专题23 一元一次方程的解法-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

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第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：8大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 等式的性质
性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；
性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．
知识点02 一元一次方程的解法
1.合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用.
2.移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项.
3.去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号.
4.去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数.
【注意】：（1）移项的时候注意变号；
（2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号.
知识点03 一元一次方程的同解方程
如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值.
【题型1 等式的基本性质】
例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）运用等式性质进行的变形，正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质，性质1：等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；性质2：等式两边同时乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，根据对应性质逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：A、若，当时，，原变形错误，不符合题意；
B、若，则，原变形正确，符合题意；
C、若，则，原变形错误，不符合题意；
D、若，则，原变形错误，不符合题意；
故选：B．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·全国·课后作业）已知等式，下列变形不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的性质．熟练掌握等式的性质是解题的关键．
根据等式的性质对各选项判断作答即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴A、B、C正确，故不符合要求；D错误，故符合要求；
故选：D．
2.（24-25七年级上·全国·课后作业）下列等式变形正确的是（ ）
A．如果，那么B．如果，那么
C．如果，那么D．如果，那么
【答案】A
【知识点】等式的性质
【分析】本题主要考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
根据等式的基本性质，逐项判断，即得．
【详解】解：A、，
等号两边都减y加3，
得，
故本选项正确，
符合题意；
B、，
当时，，
故本选项错误，
不符合题意；
C、，
当时，
，
故本选项错误，
不符合题意；
D、，
两边都乘以2，
得，
故本选项错误，
不符合题意．
故选：A．
3.（23-24七年级上·天津·期中）下列说法错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的性质
【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可求解，掌握等式的基本性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”可得，
∴正确，不符合题意；
、∵，当时，根据等式的基本性质：“等式两边同时除以同一个不为的数，两边仍然相等”，可得；当x=0时，，可得x=0，
∴x=0或，
∴错误，符合题意；
、∵，根据等式的基本性质：“等式两边减去同一个数，两边仍然相等”，可得，
∴正确，不符合题意；
、∵，根据等式的基本性质：“等式两边乘以同一个数，两边仍然相等”，可得，
∴正确，不符合题意；
故选：．
【题型2 解一元一次方程--合并同类型与移项】
例题：（23-24七年级上·江西宜春·期中）解方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查解一元一次方程的解法；解一元一次方程常见的过程有去括号、移项、系数化为1等．
（1）先移项、合并同类项，然后化未知数的系数为1；
（2）先去移项、合并同类项；最后化未知数的系数为1．
【详解】（1）移项得，
合并同类项得；
（2）移项得，
合并同类项得，
系数化为1得．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·四川凉山·期中）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题概念．
（1）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程；
（2）依次移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：；
（2）解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化1得：．
2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．
（1）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可；
（2）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可；
（3）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可；
（4）根据移项、合并同类项、未知数的系数化为的步骤求解即可．
【详解】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
3.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了解一元一次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）（2）（3）先移项，合并同类项，再系数化1，据此即可作答．
（4）先去分母，移项，合并同类项，据此即可作答．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得；
（2）解：
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得；
（3）解：
移项，得，
合并同类项，得，
系数化1，得；
（4）解：
去分母，得
移项，得，
合并同类项，得，
【题型3 解一元一次方程--去括号】
例题：（2024七年级上·全国·专题练习）解方程
(1)；
(2)；
(3)
【答案】(1)；
(2)；
(3)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题主要考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键；
（1）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可．
