第15讲 一元一次方程及其解法-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（苏科版2024）（解析版）-A4

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第一步：主动学
析教材 学知识：教材精讲精析，全方位预习
讲典例 练习题：教材习题学解题，快速掌握解题方法
练考点 强知识：两大核心考点八种常考题型精准练
第二步：用心记
串知识 识框架：学习目标复核内容掌握，思维导图助力掌握知识脉络，理清知识之间的联系
第三步：限时测
过关测 稳提升：过关检测效果好，查漏补缺练考点
知识点1：一元一次方程的概念
1.一元一次方程：等号两边都是整式，且只含有一个未知数，未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程.
名师点拨
一元一次方程中的“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一个方程要成为一元一次方程需要同时满足以下条件：
是一个等式（含有等号）;
等号两边都是整式（也就是说如果有分母，分母中不能有未知数）;
未知数的次数都是1次;
知识点2：一元一次方程的解法
名师点拨
解方程时，表中所给步骤是一般步骤，有些步骤可能用不到，要根据具体方程的形式而定，而且也不一定要按照表中顺序，可以适当的调整或删减．
题型1一元一次方程的概念与识别
1．下列式子中，是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，理解定义“含有个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程，叫做一元一次方程．”是解题的关键．
【详解】解：A.符合一元二次方程的定义，故符合题意；
B.是代数式不是方程，故不符合题意；
C.是分式方程，故不符合题意；
D.未知数的最高次数是，故不符合题意；
故选：A．
2．下列各式中，属于一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是依据一元一次方程方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程．根据定义判断即可．
【详解】解：A、是二元一次方程，不符合题意；
B、是一元一次方程，符合题意；
C、不是等式，故不是一元一次方程，不符合题意；
D、，是整式的加减运算，故不是一元一次方程，不符合题意．
故选：B．
3．下列方程中是一元一次方程的是（ ）
A．B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据定义即含有一个未知数且未知数的指数为1的整式方程，判断即可．
本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：A. ，最高次数为2，不是1，不符合题意；
B. ，不是整式方程，不符合题意；
C. ，是一元一次方程，符合题意；
D. ，未知数的个数为2个，不是一个，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
4．下列方程中，是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、，未知数有2个，不是一元一次方程，不符合题意；
B、是一元一次方程，符合题意；
C、不是方程，不符合题意；
D、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：B．
5．下列各式：①；②：③；④；⑤中，是一元一次方程有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义逐个判断即可．
【详解】解：①是一元一次方程，
②有2个未知数，不是一元一次方程，
③是等式，不是一元一次方程，
④是代数式，不是一元一次方程，
⑤是一元一次方程，
所以一元一次方程有2个，
故选：B．
题型2根据一元一次方程的概念求字母的值
1．若是关于x的一元一次方程，则m等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．0
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的次数为，这样的整式方程叫一元一次方程．根据一元一次方程的定义可得：，，再解即可．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，，
解得：，
故选：A．
2．若是关于的一元一次方程，则的值不可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握只含有一个未知数，且未知数最高次为1的整式方程，是一元一次方程，据此即可解答．
【详解】解：是关于的一元一次方程，
，
解得：，
的值不可能为，
故选：A．
3．若是关于x的一元一次方程，则m等于（ ）
A．2B．0C．D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了一元一次方程的定义，绝对值，解题的关键是根据一元一次方程的未知数的次数是及其系数不为零这两个条件；
根据一元一次方程的定义可知未知项的次数是1，未知项的系数不能等于零，即可列出，，从而确定的取值范围．
【详解】解：因为方程是关于x的一元一次方程，
所以，，
解得．
故选：C．
4．若是一元一次方程，则等于（ ）
A．1B．2C．1或2D．任何数
