复习专题05 一元一次方程（4重点串讲+13考点提升+过关检测）-【寒假自学课】2025年七年级数学寒假提升精品讲义（人教版2024）

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知识点1： 一元一次方程的基础
方程的定义：含有未知数的等式叫做方程.
方程的判断条件：①等式；②方程.
一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），且未知数的次数都是1，这样的整式方程叫一元一次方程.
一元一次方程的标准形式：ax+b=0（a、b是常数，且a≠0）.
方程的解：能使方程两边的值相等的未知数的值叫做方程的解.
解方程：求方程的解得过程叫做解方程.
知识点2： 等式的性质
等式的性质1：等式的两边都加上(或减去)同一个数（或同一个式子），所得的结果仍是等式.即：
如果a=b，那么a±c=a±c
等式的性质2：等式两边都乘以同一个数，或都除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果a=b，那么ac = bc； 如果 a=b(c≠0)，那么 ac = bc
等式的性质3：如果a=b，则b=a （对称性）
等式的性质4：如果a=b，b=c，则a=c （传递性）
【易错易混】
1）利用等式的性质进行变形时，等式两边都要参加运算，而且是同一种运算.
2）等式两边同时除以一个字母时，字母不能为0，若题目没有注明该字母不为0，那么这个变形就不成立.
知识点3： 解一元一次方程
基本思路：通过适当的变形，把一元一次方程化简为ax=b（a、b为常数，且a≠0）的形式，得出方程的解为x=ba.
【补充说明】
1）解具体的一元一次方程时，要根据方程的特点灵活安排解题步骤，甚至可以省略某些步骤，有分母的去分母，有括号的去括号.
2) 对于分母中含有小数的一元一次方程．当分母中含有一位小数时，含分母项的分子、分母都乘10，化分母中的小数为整数；当分母中含有两位小数时，含分母项的分子、分母都乘100．
知识点4： 一元一次方程与实际应用
用一元一次方程解决实际问题的一般步骤：
审：审清题意（注意关键词），找出题中的等量关系，理清题中的已知量与未知量；
设：设未知数，并用含未知数的代数式表示其他未知量；
①设直接未知数：一般情况下，题中问什么就设什么；
②设间接未知数：特殊情况下，设直接未知数难以列出方程时，可设另一个相关的量为未知数；
③设辅助未知数：在某些问题中，为了便于列方程，可以设辅助未知数.
列：根据题中相等关系，列出一元一次方程；
解：解所列出的一元一次方程；
验：检验所得的解是不是所列方程的解、是否符合实际意义（这一步可在草稿纸上完成）；
答：写出答案，包括单位.
考点剖析
【考点1】一元一次方程的定义
1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列方程：①x−2=1x；②3x=11；③x2=5x−1；④y2−4y=3；⑤x+2y=1，其中是一元一次方程的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）已知x=3是关于x的方程2x+a=0的一个解，则a的值是（ ）
A．−4B．−5C．−6D．−7
【考点2】已知一元一次方程的解求参数或代数式的值
3．（24-25七年级上·广东东莞·期中）若方程a−3xa−3−7=0是关于x的一元一次方程，则a等于
4．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）已知x=2是关于x的方程3x−m=x+2n的解，则式子12m+n+2022的值为 ．
5．（2024七年级上·全国·专题练习）已知3am−1b2与4a2bn−1是同类项，判断x=m+n2是否是方程2x−6=0的解．
【考点3】等式的性质
6．（2024七年级上·浙江·专题练习）利用等式的基本性质解方程：
(1)−2x=−3x+53；
(2)56=3x+32−2x；
(3)3x+4=x；
(4)23m−7=1；
(5)3y−7−6y=−8；
(6)7.9x+1.58+2x=7.9x−8.42．
7．（2024七年级上·浙江·专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明变形是根据等式的哪一条性质以及是怎样变形的．
(1)如果−x10=y5，那么x= ，根据 ；
(2)如果−2x=2y，那么x= ，根据 ；
(3)如果23x=4，那么x= ，根据 ；
(4)如果 x=3x+2，那么x= ，根据 ．
【考点4】解一元一次方程