（2）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可．
（3）根据去括号，合并同类项与移项，化系数为1计算即可．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
；
（3）解：，
去括号得：，
移项得：，
合并得：，
化系数为1得：．
【变式训练】
1.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为1，根据步骤求解各题即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
．
2.（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤及注意事项是解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可；
（2）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可；
（3）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可；
（4）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1的步骤解方程即可．
【详解】（1）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
（2）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
（3）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
（4）
去括号得，
移项合并同类项得，
系数化为1得，
3.（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：
(1)
(2)
(3)
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程；
（1）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
（2）去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
（3）逐步去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求解；
掌握解方程的步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：，
，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
．
【题型4 解一元一次方程--去分母（整数）】
例题：（23-24七年级上·四川遂宁·期末）解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程，即可求解．
【详解】解：
去分母，
去括号，
移项，合并同类项，
化系数为1，．
【变式训练】
1.（23-24七年级上·福建泉州·阶段练习）解方程∶
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解；
【详解】解：
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，．
2.（23-24七年级上·天津·期末）解方程：
(1)； (2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法和步骤是解题关键．
（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求解即可．
【详解】（1）解：，
去分母，得 ，
去括号，得 ，
移项，得 ，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ．
3.（23-24七年级下·重庆·开学考试）（1）解方程：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键．
（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次方程即可求解．
【详解】解：（1），
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
化系数为1得，；
（2），
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
合并同类项得，，
化系数为1得，．
【题型5 解一元一次方程--去分母（小数）】
例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）解方程：
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可解决．
【详解】解：，
原方程化为：，
去分母，得：，
去括号得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得．
【变式训练】
1.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向形式转化．先化整，然后根据去分母、去括号、移项、合并同类项、未知数的系数化为1的步骤求解即可．
【详解】解：，
方程整理得：，
去分母得：，
移项合并得：，
解得：．
2.（2024七年级上·全国·专题练习）解方程：；
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，解含绝对值的方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键；去分母，去括号，移项、合并同类项即可；
【详解】解：，
整理得：，
去分母得：，
去括号得：，
∴，
解得：；
3.（24-25七年级上·重庆·阶段练习）解方程
(1) (2)
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键．
（1）根据比例的基本性质可得，即可求解；
（2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可．
【详解】（1）解：，
∴，
∴，
解得：；
（2）解：，
∴，
∴，
∴，
解得：．
【题型6一元一次方程的错解复原问题】
例题：（23-24七年级上·宁夏银川·期末）下面是小彬同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
．
，（第一步）
，（第二步）
，（第三步）
，（第四步）
．（第五步）
(1)任务一：填空．
①以上求解步骤中，第一步的依据是________________________．
②第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是_____________________．
(2)任务二：请直接写出该方程的解．
【答案】(1)①等式的基本性质（等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立）；②二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查的是解方程，熟练掌握解方程的步骤是解题关键．
（1）①根据去分母的步骤进行分析，即可得到答案；
②根据解方程的步骤进行分析，即可得到答案；
（2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解方程．
【详解】（1）解：①第一步为去分母，依据是等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立，
故答案为：等式两边同时乘以一个不为0的数，等式仍然成立；
②第二步开始出现错误，