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的定义．含有一个未知数并且未知数的次数为1的整式方程，据此即可作答．
【详解】解：∵是一元一次方程，
∴，
∴，
故选：A．
5．如果方程是关于x的一元一次方程，那么m的值是（ ）
A．0B．2C． D．1
【答案】B
【分析】本题主要考查一元一次方程的定义，掌握等式两边是只含有一个未知数且未知数的次数为1的整式的方程叫一元一次方程成为解题的关键．
直接根据一元一次方程的定义列式求解即可解答．
【详解】解：∵方程是关于x的一元一次方程，
∴，解得：．
故选B．
题型3判断是不是一元一次方程的解
1．下列方程中，解为的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可．解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意；
B．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项符合题意；
C．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意；
D．把代入方程得：左边，右边，左边右边，故此选项不符合题意．
故选：B．
2．整式的值随的取值不同而不同，下表是当取不同值时整式对应的值，则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查一元一次方程的解，根据表格可知，当时，，故的解为．
【详解】解：由表格可知：当时，，
∴的解为．
故选C．
3．下列方程的解为的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
将逐一代入各方程，判断方程左右两边是否相等，即可作出判断．
【详解】解：A、当时，，故不是此方程的解；
B、当时，，故是此方程的解；
C、当时，，故不是此方程的解；
D、当时，，故不是此方程的解；
故选：B．
4．多项式和（、为实数，且）的值随的取值不同而变化，上表是当取不同值时分别对应的两个多项式的值，则关于的方程：的解是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解一元一次方程．
首先将方程变形为，观察表格可知，当时，，即可得出方程的解．
【详解】解：∵方程可以变形为，
而由表格中的对应值可知，当时，，
∴是方程的解，
故选：C．
5．下列方程中，解是的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，解题关键是熟练掌握解一元一次方程的一般步骤和一元一次方程解的定义．
按照解一元一次方程的一般步骤，解各个选项中的方程，然后根据所求的解进行判断即可．
【详解】解∶A． ，，此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意；
B．，，，∴此选项中的方程的解是，故此选项符合题意；
C．，，，，∴此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意；
D．，，，此选项中的方程的解不是，故此选项不符合题意；
故选∶B．
题型4一元一次方程的解法
1．（1）解方程：；
（2）解方程：．
【答案】（）；（）．
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可；
（）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为的步骤解方程即可．
【详解】解：（）
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，；
（）
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化为1得，．
2．解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去括号得到，，
移项得，，
合并同类项得到，，
系数化为1得，；
（2）
去分母得到，
去括号得到，，
移项得，，
合并同类项得到，，
系数化为1得，
3．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解此题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解；
（2）根据解一元一次方程的步骤计算即可得解．
【详解】（1）解：去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
4．解下列方程．
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟知解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
5．解下列方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法和步骤是解题关键．
（1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1 ，即可解方程；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1 ，即可解方程．
【详解】（1）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：；
（2）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
题型5一元一次方程的纠错问题
