商品x件，则购进乙种商品件，利用第一次购进甲、乙两种商品的总价为元，可得，再解方程可得结论；
（2）设第二次购进乙种商品是按原价打y折销售，可得：，解方程后可得答案．
【详解】（1）设购进甲商品x件，则购进乙商品件，
，
解得：，
∴，
∴购进甲商品件，购进乙商品件．
（2）第二次购进甲商品件，
第二次购进乙商品（件），
第一次利润为（元）
设第二次乙商品售价为y元，
，
解得：
第二次乙商品的售价为元．
2.（24-25七年级上·全国·单元测试）某商场经销两种不同的商品．在春节期间，该商场对这两种商品进行如优惠活动：
(1)张明买了实际付款644元的商品，求商品的原价．
(2)在（1）的条件下，第二天张明买了另外一个商品，实际付款608元．如果这两种商品原价之和大于1300元，那么将这两个商品合为一起付款是否更划算？若是，请求出划算的价格．
【答案】(1)商品的原价是940元；
(2)将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，利用方程思想求解．
（1）设商品的原价是x元，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）设第二天张明购买商品的原价是y元，根据题意列出一元一次方程求解即可．
【详解】（1）设商品的原价是x元，
∵（元），，
∴．
根据题意得：，
解得：．
答：商品的原价是940元；
（2）设第二天张明购买商品的原价是y元，
∵（元），（元），，
∴．
当时，，
解得：；
当时，，
解得：．
当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元），
∵（元），，
∴将这两个商品合为一起付款更划算；
当时，将这两个商品合为一起付款所需费用为（元），
∵（元），，
∴将这两个商品合为一起付款更划算．
答：将这两个商品合为一起付款更划算，划算的价格是1100元或1172元．
【题型3 一元一次方程的应用之方案问题】
例题：（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）某游乐园有如表A，B，C三种购票方式：
(1)某游客一年中进入该游乐园共有a次，分别求三种购票方式一年的费用．（用含a的代数式表示）
(2)某游客一年中进入该游乐园共有12次，选择哪种购买方式比较优惠？请通过计算说明．
(3)已知甲、乙、丙三人分别按A，B，C三种方式购票，且他们一年中进入该游乐园的次数相同．一年中，若甲所花的费用与乙所花费用相等，求丙在这一年中进入该游乐园所花的费用．
【答案】(1)A种购票方式：元；B种购票方式：元；C种购票方式：元．
(2)选择B种购买方式比较优惠
(3)元．
【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了列代数式以及代数式求值，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据表格给出的购票方式即可求解；
（2）将分别代入（1）中所得代数式即可求解；
（3）设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据甲所花的费用与乙所花费用相等列方程求出x，再利用C种购票方式的费用即可求出丙在这一年中进入该游乐园所花的费用．
【详解】（1）解：A种购票方式：元；
B种购票方式：元；
C种购票方式：元．
（2）解：选择B种购买方式比较优惠，理由如下：
当时，元；元．
而，
所以，选择B种购买方式比较优惠．
（3）解：设他们一年中进入该游乐园的次数为x，根据题意得，
解之得，．
∴（元），
答：丙在这一年中进入该游乐园所花的费用为元．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·云南玉溪·期末）某服装批发商促销一种裤子和T恤，在促销活动期间，裤子每件定价100元，T恤每件定价50元，并向客户提供两种优惠方案：
方案一：买一件裤子送一件T恤；
方案二：裤子和T恤都按定价的付款．
现某客户要购买裤子30件，T恤x件（）：
(1)按方案一，购买裤子和T恤共需付款 ______（用含x的式子表示）；
(2)计算一下，购买多少件T恤时，两种优惠方案付款一样？
(3)若两种优惠方案可同时使用，当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？
【答案】(1)
(2)购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样
(3)能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款3400元
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出等量关系，列方程求解．
（1）根据题意“买一件裤子送一件T恤”，列出代数式即可；
（2）根据“两种优惠方案付款一样”，列方程求解即可得出答案；
（3）先用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤．
【详解】（1）解：根据题意得，
故按方案一，购买裤子和T恤共需付款；
（2）按方案一，购买裤子和T恤共需付款，
根据题意得，，
解得，
答：购买90件T恤时，两种优惠方案付款一样；
（3）能，用方案一购买裤子30件，送T恤30件，再用方案二购买10件T恤，共需付款
（元），
共需付款3400元．
2.（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们出行的时间与方式有了更多的选择．某市有出租车、滴滴快车和神州专车三种网约车，收费标准见下表（该市规定网约车行驶的平均速度为40公里/时）．
问题一：“奋进小组”提出的问题是：如果乘坐这三种网约车的里程数都是10公里，他们发现乘坐出租车最节省钱，费用为 ___________元；
问题二：请解答“质疑小组”提出的以下两个问题，
（1）从甲地到乙地，乘坐出租车比滴滴快车节省13.6元，求甲、乙两地间的里程数；
（2）神州专车和滴滴快车对第一次下单的乘客有如下优惠活动：神州专车收费打八折，另外加5.3元的空车费；滴滴快车超过8公里收费立减6.5元；如果两位顾客都是第一次下单，分别乘坐神州专车、滴滴快车且收费相同，求这两位顾客乘车的里程数．
【答案】问题一：；问题二：（1）甲、乙两地间里程数为12公里；（）两位顾客的里程数为5或30公里．
【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，读懂题意，找到等量关系，列出方程是解题的关键．
问题一：根据出租车的收费标准解答；
问题二：（1）设甲、乙两地间里程数为x公里，分和两种情况列出方程并解答；
（2）设两位顾客的里程数为x公里，分和两种情况，分别列出方程并解答．
【详解】解：问题一：（元）．
故答案为：30.8；
问题二：（1）解：设甲、乙两地间里程数为x公里，
①若，，
解得（舍）．
②若，．
解得．
答：甲、乙两地间里程数为12公里；
（2）解：设两位顾客的里程数为x公里
①若时，；
解得；
②若时，，
解得；
答：两位顾客的里程数为5或30公里．
【题型4 一元一次方程的应用之配套问题】