原因是：括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号，
故答案为：二；括号前是负号，去掉括号后，括号里的第二项没有变号；
（2）解：
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化1，得：．
【变式训练】
1.（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程的解答过程．
解：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得．
(1)圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程；
(2)请尝试解方程．
【答案】(1)有错误，见解析
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】（1）去分母的时候方程的右边没有乘上6，去括号后，两个括号的后一项漏乘，更正后再根据解一元一次方程的基本步骤进行解题，即可作答．
（2）根据解一元一次方程的基本步骤可得答案．
本题考查了解一元一次方程，能正确根据等式的性质进行变形是解此题的关键．
【详解】（1）解：圆圆的解答过程错误，正确的解答过程如下：
，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得；
（2）解：，
，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
系数化1得．
2.（23-24七年级下·吉林长春·期末）下面是小明同学解一元一次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务．
解方程：
解：______，得 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项，得 第四步
方程两边同除以2，得 第五步
(1)以上求解步骤中，第一步进行的是______；
(2)以上求解步骤中，第______步开始出现错误；
(3)请写出正确解方程的过程．
【答案】(1)去分母
(2)三
(3)见解析
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤，等式的基本性质是解题的关键．
（1）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（2）根据解一元一次方程的步骤解答即可；
（3）按照解一元一次方程的步骤进行计算即可．
【详解】（1）解：以上求解步骤中，第一步进行的是去分母，
故答案为：去分母；
（2）解：以上求解步骤中，第三步开始出现错误，具体的错误是移项时没有变号，
故答案为：三；
（3）解：
两边同乘6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
两边同除以2，得．
3.（2024·宁夏吴忠·一模）以下是小明解方程的解答过程．
解：去分母，得第一步
去括号，得第二步
移项，得第三步
合并同类项，得第四步
(1)以上过程中是从第______步开始出错的．
(2)第一问中出现错误的原因____________．
(3)写出这个方程的正确解答过程．
【答案】(1)一
(2)去分母的时候方程右边没有乘以6
(3)，过程见解析
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程：
（1）观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6；
（2）由（1）可得答案；
（3）按照去分母，去括号，移项，合并同类项的步骤解方程即可．
【详解】（1）解：观察解题过程可知，以上过程中是从第一步开始出错的，原因是在去分母的时候方程右边没有乘以6；
故答案为：一；
（2）解：由（1）得出现错误的原因为去分母的时候方程右边没有乘以6，
故答案为：去分母的时候方程右边没有乘以6；
（3）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：．
【题型7 利用一元一次方程同解问题求解】
例题：（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知方程与方程的解相同，则的值为 ．
【答案】
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查解一元一次方程，解决本题的关键是要熟练掌握解一元一次方程的解法．根据解一元一次方程的一般步骤，可得的解，把解代入方程，解方程可得答案．
【详解】解：
解得：，
∵方程与方程的解相同，
∴把代入得：，
解得：．
故答案为：
【变式训练】
1.（23-24六年级上·山东泰安·期末）若方程与的解相同，则a的值为 ．
【答案】8
【知识点】方程的解、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查同解方程，先求出方程的解，将其代入中，求出a的值即可．
【详解】解：∵，
∴，
把代入，得：，
解得：；
故答案为：8．
2.（23-24七年级上·全国·单元测试）若关于的方程和有相同的解，则 ．
【答案】/
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题考查了方程的解的定义，已知条件中涉及到方程的解，把方程的解代入原方程，转化为关于字母系数的方程进行求解．可把它叫做“有解就代入”． 解方程，把方程的解代入即可得到一个关于m的方程，从而求得m的值．
【详解】解：解方程得：，
把代入方程得：，
解得：．
故答案为：．
3.（23-24七年级下·福建泉州·期中）若方程的解与关于x的方程的解相同，则a的值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了方程的解和一元一次方程的解法，分别解出两方程的解，然后让它们的解相等，即可求得的值．掌握解一元一次方程是解答本题的关键．
【详解】解：，
去分母得，
去括号，
移项合并得，
解得得，
解，
移项合并得：，
解得，
由题意得：，
解得．
故答案为：．
【题型8 一元一次方程整数解问题】
例题：（23-24七年级上·江苏扬州·期末）若关于的方程的解为正整数，整数的值是 ．
【答案】2或3或4或7
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】首先解方程表示出的值，然后根据解为正整数求解即可．本题主要考查方程的解和解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．
【详解】解：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
关于的方程的解为正整数，
为正整数，
或或或
或或或．
故答案为：2或3或4或7
【变式训练】
1.（23-24七年级下·河南洛阳·期末）若关于的方程的解为正整数，则所有满足条件的整数的值为 ．
【答案】，0和1
【知识点】方程的解、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据，即可得到答案．
【详解】解：，
，
，
，
要为的倍数，
或或．
故答案为：，0和1．
2.（23-24七年级下·重庆·期中）关于的一元一次方程的解为整数，则所有整数的和为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】此题考查了一元一次方程的解，方程去分母，去括号，移项合并，把的系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为整数，确定出整数的值即可．
【详解】解：
解为整数，
或或或，
则所有整数的和为，
故答案为：．
3.（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）已知关于的方程的解是非负整数，则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程——拓展