1．学习情境·错解问题 小明在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，请你帮助小明求出的值，并正确解出原方程．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，由题意得：方程的为，将代入可求得得出原方程为，即可求解；
【详解】解：由题意得：方程的为，
将代入方程得：，
解得：
∴原方程为，
去分母：，
去括号：，
移项：，
合并同类项：，
化系数为：
2．小明在学习解一元一次方程时，遇到了这样一个方程，于是他尝试去解，最后检验时他发现解是错误的，他百思不得其解，请帮助检查他下面的解法：
解：原方程即． 【A】
去分母，得． 【B】
去括号，得． 【C】
移项，得． 【D】
合并同类项，得． 【E】
系数化为1，得． 【F】
(1)他错在哪一步？____________（请填后面的大写字母代号），错误的原因是____________；
(2)请你帮助正确写出求解过程．
【答案】(1)A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母
(2)见解析
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法、步骤以及相关运算法则是解题关键．
（1）根据去分母法则分析即可；
（2）先将分子分母同时，将分母变为整数，再依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：他错在A步骤，错误的原因是将方程中的小数变为整数误当成了去分母，
故答案为：A；将方程中的小数变为整数误当成了去分母；
（2）解：原方程即，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
3．老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：
……………… …①
…………………… …②
…………………… …③
………………………………… ④
………………………………… ⑤
(1)老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误，请你指出他错在 （填编号），错误的原因是 ；
(2)请细心地解下面的方程：
【答案】(1)①，1没有乘以12；
(2)
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，注意去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号．
（1）小明解方程的第①步中去分母时“1”没有乘以12；
（2）解带分母的方程，要先去分母、再去括号、最后移项合并同类项，化系数为1，从而得到方程的解．
【详解】（1）解：小明解方程的第①步中去分母时1没有乘以12，所以错在①，
故答案为：①，1没有乘以12；
（2）解：
去分母得，
去括号得，
移项得
合并同类项得，
系数化为1得．
4．老师在黑板上出了一道解方程的题，小明马上举手，要求到黑板上做，他是这样做的：
①
②
③
④
⑤
老师说：小明解一元一次方程的一般步骤都知道，却没有掌握好，因此解题时有一步出现了错误．
(1)请你指出他错在______（填编号），该方程正确的解是：______；
(2)请你自己细心地解下面的方程：．
【答案】(1)①；
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，“先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1”，准确计算．
（1）根据小明的解题过程进行判断即可；
（2）先去分母、再去括号，然后移项合并同类项，最后系数化为1．
【详解】（1）解：小明在第①步去分母时，1漏乘了12；
，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
故答案为：①；．
（2）解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
5．用好错题本可以有效地积累解题策略，减少再错的可能．下面是小严同学错题本上的一道题，请仔细阅读并完成相应的任务．
解方程：．
解：去分母，得……………………第一步
去括号，得……………………第二步
移项，得……………………第三步
合并同类项，得……………………第四步
系数化为1，得……………………第五步
任务：
①以上解题过程中，第一步是依据________________________进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是____________________________；
②从第________步开始出错，这一步错误的原因是__________________________；
③请直接写出该方程正确的解．
【答案】①等式的性质2，乘法分配律；②三，从等号左边移项至等号右边未变号；③
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题关键．
①根据等式的基本性质、乘法分配律即可得；
②根据解一元一次方程的步骤中，移项法则即可得；
③根据移项、合并同类项、系数化为1的步骤写出正确过程即可得．
【详解】①以上解题过程中，第一步是依据等式的性质2进行变形的；第二步去括号时用到的运算律是乘法分配律；
故答案为：等式的性质2，乘法分配律；
②从第三步开始出错，这一步错误的原因是从等号左边移项至等号右边未变号；
故答案为：三，从等号左边移项至等号右边未变号