例题：（24-25七年级上·重庆·阶段练习）甲、乙两个家具厂生产同一规格的单人课桌、椅，由于甲、乙两厂特长不同，甲厂每月（天）用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产900套课桌椅；乙厂每月用的时间生产课桌，的时间生产课椅，每个月可生产1500套课桌椅，现在两厂联合生产，经过合理安排，尽量发挥各自特长．现在两厂每月比过去可多生产课桌椅多少套？
【答案】100套
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】根据题干，一个月按30天计算，由此可以分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，由题干分析可得可知：乙厂生产椅子的效益高，那么我们尽量的让乙厂多生产椅子，由甲厂来生产桌子，为了使生产的桌椅正好配套，所以乙生产足够数量的椅子后就转生产桌子，这里可以设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套，由此即可列出方程解决问题．根据题干分别求得甲乙两厂生产课桌椅的工作效率，找出它们各自擅长的工作，进行合理安排，即可解决问题，本题考查了一元一次方程的配套问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【详解】解：甲厂每天生产课桌：（张），
椅子：（张）；
乙厂每天生产课桌：（张），
椅子：（张）；
设乙生产天椅子后转生产桌子，正好与甲厂生产的桌子合起来桌椅配套．
根据题意可得方程：
，
，
，
；
（套），
（套），
答：现在两厂每月比过去可多生产课桌椅100套．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）某车间有27个工人生产甲、乙两种零件，每3个甲种零件与2个乙种零件配成一套，已知每个工人每天能加工甲种零件12个或乙种零件16个，为使每天生产的两种零件配套，则生产甲、乙零件的工人数各多少人？
【答案】应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．关键是设出生产甲和乙的人数，以配套的比例列方程求解．设应分配人生产甲种零件，人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套，根据每人每天平均能生产甲种零件12个或乙种零件16个，可列方程求解．
【详解】解：设应分配人生产甲种零件，则应分配人生产甲种零件，由题意得：
，
解得，
（人．
答：应分配18人生产甲种零件，9人生产乙种零件才能使每天生产的甲种零件和乙种零件刚好配套．
2.（23-24七年级上·四川绵阳·期末）糕点店中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒装2块大月饼和6块小月饼，制作1块大月饼要用面粉，1块小月饼要用面粉．
(1)若制作若干盒月饼共用了面粉，则制作了多少盒月饼？
(2)公司决定向该糕点厂定制月饼礼盒，该糕点厂给出的团购价格如下：
若公司决定给45名员工和名客户各订购一盒月饼作为福利，用含的式子表示购买月饼的费用．
【答案】(1)制作了1200盒月饼．
(2)当时，则购买月饼的费用为元：当时，则购买月饼的费用为元．
【知识点】列代数式、配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式，理解题意，正确列出代数式与方程是解此题的关键．
（1）设制作了盒月饼，根据“制作若干盒月饼共用了面粉”列出一元一次方程，解方程即可得出答案；
（2）分两种情况：当时，当时，分别列出代数式即可．
【详解】（1）解：设制作了盒月饼．
根据题意得，
解得．
答：制作了1200盒月饼．
（2）解：当时，则购买月饼的费用为元：
当时，则购买月饼的费用为元．
【题型5 一元一次方程的应用之工程问题】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）甲、乙两人共同承包一项工程，甲单独做30天完成，乙单独做20天完成，合同规定15天完成，否则每超过1天罚款1000元．
(1)在规定时间内，甲、乙两人能否完成这项工程？
(2)现两人合作了这项工程的，因别处有急事，必须调走1人．调走谁更合适？
【答案】(1)在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程
(2)调走甲更合适
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用－工程问题．
（1）设甲乙合作需要x天完成，建立方程求出合作时间，再与15进行比较可以得出结论；
（2）先求出完成需要的时间，再求出完成剩余工作量所用的时间及完成剩余工作量的工作效率，然后与甲、乙独自完成这项工作的工作效率进行比较，可以求出结论．
【详解】（1）解：设甲、乙两人合作完成此项工程需x天．
则，解得．
因为，
所以在规定时间内，甲、乙两人能完成这项工程；
（2）解：设两人合作a天完成工程的．
则
解得．
若调走甲，则乙还需（天）；
若调走乙，侧甲还需（天）．
因为（天）天，
（天）天，
所以调走甲更合适．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·天津·期中）一项工程，甲队单独做需18天，乙队单独做需24天，如果两队合作8天后，余下的工程再由甲队单独完成．
(1)甲队还需多少天才能完成这项工程？
(2)若甲队每天的酬劳为2000元，乙队每天的酬劳为1500元，问完成这项工程共需支付两队多少钱？
【答案】(1)4天
(2)36000元
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查一元一次方程的应用，有理数四则混合运算的应用，根据题意，正确列出方程是解答的关键．
（1）设这项工程为“1”，设甲队还需x天才能完成这项工程，根据“两队的工程和等于1”列方程求解即可．
（2）根据两队完成的天数和各自的报酬求解即可．
【详解】（1）解：设这项工程为“1”，根据题意，甲队、乙队的工作效率分别为，，
设甲队还需x天才能完成这项工程，
根据题意，得，
解得，
答：甲队还需4天才能完成这项工程；
（2）解：
（元），
答： 完成这项工程共需支付两队36000元．
2.（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾．
(1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？
(2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？
【答案】(1)天
(2)元
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键；
（1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可；
（2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可；
【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，
根据题意得：，
解得：，