8．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）解方程：
(1)x−3x+1−1=2x
(2)5x+43+x−14=2−5x−512
9．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）解下列方程
(1)4x−32−4x=26
(2)x+x−32=3−2x−13
(3)x−10.2−2x+10.5=1
10．（23-24七年级上·贵州遵义·阶段练习）方程3(2x−1)+2(1−2x)=2(2x−1)+3可以有多种不同的解法，观察此方程，设2x−1=y．
(1)原方程可变形为3y−2y=2y+3，解方程得：y= ，从而可得 x= ．
(2)上述解法所用到的数学思想是 ．
(3)利用上述方法解方程：2x−2−23x−2=52−x−3x+2
11．（2024七年级上·全国·专题练习）若单项式2a3bm+1与−3anb3是同类项，求关于x的方程3mx−2n3−2x=mn的解．
【考点5】以注重过程性学习的形式考查一元一次方程
12．（2024·浙江杭州·一模）某同学解方程−的过程如下框：
请写出解答过程中最早出现错误的步骤序号，并写出正确的解答过程．
13．（2024七年级上·全国·专题练习）同学们，你们知道怎样解“绝对值方程4x=5”吗？我们可以这样考虑：因为5=5，−5=5，所以有4x=5或4x=−5，分别解得x=54或x＝−54，根据以上解法，求方程−3x+2=8的解．
14．（24-25七年级上·福建福州·期中）在学习《求解一元一次方程》之后，老师在黑板上出了一道解方程的题，下面是小乐同学的解
题过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
填空：
(1)以上解题过程中，第一步的变形的依据是__________；第二步去括号时依据的运算律是__________；
(2)以上解题过程中从第_________步开始出现错误，这一步错误的原因是__________；
(3)求该方程的正确解．
15．（24-25七年级上·广西贺州·期中）下面是小明解方程2x−14=1−3−x8的过程：
解：去分母，得2(2x−1)=8−(3−x)，（第一步）
去括号，得4x−2=8−3+x，（第二步）
移项，得4x+x=8−3−2，（第三步）
全并同类项，得5x=3，（第四步）
系数化为1，得x=35．（第五步）
根据解答过程完成下列任务．
任务一：①上述解答过程中，第一步的变形依据是________________；
②第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________________；
任务二：请你根据平时解一元一次方程的经验，再给其他同学提一条建议：________________；
任务三：请你写出解该方程的正确解题过程．
【考点6】同解方程
16．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）若m−4x2|m|−7−4m=0是关于x的一元一次方程．
(1)求m的值；
(2)若该方程与关于x的方程6−2k=2x+3的解相同，求k的值．
17．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）已知关于x的方程m−x2+m−33=x和32−x=2x+1的解相同，求m的值．
18．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的两个方程4x−a5=5x2+4与1−2x=7−5x，如果两个方程的解相同，求a的值．
【考点7】根据一元一次方程解的情况求参数
19．（2024七年级上·浙江·专题练习）（1）已知关于x的方程2(x+1)=3m+1的解与方程5x+3=−7的解互为相反数，求m的值．
（2）已知关于x的方程5m+3x=x+1的解比关于x的方程m+2x=3m的解大2，求m的值．
20．（2024七年级上·全国·专题练习）已知关于x的方程3x−m2−x+m3=56．
(1)若m=−1，求该方程的解；
(2)若x=5是方程的解，求12m2+2m的值；
(3)若该方程的解与方程x+12=3+x−64的解相同，求m的值；
(4)某同学在解该方程时，误将“56”看成了“65”，得到方程的解为x=1，求m的值；
(5)若该方程有正整数解，求整数m的最小值．
21．（2024七年级上·全国·专题练习）已知方程x3+a=a3x−13x−6．
(1)当a取何值时，方程无解？
(2)当a取何值时，方程有无穷多个解？
(3)当a取何值时，方程有唯一解x=−9？
【考点8】与解一元一次方程有关的遮挡/污染问题