③从第三步开始移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
题型6含参数方程的错解问题
1．小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
【答案】，．
【分析】本题考查了一元一次方程的解，根据题意把代入方程，得出，根据等式的性质求出方程的解是，得出方程为，再根据等式的性质求出方程的解即可．
【详解】解：∵小明是七（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘以6而得到错解，
∴把代入方程，得，
，
，
，
，
方程为，
，
，
，
，
，
即，方程的解是．
2．小明是七年级（2）班的学生，他在对方程去分母时由于粗心，方程右边的没有乘6而得到错解，你能由此判断出a的值吗？如果能，请求出方程正确的解．
【答案】，
【分析】先把错误的解法得到的x的值代入方程求出a的值，然后根据一元一次方程的解法，先去分母，再去括号，最后移项，合并同类项，从而得到方程的解．
【详解】解：∵方程右边的忘记乘6，求出的解为，
∴，
解得，
则原方程为：，
去分母，得，
移项、合并同类项，得．
【点睛】本题考查了一元一次方程错解问题以及解一元一次方程，根据错误的解法得到a的值是解题的关键．
3．在数学课上，冰冰在解方程时，因为粗心，去分母时方程左边的1没有乘以10，从而求得的方程的解为x＝－6，试求的值，并解出原方程正确的解．
【答案】的值为1，原方程正确的解为x=3
【分析】先将错误解法求得的解x=6代入错误方程中求得a值，再把a代入原方程中，解方程求出正确的解即可．
【详解】解：把x=-6代入2(2x-1)+1=5(x+a)中，解得a=1，
把a=1代入中得，
去分母，得2（2x-1）+10=5（x+1），
去括号，得4x-2+10=5x+5，
移项、合并同类项，得-x=－3，
系数化为1，得x=3，
答：的值为1，原方程正确的解为x=3．
【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，理解一元一次方程的解，并熟练掌握一元一次方程的解法步骤是解答的关键．
4．林平同学在解方程时由于粗心，在化简方程去分母这一步时，方程左边的没有乘，进而求得的方程的解为请你求出方程的正确解及的值．
【答案】；．
【分析】按林平同学的解法求出a的值，再把a的值代入原方程，按正确的解法求解即可．
【详解】解：根据题意可得，
，
，
把代入得．
移项合并得，
解得．
把代入原方程得，
去分母得，
解得．
【点睛】本题考查解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x＝a形式转化．
5．解方程：
(1)；
(2)甲同学在解方程时，由于粗心，错把看成了，结果解得，求的值及方程正确的解．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可；
（2）先把代入错误的方程，解关于m的一元一次方程求出m的值，再把m的值代入正确的方程，解方程求出正确的解即可；
此题考查了一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法和一元一次方程解的定义是解题的关键．
【详解】（1）解：
两边都乘以2得，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化1得，
（2）把代入得，
，
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化1得，，
当时，变为：
去分母得到，
去括号得，
移项合并同类项得，，
系数化为1得，
题型7与一元一次方程有关的新定义问题
1．定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“和谐方程”．方程与方程是“和谐方程”吗？请说明理由．
【答案】是，见解析
【分析】本题考查了解一元一次方程，理解新定义是解题的关键．根据题意，分别解一元一次方程，根据“和谐方程”的定义验证即可求解；
【详解】解：方程与方程是“和谐方程”，
理由如下：由，解得．
由，解得．
因为，
所以方程与方程是“和谐方程”．
2．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程和为“美好方程”．
(1)方程与方程是“美好方程”吗？请说明理由；
(2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值．
【答案】(1)不是“美好方程”，理由见解析；
(2)．
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，理解“美好方程”的定义是解题的关键．
（1）先求解每一个方程，再根据“美好方程”的定义即可判断；
（2）先求解每一个方程，再根据“美好方程”的定义即可判断；
【详解】（1）解：不是“美好方程”，理由如下：
由，解得：，
由，解得：，
∵，
∴方程与方程不是“美好方程”；
（2）解：由，解得：，
由，解得：，
∵方程与方程是“美好方程”，
∴，
解得：．
3．阅读下列材料，并完成相应的任务．
定义：如果两个一元一次方程的解的和为，我们就称这两个方程为“美好方程”．
例如：方程的解为，方程的解为；，所以方程与方程为“美好方程”．
(1)请判断方程与方程是否为“美好方程”，并说明理由；
(2)若关于的方程与方程是“美好方程”，求的值．
【答案】(1)是“美好方程”，理由见解析
(2)
【分析】（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义进行判断即可；