答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾．
（2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天，
，
答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元．
【题型6 一元一次方程的应用之行程问题】
例题：（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）小明、小杰两人在400米的环形赛道上练习跑步，小明每分钟跑280米，小杰每分钟跑220米．若小明、小杰两人同时同地反向出发，那么出发几分钟后，小明，小杰第一次相遇？
【答案】经过分钟以后小明，小杰第一次相遇
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设分钟以后小明，小杰第一次相遇，根据题意，列出方程，求出，即可求解．
【详解】解：设分钟以后小明，小杰第一次相遇，
由题意可得，，
解得，
答：经过分钟以后小明，小杰第一次相遇．
【变式训练】
1.（2024七年级上·全国·专题练习）甲站和乙站相距，一列慢车从甲站开出，速度为，一列快车从乙站开出，速度为．
(1)若两车相向而行，慢车先开，快车开出多少小时后两车相遇？
(2)若两车同时开出，相背而行，多少小时后两车相距？
(3)若两车同时开出，快车在慢车后面同向而行，多少小时后两车相距（快车在慢车的后面）？
【答案】(1)快车开出后两车相遇
(2)后两车相距
(3)后两车相距
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据每一问的速度和路程列出关于时间的方程式并求解是解题的关键．
（1）设快车开出后两车相遇，根据两车行驶路程和为，列出方程式即可解题；
（2）设后两车相距，两车行驶路程和再加上甲站和乙站的距离为，列出方程式即可解题；
（3）设后两车相距，根据快车所走的路程比慢车所走的路程多，即可列出方程式，即可解题．
【详解】（1）解：设快车开出后两车相遇．
．
由题意，得，
解得．
答：快车开出后两车相遇．
（2）解：设后两车相距．
由题意，得，
解得．
答：后两车相距．
（3）解：设后两车相距．
由题意，得，
解得．
答：后两车相距．
2.（24-25七年级上·广东惠州·期中）已知在数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，点Q从B点向右运动，速度为每秒2个单位，PQ同时出发，设运动时间为秒．
(1)数轴上点B表示的数是______；当点P运动到的中点时，它所表示的数是______．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，求：
①当点P和点Q运动多少秒时，点P和点Q第一次相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度？
【答案】(1)，1
(2)①秒；②秒或秒
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，解决本题的关键是根据数轴上动点的运动情况列方程．
（1）先根据数轴上两点距离计算公式得到点BB表示的数，再根据两点中点计算公式求解即可；
（2）①根据相遇问题的等量关系，利用动点P的运动距离加上动点Q的运动距离等于A，B两点间的距离，列方程即可求解；
②根据点P与点Q相遇前和相遇后之间的距离为6个单位长度，分两种情况列方程即可求解．
【详解】（1）解∶∵数轴上点A表示的数为8，B在A点左侧，且A，B两点间的距离为14．
∴点B表示的数为，
当点P运动到的中点时，它所表示的数是，
故答案为∶，1；
（2）解∶①点P和点Q运动t秒时，点P和点Q第一次相遇，
则，
解得，
即点P和点Q运动秒时，点P和点Q第一次相遇；
②设点P运动t秒
根据题意得：
当点P与点Q相遇前，点P与点Q距离6个单位长度时，则，
解得；
当点P与点Q相遇后，点P与点Q距离6个单位长度时，则，
解得，
∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为6个单位长度．
【题型7 一元一次方程的应用之数字问题】
例题：（23-24七年级上·江苏苏州·期中）一个两位数，十位数字是个位数字的 2 倍，将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，原两位数是 ．
【答案】63
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设原两位数的个位数字为，则十位数字为，根据将两个数对调后得到的新两位数与原两位数的和是99，可列出关于的一元一次方程，解之可求出的值，再将其代入中，即可求出结论．
【详解】解：设原两位数的个位数字为，则十位数字为，
根据题意得：，
解得：，
，
原两位数是63．
故答案为：63．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·广东广州·期中）将奇数至按照顺序排成下表：
记表示第行第个数，如表示第行第个数是．
(1) ；
(2)将表格中的个阴影格子看成一个整体并平移，所覆盖的个数之和能否等于．若能，求出个数中的最大数；若不能，请说明理由；
(3)用、的式子表示 ；
(4)若，求、的值．
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
(3)
(4)，
【知识点】数字类规律探索、数字问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用、列代数式
【分析】本题考查一元一次方程的应用、数字的变化类、列代数式，
（1）根据题意可知表示第行第个数，每行都有个数，所有的数字都是奇数，然后即可计算出相应的值；
（2）先判断，然后设个阴影格子中的数分别为、、、，即可列出相应的方程，然后求解即可说明理由；
（3）根据表格中的数据和发现，可以用含、的代数式表示出．
（4）根据题意，可以得到，然后、为整数，，即可得到、的值；
解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，找出等量关系，列出相应的方程．
【详解】（1）解：由题意可得，
，
故答案为：；
（2）所覆盖的个数之和不能等于．
理由：设个阴影格子中的数分别为、、、，
由题意得：，
解得：，
∵为整数，
∴所覆盖的个数之和不能等于；
（3）由题意可得，
，
故答案为：；
（4）∵，
∴，
∴，
∵、为整数，，
∴，．
2.（2024七年级上·全国·专题练习）如图，阶梯图的每个台阶上都标着一个数，从下到上的第1个至第4个台阶上依次标着，，1，9，且任意相邻四个台阶上的数的和都相等．
(1)前4个台阶上的数的和是多少？
(2)第5个台阶上的数x是多少？
(3)试用含k（k为正整数）的式子表示出数“1”所在的台阶数．
【答案】(1)3
(2)
(3)
【知识点】用代数式表示数、图形的规律、数字类规律探索、有理数加法运算、数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了图形的变换规律，解题的关键是根据相邻四个台阶上的数的和都相等得出台阶上的数字每4个一循环．
