专题21 多边形和圆的初步认识-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

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析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：6大核心考点精准练
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串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点01 多边形
三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，它们都是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形.
【说明】（1）内角：多边形相邻两边组成的角叫多边形的内角.
（2）外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角.
（3）连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.
（4）各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，所以正多边形同时具有各边相等，各角相等的性质.
知识点02 多边形的对角线
知识点03 圆及扇形
1. 圆的定义
如图，在一个平面内，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆，固定的端点叫做圆心，线段OA叫做半径.
注意： ①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不可. ②圆是一条封闭曲线.
2.与圆有关的计算：圆的周长公式：；圆的面积公式：.
3.扇形
（1）圆弧：圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作AB，读作“圆弧AB”或“弧AB”. 如下图：
（2）扇形的定义：如上图，由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形.
注意：圆可以分割成若干个扇形.
（3）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角. 如上图，∠AOB是圆的一个圆心角，也是扇形OAB的圆心角.
【题型1 多边形的概念与分类】
例题：下列图形中，不是多边形的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1.如图所示的图形中，属于多边形的有（ ）
A．3个B．4个C．5个D．6个
2.下列判断：（1）各边长相等的多边形是正多边形；（2）各角都相等的多边形是正多边形；（3）等边三角形是正多边形：（4）长方形是正多边形．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【题型2 多边形对角线的条数问题】
例题：（23-24七年级下·江苏泰州·阶段练习）从十边形的一个顶点画这个多边形的对角线，最多可画 条．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）六边形的内角和为 ，外角和为 ，它共有 条对角线．
2．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）八边形从一个顶点出发可以画a条对角线，将这个八边形分成b个三角形，则 ．
【题型3 多边形截角后的边数问题】
例题：（23-24八年级上·青海西宁·阶段练习）一个四边形截去一个角后，所形成的一个新多边形的边数是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·四川绵阳·阶段练习）若一个多边形截去一个角后，得到的新多边形为十五边形，则原来的多边形边数为 ．
2．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是 边形．
【题型4 对角线分成三角形个数问题】
例题：从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成5个三角形，则这个多边形的边数是（ ）
A．5B．6C．7D．8
【变式训练】
1.要使得一个多边形具有稳定性，从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点转化得到2023个三角形，则这个多边形的边数为（ ）
A．2021B．2025C．2024D．2026
2.（1）从四边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将四边形分成 个三角形，四边形共有 条对角线；
（2）从五边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将五边形分成 个三角形，五边形共有 条对角线；
（3）从六边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将六边形分成 个三角形，六边形共有 条对角线；
（4）从n边形的一个顶点出发，可以引 条对角线，将n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线．
3.从一个多边形一边上的一点（不是顶点）出发，分别连接这个点与各个顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，请你观察下图，并完成后面的填空.
当多边形的边数是4时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是5时，可以把多边形分割成_______个三角形；
当多边形的边数是6时，可以把多边形分割成_______个三角形；
……
你能看出多边形边数与分割成的三角形的个数之间有什么规律吗？
【题型5 圆的周长和面积问题】
例题：如图，一块四边形绿化园地，四角都做有半径为R的圆形喷水池，则这四个喷水池占去的绿化园地的面积为（ ）

A．B．C．D．不能确定
【变式训练】
1.滚铁环有助于提高人体的平衡性、肢体的协调性以及眼力，可以提高四肢活动能力．如图，直径为4分米的铁环从原点O沿数轴滚动一周（无滑动）到达点，则 分米．