（）先求出两个方程的解，然后根据“美好方程”的定义得出，求出的值即可；
本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的方法，准确计算．
【详解】（1）解：方程与方程是“美好方程”，理由如下：
解方程，得，
解方程，得，
∵，
∴方程与方程是“美好方程”；
（2）解：解方程，得，
解方程，得，
∵关于的方程与方程是“美好方程”，
∴，
∴．
4．定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程和为“兄弟方程”．
(1)若关于的方程与方程是“兄弟方程”，求的值；
(2)若某“兄弟方程”的两个解的差为，其中一个解为，求的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】本题考查有关解一元一次方程、一元一次方程的解，解题的关键是知道解一元一次方程的方法．
（1）根据关于的方程与方程是“兄弟方程”，先求出方程的解为，再代入中求解；
（2）根据“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为，利用两个解的差为，列出方程求解．
【详解】（1）解： 解方程，
得
∵关于的方程与方程是“兄弟方程”，
∴方程的解为，
∴，
，
∴．
（2）解：因为“兄弟方程”其中一个解为，则“兄弟方程”的另一个解为．
∵两个解的差为，
∴或，
∴，．
5．新定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“1方程”．例如：方程和为“1方程”．
(1)若关于的方程与方程是“1方程”，求的值；
(2)若“1方程”的两个解的差为8，其中一个解为，求的值；
(3)若关于的一元一次方程和是“1方程”，求关于的一元一次方程的解．
【答案】(1)
(2)或
(3)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义：
（1）先解方程得，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，则，解得；
（2）由题意得，另一个解为，则根据“1方程”的定义得到或，解方程即可得到答案；
（3）先解方程得：，根据“1方程”的定义得到关于的方程的解为，进而得到关于的方程的解为，即可求解．
【详解】（1）解：解方程得，
∵关于的方程与方程是“1方程”，
∴关于的方程的解为，
∴，
∴；
（2）解：由题意得，另一个解为，
∵“1方程”的两个解的差为8，
∴或，
解得或；
（3）解：解方程得：，
∵关于的一元一次方程和是“1方程”，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
即的解为，
∴关于的方程的解为
解得：
题型8与一元一次方程有关的找规律问题
1．观察下列关于x的方程，并回答问题．
①的解是；
②的解是；
③的解是；
…
(1)猜想方程的解为______；
(2)根据观察得到的规律，直接写出第2024个方程的解______；
(3)根据观察得到的规律，写出解为的方程是____________．
【答案】(1)6
(2)
(3)
【分析】本题考查数字类规律探究，解一元一次方程，根据已知方程及其解的特征总结规律是解题关键．
（1）观察关于x的方程可得出第n个方程为，且其解为，再结合所给方程即得出答案；
（2）根据（1）所得规律解答即可；
（3）根据（1）所得规律，分析得出是第个方程的解，再写出这个方程即可．
【详解】（1）解：观察关于x的方程可得出第n个方程为，其解为，
因为，即，
所以该方程的解为；
（2）解：由（1）可知第2024个方程的解；
（3）解：因为，
所以由（1）可知，该解为第个方程的解，
所以这个方程是，即．
2．观察下列表格中几个代数式及其相应的值，回答问题．
(1)【初步感知】
①根据表中信息可知，________，________；
②若的值比的值大27.求x的值．
(2)【归纳规律】
表中的值的变化规律是x的系数是1，x的值每增加1，的值就增加1；的值的变化规律是x的系数是2，x的值每增加1，的值就增加________．类似的，的值的变化规律是x的系数是，x的值每增加1，的值就减少________．
(3)【问题解决】
若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就减少5，且当时，的值为6，求这个代数式．
【答案】(1)①；3；②
(2)2；3
(3)
【分析】本题考查了代数式求值及一元一次方程的解，熟练掌握列代数式是解答本题的关键．
（1）①将对应的值代入含有的代数式计算即可；②根据题意可得关于x的方程，解方程即可求解；
（2）根据表格中的数据分析判断即可；
（3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数．又因为时，的值为6．所以．解得即可得到代数式．
【详解】（1）①当时，代数式；当时，；
故答案为：．
②根据题意得，
解得．
（2）表中的值的变化规律是的系数是1，的值每增加1，的值就增加1；
的值的变化规律是的系数是2，的值每增加1，的值就增加 2．
类似的，的值的变化规律是的系数是，的值每增加1，的值就减少 3．
故答案为：2；3．
（3）根据（2）中的规律可知，当的值每增加1，的值就减少5时，的系数．
又因为时，的值为6．
所以．解得，
故这个代数式为
3．观察下列表格中两个代数式及其相应的值，回答问题：
【初步感知】
（1）根据表中信息可知， ， ；
【归纳规律】