（1）将前4个数字相加可得；
（2）根据“相邻四个台阶上的数的和都相等”，列方程求解即可；
（3）根据“台阶上的数是每4个一循环”求解可得，观察发现，由循环规律即可知道“1”所在的台阶数为．
【详解】（1）解：由题意，得．
故前4个台阶上的数的和是3．
（2）由题意，得，
所以，
故第5个台阶上的数x是．
（3）由题意知，台阶上的数每4个一循环，，−2，1，9，，−2，1，9，…
数“1”所在的台阶数为3，7，11，15，19. . .，
所以数“1”所在的台阶数为．
【题型8 一元一次方程的应用之比赛问题】
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）“办学互助”是萧红中学办学特色之一．七年18班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况：
(1)由表格知，答对一题得________分，答错一题得________分；
(2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？
【答案】(1)5，
(2)17
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算的实际应用
【分析】本题考查的是一元一次方程的应用；
（1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题得分和每答错一道题扣分；
（2）设答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论．
【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分，
由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题扣分，
故答案为：5，；
（2）解：设答对了x道题，则答错了道题，
根据题意，得，
解得，
答：答对了17道题．
【变式训练】
1.（2024七年级上·全国·专题练习）在2022年女足亚洲杯决赛中，中国女足以逆转韩国女足，时隔16年再夺亚洲杯冠军！某学校掀起一股足球热，举行了班级联赛，九（1）班开局11场保持不败，共积25分，按照比赛规则，胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分，求该班获胜的场数．
【答案】九（1）班获胜7场
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
设九（1）班获胜x场，则平场，根据九（1）班开局11场共积25分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】解：设九（1）班获胜x场，则平场，
根据题意得：，
解得：．
答：九（1）班获胜7场．
2.（23-24六年级上·山东淄博·期末）某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况．
(1)参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由：
(2)参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明．
【答案】(1)不可能，详见解析
(2)14
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意发现答对一道得5分、答错一道扣1分成为解答本题的关键．
（1）由参赛者A可得答对1题得5分，设答错1题扣x分，，然后根据题意列方程求解即可；
（2）根据共作答20道，可补全参赛者B、D；设参赛者C答对y题，然后列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）不可能，
∵参赛者A答对20题答错0题得100分，
∴答对1题得5分，
设答错1题扣x分，
由参赛者B的得分可得，．
解得，
∴答错1题扣1分
∴参赛者E说他错了10个题，不可能得50分；
（2）∵共有20题，参赛者B答错2题，
∴答对18题，
∵参赛者D答对10题，
∴答错10题，
设参赛者C答对y题，
由题意得，，
解得．
故参赛者C答对14题．
【题型9 一元一次方程的应用之几何问题】
例题：（24-25八年级上·湖南永州·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，动点从点出发，以每秒个单位的速度沿运动．若设点运动的时间是，若的面积等于．那么值是（ ）
A．B．C．或D．不存在
【答案】C
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了三角形的面积公式的运用以及一元一次方程的应用，解答时灵活运用三角形的面积公式求解是关键，同时要注意分类讨论．分当点在上时，当点在上时，两种情况讨论，根据三角形的面积公式建立方程求出其解即可．
【详解】解：，点是的中点，
，
①如图1，当点在上，，
，的面积等于，
，
解得：；
②如图2，当点在上时，，
，
，
解得：t；
综上所述，值是或，
故选：C．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，8张正方形泡沫板拼成一个长方形展板，其中最小的两个正方形边长均为1米，则长方形展板的面积是 平方米．
【答案】130
【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，先第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，根据长方形展板上下对边相等，列出相应的方程，从而可以求得x的值，然后即可计算出展板的长和宽，再根据长方形的面积长宽，代入数据计算即可．
【详解】解：设第二小的正方形的边长是米，则五种正方形的边长从小到大依次是1米，米，米，米，米，
根据长方形展板上下对边相等，得，
解得，
展板的长是（米）
，展板的宽是（米），
长方形展板的面积是（平方米）．
故答案为：130．
2.（24-25七年级上·吉林长春·期中）如图1，在长方形中，．点P从点B出发，以的速度沿方向运动到点C停止，点Q从点C出发，以的速度沿方向运动到点C停止，连接、；若P、Q两点同时出发，设点P的运动时间为t秒，的面积为．

(1)当时，_________；当时，_________．
(2)当点P和点Q相遇时，求t的值．
(3)当时，用含t的代数式表示S．
(4)如图2，在点P和点Q不重合的情况下，连接，当以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的时，直接写出t的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
(4)或或
【知识点】列代数式、几何问题(一元一次方程的应用)、有理数四则混合运算、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）先根据和求出，，再求出的值即可；
（2）根据P、Q的运动速度求出t的值即可；