2.如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么 先到达B地

3.如图，大蚂蚁沿着大圆爬一圈，小蚂蚁沿着两个小圆各爬了一圈．谁爬的路程长？请通过计算说明．
【题型6 求圆心角的底数】
例题：（24-25七年级上·陕西西安·期末）若将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角度数比为，则最小的扇形的圆心角为（ ）
A．B．C．D．
【变式训练】
1．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个圆分成三个扇形A，B，C，它们的面积之比为，则面积最小的扇形的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
2．（2024七年级上·全国·专题练习）将一个圆分割成A、B、C三个扇形，若A，B，C三个扇形的面积比是，则扇形B的圆心角的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．（2024七年级上·全国·专题练习）将如图所示的一个圆分割成四个扇形，这四个扇形的圆心角的度数比为．
(1)求这四个扇形的圆心角的度数；
(2)若圆的半径为，请分别求出这四个扇形的面积．
一、单选题
1．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）下列图形中，不是凸多边形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（24-25八年级下·陕西西安·阶段练习）若一个n边形从一个顶点最多能引出4条对角线，则n的值为（ ）
A．8B．7C．6D．5
3．（2025·河北沧州·模拟预测）用一张长方形纸片，把一个正多边形按如图所示摆放，则正多边形纸片的边数为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）从一个边形的同一个顶点出发，连接对角线，若这些对角线把这个多边形分割成个三角形，则的值是（ ）
A．B．C．D．
5．（2025·河北唐山·二模）七巧板是中国古代人民创造的益智玩具.如图，用一副七巧板拼出了“灵蛇开运”图.若七巧板中的那两块最大等腰直角三角形的直角边的长为，则拼出右边的“灵蛇开运”图的面积是（ ）
A．2B．4C．8D．16
6．（2025·山东东营·一模）司南是我国古代辨别方向用的一种仪器． 其早在战国时期就已被发明，是现在所用指南针的始祖． 如图，司南中心为一圆形，圆心为点O，直径为20，根据八个方位将圆形八等分（图2中点），过点E作的切线与的延长线交于点M，连接． 相邻两个方位间所夹的圆心角度数为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．（2024七年级上·全国·专题练习）一个圆中有三个扇形甲、乙、丙，其中甲、乙所占圆的总面积的百分比如图所示，那么扇形丙的圆心角是 ．
8．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）过一个多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成2025个三角形，则这个多边形的边数为 ．
9．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，一段公路的转弯处是一段圆弧，则扇形的面积为 ．（结果保留）
10．（24-25七年级上·山东济南·期末）数学课上，小明用土豆做了一个长方体模型．他用一个平面去截该模型，截面的形状如图所示，这个截面共有 条对角线．
11．（24-25七年级上·四川成都·期末）在研究多边形的几何性质时，我们常常把它分割成三角形进行研究．从九边形的一个顶点引对角线，最多把它分割成三角形的个数为 ．
12．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形．
（1）根据以上多边形的边数与分割成三角形的个数之间的规律，猜测边形可以分割三角形的个数是 ；
（2）若已知一个多边形，按以上方法可分割成120个小三角形，则多边形的边数 ．
三、解答题
13．（2024七年级上·全国·专题练习）学科素养•推理能力 如图，用三种方法分割五边形．
(1)三种分割方法把多边形分成的三角形的个数与多边形的边数有没有关系？若有关系，具体是什么关系？
(2)若是边形，请分别写出用上述三种方法分割所得三角形的个数．
14．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）小明在自主探究多边形的边数与多边形的对角线条数的关系过程中，记录的数据如下：
(1)直接写出过边形的每一个顶点有几条对角线（用含的式子表示）；
(2)多边形的对角线条数随着多边形的边数（为正整数）的变化而变化．请你用含的式子表示；
(3)直接写出十二边形的对角线的条数．
15．（22-23七年级上·湖北宜昌·开学考试）“乾隆通宝”是最具代表性的中国古代货币之一，为典型的圆形方孔形态，其钱径（货币直径）一般约厘米，厚厘米，重约克，中间方孔的边长为钱径的四分之一．图是一枚钱径为厘米的“乾隆通宝”钱币．（此题计算过程中圆周率取值均为3）

(1)请你在平面图中用作图的方式标出“乾隆通宝”钱币的中心点O．
(2)请你计算出平面图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
(3)若将钱币绕过中心点O的竖直直线旋转一周（钱币厚度忽略不计），试求方孔旋转后得到的新图形的体积．
16．（2024七年级上·全国·专题练习）观察、探究及应用．
(1)观察如图所示的图形并填空．
一个四边形有 条对角线；
一个五边形有 条对角线；
一个六边形有 条对角线；
一个七边形有 条对角线；
(2)分析探究：由n边形的一个顶点出发，可作 条对角线，多边形有n个顶点，若允许重复计数，共可作 条对角线；
(3)结论：一个n边形有 条对角线；
(4)应用：一个十二边形有多少条对角线？
17．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）如图，是的直径，把分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设，那么的周长，的面积．
(1)探究：①把分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
②把分成三条相等的线段，每个小圆的周长记作，
③把分成四条相等的线段，每个小圆的周长，…
④把分成条相等的线段，每个小圆的周长．
分别求出，，；
(2)类比探究：仿照（1）的探索过程，当把大圆直径平均分成等分时，以每条线段为直径画小圆，求每个小圆的面积与大圆面积之间的关系．
18．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）某校数学兴趣小组为了研究多边形中从一个顶点可以作几条对角线，以及该多边形中对角线的总条数与边数的关系，他们决定从以下图形开始寻找规律．
(1)请在图中画出从点出发的所有对角线；
(2)根据探究，整理得到下面表格：
表格中_____，_____；（用含的代数式表示）
(3)拓展应用：若该校要举办足球比赛，总共有个班级参加比赛，规定每个班级都要和其他班级比赛一次．请问总共要比赛多少场？
名称
三角形
四边形
五边形
六边形
n边形
图示
顶点
3
4
5
6
n
从一个顶点出发的对角线的条数
0
1
2
3
n-3
对角线的总条数
0
2
5
9
分割成三角形的个数
0
2
3
4
n-3
多边形的边数
3
4
5
6
对角线的条数
0
2
5
9
多边形的边数
4
5
6
7
8
……
n
从一个顶点出发的对角线的条数
1
2
3
4
5
……
a
多边形对角线的总条数
2
5
9
14
20
……
b