（2）表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加3；的值的变化规律是；x的值每增加1，的值就都减少2．类似地，的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ；的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都 ．
【问题解决】
（3）若关于x的代数式，当x的值每增加1，的值就都增加5，且当时，的值为8，求这个含x的代数式．
【答案】（1）、5；（2）增加2、减少3；（3）
【分析】本题主要考查了列代数式和求代数式的值，有理数的混合运算，解一元一次方程．准确计算是解题的关键．
（1）分别将代入两个代数式．计算可得a、b的值即可；
（2）结合所给例子并观察表格数字的变化情况即可得出结论；
（3）选根据（2）中的规律即可求解．
【详解】解：（1）根据表中信息可知，
，
故答案为：，5；
（2）观察表格可以看出，
的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都增加2；
的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就都减少3．
故答案为：增加2，减少3；
（3）根据（2）中的规律可知，当x的值每增加1，的值就都都增加5，x的系数，
又因为时，的值为8，
，解得，
故这个含x的代数式为：．
4．根据表，回答问题：
(1)【初步感知】
______；______；
(2)【归纳规律】
表中的值的变化规律是：x的值每增加1，的值就减少2．类似地，的值的变化规律是什么？
(3)【问题解决】
请直接写出一个含x的代数式，要求x的值每增加1，代数式的值就减小5，且当时，代数式的值为-7．
【答案】(1)1，12；
(2)随着x值的变化，x每增加1，的值增加2；
(3)
【分析】（1）把对应的x值代入可得a，b的值；
（2）仿照题目中的描述，语言叙述（1）中的规律即可；
（3）根据当x＝0时，代数式的值为﹣7，可以设这个代数式为一次式：，再由已知确定符合条件的m值即可．
【详解】（1）解：把代入得，，即；
把代入得，，即；
故答案为：1，12；
（2）解：根据表中对应的数为4，6，8，10，可知，
x每增加1，的值增加2；
（3）∵当时，代数式的值为，
∴设这个代数式为：，
∵x的值每增加1，代数式的值减小5，
∴，
，
∴这个代数式可以为：．
【点睛】本题考查了代数式的值和一元一次方程，解题关键是根据题意，发现规律，列出方程求解．
5．阅读材料，完成任务．
七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程时，不是直接给方程去括号，而是假设，然后把方程变形为：
，
，
．
，
解，得．
上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法．
任务：参照材料中的解题方法解方程．
【答案】x=-4
【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可．
【详解】解：
设7-2x=a，则原方程变形为：
∴
解得，a=15
即7-2x=15，
解得，x=-4
知识导图记忆
知识目标复核
1.理解一元一次方程的概念，能判断一个式子是不是一元一次方程；
2.掌握一元一次方程的一般解法步骤；
一、选择题
1．下列四个式子中，是一元一次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可．
【详解】解：A、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意；
B、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意；
C、是一元一次方程，符合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意；
故选：C．
2．已知关于的方程是一元一次方程，则的值为（ ）
A．0B．C．1D．0或
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义，得出且，即可求解．
【详解】解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴且，
解得：．
故选：A．
3．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可．
【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，
解得：，
∴关于y的一元一次方程的解为，
故选：A．
4．已知是关于的方程的解，则的值是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元一次方程的解：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解．
把代入方程计算即可求出a的值．
【详解】解：把代入，得，
解得：，
故选B．
5．下列方程变形正确的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么
【答案】D
【分析】本题考查等式的基本性质，去括号法则，根据等式的基本性质判断选项A，B，D，根据去括号法则判断选项C即可．
【详解】解：A、如果，那么两边同时减去3，得．本选项的变形错误；
B、如果，那么两边同时除以3，得．本选项的变形错误；
C、如果，那么去括号，得．本选项的变形错误；
D、如果，那么两边同时加1，得．本选项的变形正确．
故选：D