（3）分两种情况进行讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，点Q到达点B前，根据三角形面积公式求出结果即可；
（4）分三种情况讨论：当，即、Q相遇前，当，即、Q相遇后，当，点Q从点B向点C运动的过程中，分别求出结果即可．
【详解】（1）解：当时，，，
∴，
当时，，，
∴．
（2）解：，
解得：，
即当点P和点Q相遇时，t的值为．
（3）解：当，即、Q相遇前，
，
∴；
当，即、Q相遇后，点Q到达点B前，
，
∴；
综上分析可知：．
（4）解：四边形的面积为，
∴以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是：，
当，即、Q相遇前，
，
则，
解得：；
当，即、Q相遇后，点Q到达点B前，
，
则，
解得：；
当，点Q从点B向点C运动的过程中，
，
则，
解得：；
综上分析可知：当或或时，以A、P、Q、D为顶点的四边形的面积是长方形的面积的．
【点睛】本题主要考查了列代数式，一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，方程思想与分类讨论是解题的关键．
【题型10 一元一次方程的应用之电费和水费问题】
例题：（24-25七年级上·全国·期中）某市出租车收费标准是：起步价10元，可乘；到时，超过的部分按元的标准收费；超过时，超过的部分按2元的标准收费．（不足的按计算）
(1)若某人乘坐了的路程，则他应支付的费用为 ；
(2)若某人乘坐了x（的整数）千米的路程，则他应支付的费用为 ；
(3)若某人乘坐出租车共花了15元，问出租车行驶了多少公里？
【答案】(1)元
(2)元
(3)
【知识点】列代数式、已知字母的值 ，求代数式的值、电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查列代数式及求代数式的值，理解题意，列出相应代数式是解题关键．
（1）首先起步价覆盖前，费用为10元．剩余的在到的范围内，按元收费，即元．然后相加即可得出答案
（2）对于x（的整数）千米的路程：起步价覆盖前，费用为10元．接下来的按元收费，即元．超过的部分按2元收费，即元．然后相加即可
（3）首先扣除起步价和到的费用，剩余的费用为超过的部分产生的，按2元计算，即可解答．
【详解】（1），
；
故答案为：元
（2）解：
，
故答案为：元．
（3）解：设出租车行驶了x公里，根据题意得；
元，
，
，
，
，
，
答：共行驶了6公里．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·陕西榆林·期中）我市某小区居民使用自来水2024年标准缴费如下（水费按月缴纳）：
(1)某户4月份用了13的水，求该户4月份应缴纳的水费；（用含a的式子表示）
(2)设某户月用水量为n，当，时，该户应缴纳的水费为多少元？（用含n的式子表示）
(3)当时，甲、乙两户一个月共用水32，已知甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，试求甲，乙两户一个月共缴纳的水费．（可用含x的式子表示）
【答案】(1)元
(2)元
(3)当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】(1) 根据费用=，列式计算即可．
(2)根据题意，得，费用=，得出的结论．
(3) 分和，两种情况计算即可．
本题考查了一元一次方程的生活实际应用，正确理解分档的界点是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得，当时，每费用为 元，当时，每费用为元，
故本月总费用为：（元）．
故该用户4月份应缴纳的水费为元．
（2）解：根据题意，得，，
故不超过12的部分费用为：（元）；
超过12但不超过20的部分费用为：（元）；
超过20的部分费用为：（元），
故该户应缴纳的水费为： (元)．
答：应交电费元．
（3）解：根据题意，得，且元，
根据题意，得甲户缴纳的水费超过了24元，设甲户这个月用水x，
故；
当时，甲户用水量超过12但不超过20，乙户用水量不少于12但少于20，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
（元）．
当时，甲的用水量超过20乙的用水量不超过12，
所以甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为：
元．
综上所述，当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为72元；当时，甲、乙两用户一个月共缴纳的水费为元．
2.（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）
根据上述数据，解答下列问题：
(1)小智家用电量最多的是____月份，该月份应交纳电费_____元；
(2)若小智家七月份应交纳的电费元，则他家七月份的用电量是多少？
【答案】(1)五，；
(2)他家七月份的用电量是306度．
【知识点】正负数的实际应用、有理数四则混合运算的实际应用、电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查正数、负数的意义，一元一次方程的应用，理解分段计费的含义是正确解答的关键．
（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；
（2）判断出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可．
【详解】（1）解：五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，
元，
（2）解：∵，
∴用电量大于200度，
设用电量为x度，由题意得，
，
解得：，
答：他家七月份的用电量是306度．
一、单选题
1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中．一房七客多六客，一房八客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住7人，那么有6人无房可住；如果每间客房住8人，那么就空出1间房．问有多少间客房？多少客人？设有x间房，则可列出方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意是解题关键．设有x间房，根据人数相等列一元一次方程即可．
【详解】解：设有x间房，
则，
故选：C．
2．（24-25六年级下·山东泰安·期中）某校为了增强学生的防范电信网络诈骗意识，举行了一次知识抢答赛，抢答题一共20个，记分规则如下：每答对一个得5分，每答错或不答一个扣1分．小勇一共得76分，则小勇答对的个数为（ ）
A．16B．15C．13D．14
【答案】A
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是列出方程求解是解题的关键．
设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：设小勇答对的个数为个，则小勇答错或不答的个数为个，
由题意得，，
解得，
故选：A．