【分析】本题考查了一元一次方程的解．先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非整数得出m的值，进而得出答案．
【详解】解：，
∴，
∴，
∴，
方程的解是非负整数，
∴为1或2或5或10，
的值为或或或4，
∴，
故答案为：．
一、单选题
1．（24-25七年级下·山西临汾·期中）若代数式与的值互为相反数，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【知识点】相反数的应用、解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查相反数的性质，解一元一次方程，根据相反数的性质得到，解方程即可解答．
【详解】解：∵代数式与的值互为相反数，
∴，
解得．
故选：A
2．（24-25七年级下·福建漳州·期中）下列等式变形错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】B
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题考查的是等式的变形，掌握等式的基本性质是解决此题的关键．根据等式的基本性质逐一判断即可．
【详解】A．若，则，原变形正确，不符合题意；
B．若，则或0，原变形错误，符合题意；
C．若，则，原变形正确，不符合题意；
D．若，则，原变形正确，不符合题意；
故选：B．
3．（24-25六年级下·山东泰安·期中）下列变形正确的是（ ）
A．由，移项得
B．由，去括号得
C．由，去分母得
D．由，系数化为1得
【答案】B
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、等式的性质2
【分析】此题考查了解一元一次方程，以及等式的性质，熟练掌握等式的性质是解本题的关键．
根据各方程变形得到结果后，依次判断即可．
【详解】解：A、由，移项得，不符合题意；
B、由，去括号得，符合题意；
C、由，去分母得，不符合题意；
D、由，系数化为得，不符合题意．
故选：B．
4．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）解方程时，把分母化成整数，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】此题考查了解一元一次方程的一般步骤，解题的关键是熟练掌握利用分数的性质把分母化为整数．根据题意直接根据分数的基本性质，即可得出答案．
【详解】解： ，
把分母化成整数，得：，
即．
故选：B
5．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）小林在解方程去分母时，方程右边的漏乘了，因而求得方程的解为，原方程的正确解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，解一元一次方程，把代入去分母时漏乘的方程，即可求出a的值，再解正确的方程即可．
【详解】解：方程右边的漏乘了6，方程化为，
，
把代入，得
，
解得，
所以原方程为
去分母得，，
去括号得，，
移项得，，
解得：，
故选：B．
6．（24-25六年级下·山东烟台·期中）用“※”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定．例如：．若，则x的值为（ ）
A．B．C．1D．2
【答案】A
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号
【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是掌握一元一次方程的解法．已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x的值．
【详解】解：，
即，
去括号得：，
移项合并得：，
解得：，
故选：A．
二、填空题
7．（2025·河南周口·二模）若，则 （填“”“”或“”）．
【答案】
【知识点】等式的性质2
【分析】本题考查了等式的基本性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．
根据等式的基本性质，“等式两边乘同一个数，结果仍相等”，可得结论．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
8．（24-25七年级下·四川内江·期中）如果的解与的解相同，则a的值是 ．
【答案】4
【知识点】已知一元一次方程的解，求参数
【分析】先求的解，得到方程的解，代入计算即可．
本题考查了解方程，根据方程的解求值，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】解：解方程，
解得，
∵的解与的解相同，
∴方程的解为，
∴，
故答案为：4．
9．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）已知方程的解比关于的方程的解大5，则k的值为 ．
【答案】
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母、已知方程的解，求参数
【分析】本题主要考查了解一元一次方程、一元一次方程的解，熟练掌握方程解的定义和解一元一次方程的步骤是解题的关键．
先求出方程的解为，易得的解为，然后代入得到关于k的方程求解即可．
【详解】解：解方程得，
∵方程的解比关于的方程的解大5，
∴方程的解为．
将代入方程得到，
∴，解得．
故答案为：．
10．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）若关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解为 ．
【答案】
【知识点】一元一次方程解的关系
【分析】本题考查了一元一次方程的解，设，则方程的可变为，即，进而根据关于的一元一次方程的解为，可得，即得，据此解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键．
【详解】解：设，则方程的可变为，
即，
∵关于的一元一次方程的解为，
∴关于的一元一次方程的解为，
∴，
∴，
故答案为：．
11．（24-25七年级下·福建漳州·期中）已知为整数，若关于的方程的解为正整数，则满足条件的所有的值是 ．
【答案】或/1或
【知识点】已知一元一次方程的解，求参数
【分析】本题主要考查一元一次方程的解，熟练掌握运算法则是解题的关键．将原方程化为关于的一元一次方程，然后根据“关于的方程的解为正整数”求出所有情况，即可得到答案．
【详解】解：，
，
关于的方程的解为正整数，
且要为的倍数，
∵为整数，
或．
故答案为：或．
12．（24-25七年级上·江西鹰潭·阶段练习）若输入正整数x的值，按图中程序计算，输出结果是71，则满足条件的x的值为 ．
【答案】26或11或6
【知识点】程序流程图与代数式求值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】本题主要考查的是代数式求值和一元一次方程的应用，根据题意列出关于x的方程是解题的关键．根据题意分别列出方程，求解后若x为正整数，则满足要求，至解得方程的解不为正整数则停止．
【详解】解：当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
当时，解得；
∵x为正整数，
∴满足条件的x的值为26或11或6．
故答案为：26或11或6．
三、解答题
13．（24-25七年级下·山东威海·期中）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】（1）按照解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，进行计算即可解答；