6．在解方程的过程中，变形正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】本题考查解一元一次方程时去分母、去括号方法的正确运用．掌握一元一次方程的解法是关键．去分母的方法是方程两边同时乘各分母的最小公倍数6，在去分母的过程中注意分数线有括号的作用，以及去分母时不能漏乘没有分母的项．
【详解】解：A．，故原变形错误；
B．，故原变形错误；
C．，故原变形错误；
D．，故原变形正确；
故选：D．
7．若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，将代入一元一次方程，再求出代数式的值即可．
【详解】解：因为一元一次方程的解是，
所以，
整理，得，
即，
所以．
故选：C．
8．若关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．分别解方程和方程，根据两个方程的解互为倒数，得到关于的一元一次方程，即可求解．
【详解】解：解方程，得，
解方程，得，
关于的一元一次方程和方程的解互为倒数，
，
解得：．
故选：A．
9．若代数式与的值互为相反数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答．
【详解】解：∵代数式与的值互为相反数，
∴，
解得．
故选：A
10．若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】本题考查的是方程的解，熟练掌握解方程是解决此题的关键；
先计算方程的解，然后选取和题意符合的解，即可求解；
【详解】解：
关于的方程的解是整数；
则整数，，共个；
故选：C
二、填空题
11．若是关于的一元一次方程，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是关于的一元一次方程，
∴，
∴，
故答案为：．
12．写出一个解为的一元一次方程： ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程两边相等的未知数的值，据此写出一个当时，方程左右两边能相等的一元一次方程即可．
【详解】解：由题意得，符合题意的方程为，
故答案为：（答案不唯一）．
13．关于方程的解是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键
先去括号，再通过移项、系数化为1来求解方程．
【详解】解：
．
．
．
故答案为：．
14．当 时，代数式与的值互为相反数．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，相反数的定义，根据相反数的定义可得，解方程即可得到答案．
【详解】解：∵代数式与的值互为相反数，
∴，
解得，
∴当时，代数式与的值互为相反数．
故答案为：．
15．当为 时，代数式的值比的值大3．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据题意可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
解得，
故答案为：．
16．设，，，为有理数，现规定一种新的运算，则满足等式：的的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次方程．根据新运算得出，再求解即可得出答案．
【详解】解：根据新运算可得：，
整理得：，
解得：，
故答案为：．
17．已知关于x的方程的解为非负整数，请你写出一个符合条件的自然数a的值： ．
【答案】3（答案不唯一）
【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，方程的解的含义，先去分母，解方程可得，再结合解为非负整数，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
解得：，
∵方程的解为非负整数，
∴当符合条件；
∴，
∴自然数a的值可以为3．
故答案为：3（答案不唯一）．
18．下列做法正确的是 ．
①由移项，得
②由去分母，得
③由去括号，得
④由去括号、移项、合并同类项，得
【答案】①④
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据解一元一次方程的步骤依次计算并判断即可．
【详解】解：①由移项，得，故①正确，
②由去分母，得，故②错误，
③由去括号，得，故③错误，
④由去括号得、移项、合并同类项得，故④正确，
故答案为：①④
19．关于的方程的解比关于的方程（）的解大，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．通过解关于的方程、，分别求得它们的解，然后依题意列出关于的方程，求出的值即可．
【详解】解方程的解是：；
方程的解是：，
依题意，得，
解得，．
故答案为：．
20．小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了看不清楚，被污染的方程是，怎么办呢？小明想了想便翻看了书后的答案，此方程的解是他很快就补好了这个常数，这个常数应是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了根据一元一次方程的解求参数，把代入方程，再解一元一次方程求解即可得出答案．
【详解】解：把代入，
则，
解得：，
则常数为2，
故答案为：2
三、解答题
21．解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键．
（1）通过去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值；