3．（24-25七年级下·全国·假期作业）一项工程，甲单独做要天，乙单独做要天，丙单独做要天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（ ）天假．
A．1B．3C．5D．6
【答案】B
【知识点】工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清每一步所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答，设甲请x天假，根据三人的总工作量是“1”列出方程并解答．
【详解】解∶设甲请了x天假，由题意知，
解得．
答∶甲请了3天假．
故选：B．
4．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（ ）
A．10B．12C．18D．21
【答案】A
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系并列出方程即可求解．设原数个位数字为，则十位数字为；原数为，调换后新数为；根据新数比原数大18，列方程求解，再求和．
【详解】解：设原数个位数字为，则十位数字为，原数为：；
新数为：；
根据题意：，
化简得，
即，
解得；
原数十位数字为，个位与十位数字之和为．
故选A
5．（2025·山东菏泽·三模）如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作．．．根据以上操作，若要得到2026个小正方形，则需要操作的次数是（ ）
A．669B．670C．671D．675
【答案】D
【知识点】图形类规律探索、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了图形的变化规律，一元一次方程的应用，解题的关键是先根据题意找出题中的规律，再根据规律用正整数n表示第n次操作后所得正方形的个数．
第一次可得到4个正方形；第二次可得到个正方形；第三次可得到个正方形；则第n次可得个正方形，然后列出方程求解即可．
【详解】解：第一次可得到4个正方形；
第二次可得到个正方形；
第三次可得到个正方形；
则第n次可得个正方形，
∵若要得到2026个小正方形，
∴
解得．
故选：D．
二、填空题
6．（24-25七年级下·福建泉州·期中）爸爸和小北共下9局棋（未出现和棋），记分规则：爸爸赢一局记1分，小北赢一局记2分．若爸爸和小北得分相同，则爸爸赢了 局．
【答案】6
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设爸爸赢了x盘棋，根据两人得分相同列方程解答，正确理解题意列得方程是解题的关键．
【详解】解：设爸爸赢了x盘棋，
根据题意，得，
解得，
即爸爸赢了6局．
故答案为：6．
7．（2025·湖南·模拟预测）我国明代数学家程大位所著《算法统宗》卷十第十五题记载：“隔墙听得客分银，不知人数不知银．六两分之盈三两，八两分之不足五．借问诸君能算者，多少客人多少银？”其大意:客人一起分银子，若每人6两，则多出3两；若每人8两，则还差5两．若设有x人，则可得一元一次方程 ．
【答案】
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意，直接列出方程即可．
【详解】解：设有x人，则可得一元一次方程，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·山东威海·期中）某品牌打印机按进价提高后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该打印机时，将家里的旧打印机用于以旧换新，抵扣了258元后，又支付了942元，则该打印机的进价为 元．
【答案】
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设该打印机的进价为元，根据题意列一元一次方程，据此求解即可．
【详解】解：设该打印机的进价为元，则标价为元，售价为元，
根据题意得，
解得，
即该打印机的进价为元，
故答案为：．
9．（24-25七年级下·全国·假期作业）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （、、或）上．
【答案】
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上，根据其相等关系列方程得，根据正方形的周长边长，再用甲行走的总路程除以正方形的周长，所得的余数再与，与的和，、与的和比较即可得解．
【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟．
（米）
（米）
（圈）……270（米）
的距离是70米，与的和是（米），、与的和是（米）
所以，乙第一次追上甲是在边上．
故答案为：．
10．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为．有一只电子蚂蚁从点出发，以个单位长度秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以个单位长度秒的速度向左运动，则它们相遇点所对应的数是 ．
【答案】
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设点对应的数是，根据时间路程速度结合二者相遇运动的时间相等，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】设相遇点对应的数是， 根据题意得
解得：
故答案为：．
三、解答题
11．（24-25七年级下·全国·假期作业）一个防盗门的密码由4个数字按从大到小的顺序组成，这4个数字之和是16，并且相邻的两个数字都相差2，这个密码是多少？
【答案】7531
【知识点】数字问题(一元一次方程的应用)
【分析】此题考查了一元一次方程的应用，通过设未知数，根据题意列出等量关系式是完成本题的关键．
由于是从小到大相差2的4个数字，可设最小的数字是n，则第二个是第三个是，第四个是，又这4个数字之和是16，由此可得：，由此完成即可．
【详解】解：设最小的数字是n，可得：
，
整理得：，
解得：．
即最小的数字是1，
所以这四个数字分别是：7531．
12．（2025·安徽合肥·三模）《九章算术》是中国古代重要的数学著作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一：人出六，不足十六、问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会多出11钱；每人出6钱，又差16钱．问人数、买鸡的钱数各是多少？
【答案】人数为人，买鸡的钱为钱
【知识点】古代问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找等量关系是解题的关键．设人数为，根据题意列出方程，解方程即可求解．
【详解】解：设人数为，根据题意得，
解得：，
∴买鸡的钱数为：，
答：人数为人，买鸡的钱为钱．
13．（24-25七年级下·全国·假期作业）游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳元会员费，每次游泳另外收费元（一年内有效）．