（2）先根据分数的性质，将方程化简，再按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1的步骤求解即可．
本题考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解题步骤．
【详解】（1）解：
去分母得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：；
（2）解：
∴，
去分母，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
系数化为1，得：．
14．（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）已知：， 试比较和的大小，并说明理由．
将下面的解题过程补充完整．
解：_______，
理由如下：
，
_______（不等式的基本性质2）．
_______（不等式的基本性质1）．
【答案】＜；；
【知识点】等式的性质1、等式的性质2
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键．
利用不等式的基本性质进行分析解答即可．
【详解】解：，理由如下：
，
（不等式的基本性质2）．
（不等式的基本性质1）．
15．（24-25六年级下·黑龙江绥化·阶段练习）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（二）——去括号、解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的方法和步骤成为解题的关键．
（1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（2）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（3）先化简，再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可；
（4）先将方程中的分数化成整数，然后再按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解答即可．
【详解】（1）解：，
，
，
，
．
（2）解：，
，
，
，
，
．
（3）解：，
，
，
，
，
，
，
．
（4）解：，
，
，
，
，
．
16．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）解下列方程：
(1)；
(2)；
(3)．
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查一元一次方程的解法，正确掌握一元一次方程的解法与步骤是解题关键．
（1）移项、合并同类项，系数化1即可；
（2）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可；
（3）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可；
（4）去分母，去括号，移项、合并同类项，系数化1即可．
【详解】（1）解：，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得；
（2）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1，得；
（3）解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（4）解：，
乘2得：，
乘3得：，
移项、合并同类项得：，
乘4得：，
，
．
17．（24-25七年级下·河南南阳·期中）补全下列解方程过程，并在后面的括号内填写变形依据．
解：原方程可变形为．（①__________________）
去分母，得②______．（③__________________）
去括号，得．（④__________________）．
（⑤______），得．（⑥__________________）
（⑦__________________）得．（合并同类项法则）
将未知数的系数化为1，得⑧______．（⑨__________________）
【答案】见解析
【知识点】解一元一次方程（三）——去分母
【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题关键是利用分数的基本性质将方程的系数化为整数．
先将原方程化为整系数方程，再利用一元一次方程的一般解法求解．
【详解】解：原方程可变形为（①分数的性质）
去分母，得②6（③等式的基本性质2）
去括号，得（④乘法分配律与去括号法则）
（⑤移项），得（⑥等式的性质1）
（⑦合并同类项）得．（合并同类项法则）
将未知数的系数化为1，得⑧（⑨等式的基本性质2）．
18．（24-25六年级下·黑龙江大庆·期中）已知关于x的方程是一元一次方程．
(1)求k的值．
(2)若关于x的方程与方程的解相同，求m的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】判断是否是一元一次方程、一元一次方程解的关系
【分析】本题主要考查了一元一次方程，一元一次方程方程的解，
（1）根据一元一次方程的定义计算即可；
（2）解方程并将其解代入一元一次方程的具体形式，得到关于m的一元一次方程并求解即可．
【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程，
∴，
∴.
∵，
∴，
∴；
（2）解：关于x的方程是一元一次方程，
解方程，
解得，
将代入，
得，
解得．
19．（24-25七年级下·福建漳州·期中）规定：若关于的一元一次方程的解满足，则称该方程是“平均值方程”．例如：方程的解为，而，则该方程是“平均值方程”．请根据上述规定解答下列问题：
(1)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求的值；
(2)若关于的一元一次方程是“平均值方程”，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，代数式求值，解题关键是理解已知条件中的新定义的含义．
（1）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于的方程，解方程求出即可；
（2）先求出方程的解，再根据已知条件中的新定义，列出关于，的等式，求出，再代入所求式子进行计算即可．
【详解】（1）解： ，
解得：，
关于的一元一次方程是“平均值方程”，
，
，
，
；
（2）解：，
解得：，
关于的一元一次方程是“平均值方程”，
，
，
，
，
．
20．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）定义：关于的方程与方程（均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
(1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则___________．
(2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求的值．
(3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
【分析】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键．
（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；
（3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．
【详解】（1）解：∵与方程互为“反对方程”，
∴，
故答案为：-5．
（2）∵关于的方程与方程互为“反对方程”，
即与互为“反对方程”，
（3）的“反对方程”为，
由得，，
由，得，
由条件可知与都为整数，也为整数，
当时，，都为整数，
当时，，都为整数，
的值为．