（2）通过去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等过程，求得x的值．
【详解】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
22．解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答．
（2）先去分母，去括号，再移项，合并同类项，系数化1，即可作答．
【详解】（1）解：
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
去分母的：，
去括号的：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
23．如果方程 的解与方程 的解相同，求字母 的值．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元一次方程的解法，正确理解题意、熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．先解方程求出，然后把求出的方程的解代入，再解关于的方程求出即可．
【详解】解：对方程，
去分母得，
去括号得，
移项、合并同类项得，
系数化为1得；
把代入，
得，
解得：．
24．在数学实践课上，某学习小组针对相关问题进行探究，拟定项目式学习表：
【答案】（1）
（2）
（3）
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为．
（1）按照要求去分母即可；
（2）将代入式子②，得，解方程即可求出的值；
（3）将代入①，得，然后按照解一元一次方程的一般步骤解方程即可．
【详解】解：（1）依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：，
故答案为：；
（2）将代入式子②，得：，
整理，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：；
（3）将代入①，得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：．
25．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”，例如：方程和为“美好方程”．
(1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值；
(2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值；
(3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解．
【答案】(1)m的值为9
(2)或
(3)2024
【分析】本题考查一元一次方程以及新定义．
（1）分别表示出两个方程的解，根据定义可知两个方程的解之和为1，可得方程，求解即可；
（2）根据定义可得或，求解即可；
（3）先求解可得，再将化为，即可求解．
【详解】（1）解：解方程得：
解方程得：
∵关于x的方程与方程是“美好方程”
∴ 解得：
答：m的值为9；
（2）∵“美好方程”的两个解之和为1
∴另一个方程的解为
∵“美好方程”的两个解的差为8
∴或
∴或；
（3）∵
∴
∵关于x的一元一次方程和是“美好方程”
∴的解为：
∵关于y的一元一次方程可化为
∴
∴．
解法步骤
具体做法
数学依据
注意事项
1.去分母
方程两边都乘以各分母的最小公倍数
等式性质2
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的，去分母后应加上括号
2.去括号
去括号
去括号法则
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
3.移项
含有未知数项都移到方程左边，常数项都移到右边
等式性质1
移项要变号
4.合并同类项
把方程化成的形式
合并同类项法则
5.系数化成1
方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解
等式性质2
不要把分子、分母写颠倒
教材习题第120页习题第7（4）题
解方程：
解题方法指导
第一步：去分母
第二步：去括号
第三步：移项
第四步：合并同类项
第五步：系数化为1
【分析】
解：
教材习题120页习题第8题
解题方法指导
解方程，要做到步步有据！
解方程的主要依据都是等式的基本性质
这里最易错的就是利用等式的基本性质2关于除的步骤。
由两边都除以得到是最易犯的错误，这里必须有一个前提条件就是，两边才可以同时除以
【分析】
这里错在第三行中两边都除以，
这一步中利用等式的基本性质2，等式两边都除以了，这有一个前提条件：才可
以，而本题中，所以这一步错误，才得出了荒谬的结果。
易错提醒：在等式两边都除以一个含有字母的式子时，一定要看看此式子有没有可能为0！
0
1
2
9
7
5
3
1
0
1
2
5
3
1
x
0
1
2
a
0
1
b
5
7
2
1
10
x
…
0
1
2
…
…
a
…
…
2
5
8
…
…
9
7
5
3
1
…
…
b
2
…
x
…
-2
-1
0
1
2
…
…
9
7
5
3
a
…
…
4
6
8
10
b
…
任务
解决解方程问题中的“看错抄错”问题
示例
解方程①时，去分母时方程左边的1没有乘10，从而求得方程的解为．求原方程的解．（此处不作答）
通关三步
（1）将错纠错
依据“去分母时方程左边的1没有乘10”，可将①仅去分母为：__________②；
（2）数据回代
将代入式子②，求的值；（写过程）
（3）方程消参
将的值代入①解方程．（写过程）