(1)爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次．他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程．
(2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程．
【答案】(1)年卡；过程见详解
(2)次
【知识点】方案选择(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了购票问题及列方程解决问题，找到等量关系是解题的关键．
（1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳次．方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量=总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用；方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费元，那么游泳次需另收费元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用；再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算．
（2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，等量关系为：单次卡每次的费用次数年卡的费用每次游泳另外的收费次数，据此列出方程，并求解．
【详解】（1）解：爸爸一年游泳：（次），
单次卡：（元），
年卡：（元），
，
答：他选择年卡更划算．
（2）设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等，
答：一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等．
14．（2025·陕西西安·模拟预测）习近平总书记强调：“一个博物院就是一所大学校”．某校联系研学社组织学生到博物院研学，研学社报价每人收费400元，当研学人数超过50时，研学社给出两种优惠方案：
方案一：研学团队先交1800元后，再每人收费320元；
方案二：5人免费，其余每人收费打九折．
已知研学人数超过50，且上述两种方案的收费相同，求研学人数．
【答案】参加研学的总人数是90人．
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】解：根据题意得：采用方案一的收费为元；
采用方案二的收费为元；
根据题意得：，
解得：．
答：参加研学的总人数是90人．
15．（24-25七年级下·福建漳州·期中）如图是2025年4月的月历，观察月历，解答下列问题：
(1)小宝这个月外出旅行三天，三天日期之和是36，求小宝出发的日期．
(2)月历中“十”字型阴影图形能覆盖其中五个数字，则五个数字之和能否等于100？若能，求出其中最小的数字；若不能，请说明理由．
【答案】(1)小宝出发的日期为11日
(2)不能，理由见解析
【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键：
（1）设小宝出发的日期为，根据三天日期之和是36，列出方程进行求解即可；
（2）设中间的数字为，根据题意，列出方程，进行求解即可．
【详解】（1）解：设小宝出发的日期为，由题意，得：
，
解得：；
答：小宝出发的日期为11日；
（2）不能，理由如下：
设中间的数字为，由题意，得：
，
解得：，
观察日历可知当时，不存在十字型；
故不能．
16．（2025·湖南长沙·三模）近期“国家喊你减肥了”话题冲上热搜，为了让大家有一个健康的身体和良好的生活习惯，某学校组织全体中学生参加健康生活方式知识竞赛，共设道选择题，各题分值相同，每题必答，如表记录了5个参赛者的得分情况．
(1)填空：每答对一道题得______分，每答错一道题扣_____分；
(2)参赛者得分，他答对了几道题？
(3)参赛者说他得分，你认为可能吗？请通过计算说明．
【答案】(1)4，1
(2)答对了道题
(3)参赛者不可能得分，见解析
【知识点】比赛积分(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据参赛者E的得分情况可求出每答对一道题所得分值，据此即可求解；
（2）设参赛者答对了道题，由题意得：据此即可求解；
（3）假设他得了分，设他答对道题，根据题意得：，解得，据此即可判断；
【详解】（1）解：根据参赛者E的得分情况可知：每答对一道题得分；
根据参赛者A的得分情况可知：每答错一道题得分；
故答案为：4，1
（2）解：设参赛者答对了道题，由题意得：
解得：，
答：参赛者答对了道题
（3）解：参赛者不可能得分，
理由：假设他得了分，设他答对道题，
根据题意得：，
解得，不是正整数，所以假设不成立，
故参赛者不可能得分．
17．（24-25七年级下·全国·假期作业）A、B两市相距千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路．甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的．
(1)如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？
(2)如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？
【答案】(1)甲队：千米/小时，乙队：千米/小时
(2)小时
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、工程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查工程问题，掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键．
（1）设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时．从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和=两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可．
（2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作小时，完成了总量的，根据工作效率=工作总量÷工作时间，用求出甲的效率．设乙的效率为，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：（小时），根据工作效率工作时间=工作总量，甲队工作量＋乙队工作量，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间．
【详解】（1）解：设乙队的行进速度是千米/小时，则甲队的行进速度是千米/小时，
（小时），
2小时小时=小时，
，
（千米/小时），
答：甲队的行进速度是千米/小时，乙队的行进速度是千米/小时．
（2），
根据题意，设乙的工作效率为，
（小时），
答：乙队单独疏通这条公路的效率是小时．
18．（24-25六年级下·山东泰安·期中）小红和小军假期到某厂参加社会实践，该工厂用白板纸做包装盒，设计每张白板纸做盒身2个或者盒盖3个，且一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒．为了充分利用材料，要求做成的盒身和盒盖正好配套．
(1)现有21张白板纸，问最多可做几个包装盒？（用一元一次方程的应用解答）
(2)现有33张白板纸，问最多可做几个包装盒？
为了解决这个问题，小红和小军各设计了一种解决方案：
小红：把这些白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖；
小军：先把一张白板纸适当套裁出一个盒身和一个盒盖，余下白板纸分成两部分，一部分做盒身，一部分做盒盖．
请探究：小红和小军设计的方案，谁做出的包装盒最多？
【答案】(1)用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒
(2)小军做出的包装盒更多，理由见解析
【知识点】配套问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是列方程的关键
（1）设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据一个盒身和两个盒盖恰好做成一个包装盒列出方程即可解答；
（2）分别按小红和小军设计的方案列出方程解答，然后比较即可得出答案．
【详解】（1）解：设张白纸做盒身，则有张做盒盖，根据题意得：
，
解得：，
则，
答：用9张白纸做盒身，12张白纸做盒盖，则最多可做18个包装盒；
（2）解：小红的方案，设张做盒身，则有张做盒盖，
根据题意得：，
解得：；
小军的方案，设余下的纸板张做盒身，
根据题意得：，
解得：，
，
则小军做出的包装盒更多．
19．（24-25七年级下·浙江温州·期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费．下表是该市“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的部分信息：
（说明：①每户生产的污水量等于该户自来水用量；②水费=自来水费用+污水处理费）
已知小王家2024年7月用水15吨，交水费30元；8月份用水26吨，交水费61元．
(1)求，的值．
(2)如果小王家9月份上交水费108元，则小王家这个月用水多少吨？
(3)小王家10月份忘记去交水费，当他11月去交水费时发现两个月一共用水52吨（其中10月份用水超过30吨），一共交水费132.59元（其中包含10月份的滞纳金，即10月份水费的2%），求小王家11月份用水多少吨．（滞纳金：因未能按期缴纳水费，逾期要缴纳的“罚款金额”）
【答案】(1)
(2)40吨
(3)13吨
【知识点】电费和水费问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，读懂题意，正确的列出方程是解题的关键：
（1）根据收费方法，列出方程进行求解即可；
（2）设小王家这个月用水吨， 根据题意，列出方程进行求解即可；
（3）设11月份用水吨，则10月份用水吨，分和，两种情况进行讨论，列出方程进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得：，
∴，
解得：；
（2）解：由题意可知，元，元，元；
设小王家这个月用水吨，
由题意，得，
解得．
答：小王家这个月用水40吨．
（3）解：设11月份用水吨，则10月份用水吨．
①当，
可得，
解得；
②当，
可得，
解得 (舍去)．
即小王家11月份用水13吨．
20．（24-25七年级下·重庆·期中）列方程解决下列问题：
年，新能源汽车市场竞争异常激烈，某新能源汽车品牌生产厂为抢占市场份额，提高销售量，对经销商采取销售奖励活动．某经销商在新奖励办法出台前一个月共售出该品牌汽车的型和型共台，新奖励办法出台后的第一个月售出这两种型号的汽车共台，其中型汽车和型汽车的销售量分别比新奖励办法出台前一个月增长和．
(1)在新办法出台后的第一个月，该经销商销售的型汽车和型汽车分别为多少台？
(2)若型汽车每台售价为万元，型汽车每台售价为万元．新奖励办法是：每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励，每销售一台型汽车按每台汽车售价的给予奖励．新奖励办法出台后的第二个月，型汽车的销售量比出台后的第一个月增加了；而型汽车受到某问题零件召回的影响，销售量比出台后的第一个月减少了，新奖励办法出台后的第二个月，该经销商共获得的奖励金额万元，求的值．
【答案】(1)分别为台和台
(2)
【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)
【分析】（）设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，根据题意列出方程求出的值，进而即可求解；
（）根据题意列出方程即可求解；
本题考查了一元一次方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键．
【详解】（1）解：设办法出台前该经销商销售的型汽车为台，则该经销商销售的型汽车为台，
由题意得，，
解得，
∴新办法后第一个月型汽车台数：(台)，
新办法后第一个月型汽车台数：(台) ，
答：在新办法出台后第一个月，该经销商销售的型和型汽车分别为台和台；
（2）解：由题意得，，
整理得，，
解得，
答：的值为．
甲
乙
进价/（元/件）
售价/（元/件）
打折前一次性购物金额
不超过500元
超过500元但不超过800元
超过800元
优惠措施
按总价打九折
按总价打八折
其中800元部分打七折，其余部分打六折
种类
购票方式
A
一次性使用门票，每张15元
B
年票每张元，持票者每次进入游乐园无需再购买门票
C
年票每张80元，持票者进入游乐园时需每次再购买6元的门票
起步价：元
超公里费：超过公里元/公里
不足公里按公里计
滴滴快车
起步价：元
里程费：元/公里
时长费：元/分钟
神州专车
起步价：10元
里程费：元/公里
时长费：元/分钟
购买的数量（盒）
不超过60或刚好60
超过60
每盒单价（元）
200
180
参赛者
A
B
C
D
E
答对题数
20
19
18
14
10
答错题数
0
1
2
6
10
得分
100
94
88
64
40
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
20
0
100
B
18
2
88
C
64
D
10
10
40
用户月用水量
单价
不超过12的部分
a元/
超过12但不超过20的部分
元/
超过20的部分
元/
居民每月用电量
单价（元度）
不超过50度的部分
超过50度但不超过200度的部分
超过200度的部分
一月份
二月份
三月份
四月份
五月份
六月份
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
1
B
4
C
7
D
E
0
自来水销售价格
污水处理价格
每户每月用水量
单价：元/吨
单价：元/吨
17吨及以下
超过17吨但不超过30吨的部分
超过30吨的部分