22．（24-25七年级上·山东·期末）小明在做解方程作业时，不小心将方程中的一个常数污染了，导致其看不清楚，被污染的方程是2x−⊗=12x+1，怎么办呢？
(1)小明猜想“⊗”部分是2，请你算一算x的值；
(2)小明翻看了书后的答案，此方程的解是x=1．请你算一算这个常数应是多少．
23．（24-25七年级上·北京·期中）小涵在解关于x的一元一次方程3x−12+□=3时，发现正整数“□”被污染了，于是就去问同学小李，小李也记不清“□”的具体值了，只记得这个方程的解是正整数．小涵经过深入思考，想出了一个好办法，她将“□”设为m，通过计算，很快得到了□的值．你知道她是怎么计算的吗？请你求出□的值．
24．（23-24七年级上·河北承德·期末）嘉淇在解关于x的一元一次方程x+12+⊙=2+2−x4时，发现常数⊙被污染了；
(1)嘉淇猜⊙是−1，请解一元一次方程x+12−1=2+2−x4；
(2)老师告诉嘉淇这个方程的解为x=−4，求被污染的常数⊙．
25．（23-24七年级上·河北廊坊·期中）嘉淇在进行解一元一次方程的练习时，发现有一个方程“3x+7=■−x”中的常数被“■”遮挡．
(1)嘉淇猜想“■”遮挡的常数是1，请你算一算x的值；
(2)老师说此方程的解与方程2x−12=12x+4的解相同，请你算一算“■”遮挡的常数是多少？
【考点9】与解一元一次方程有关的新定义问题
26．（24-25七年级上·全国·期末）定义一种有理数的新运算“£”其运算方式如下∶
2£1=4×2−3×1=5∶
1£−3=4×1−3×−3=13；
−5£−2=4×−5−3×−2=−14；
…
观察上面的运算方式，请解决下列问题
(1)对于任意有理数m，n，m£n= （用含m，n的式子表示）∶
(2)解方程∶3£2£x=4−3x；
(3)若关于x的方程3£ax−1=6a≠0的解为整数，求整数a的值．
27．（24-25七年级上·北京海淀·期中）给定有理数a，b，对整式A,B，定义新运算“⊕”：A⊕B=aA+bB；对正整数nn≥2和整式A，定义新运算“ “⊗”n⊗A=A⊕A⊕⋅⋅⋅⊕An个A（按从左到右的顺序依次做“⊕”运算）．特别地，1⊗A=A．
例如，当a=1，b=2时，若A=x，B=−y，则A⊕B=A+2B=x−2y，2⊗A=A⊕A=3x．
(1)当a=2，b=1时，若A=x+y，B=x−2y，则A⊕B=______，3⊗A=______；
(2)写出一组a，b的值，使得对每一个正整数n和整式A，均有n⊗A=A，并说明理由；
(3)当a=2，b=1时，若A=3x2+7xy，B=2x2−30xy−y2，p,q是正整数，令P=p⊗A，Q=q⊗B，且P⊕Q不含xy项，直接写出p和q的值．
28．（2024七年级上·浙江·专题练习）定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，我们就称这两个方程为“兄弟方程”．如：方程2x=4和3x+6=0为“兄弟方程”．
(1)若关于x的方程5x+m=0与方程2x−4=6是“兄弟方程”，求m的值；
(2)若某“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值．
【考点10】一元一次方程与数轴综合
29．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）数学实验室：点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A、B两点之间的距离AB=a−b．利用数形结合思想回答下列问题：
(1)数轴上数x到原点的距为为4，x可能在原点左边4个单位，此时x的值为______，x也可能在原点右边4个单位，此时x的值为______．
(2)x与3之间的距离表示为______，结合上面的理解，若x−3=2，则x=______．
(3)当x是______时，代数式x−5+|x−2|=7．
(4)当x+3−x−5取最大值时，x的取值范围是______，最大值为______．
(5)若点A表示的数−1，点B与点A的距离是5，且点B在点A的右测，动点P、Q分别从A、B同时出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，求运动几秒后，PQ=1？（请写出必要的求解过程）
30．（24-25七年级上·广东韶关·期中）已知数轴上A，B，C三点对应的数分别为−2、1、5，点P为数轴上任意一点，其对应的数为x．点A与点P之间的距离表示为AP，点B与点P之间的距离表示为BP．
(1)若AP=BP，则x=________；
(2)若AP+BP=8，求x的值；
(3)若点P从点C出发，以每秒2个单位的速度向右运动，点A以每秒1个单位的速度向左运动，点B以每秒3个单位的速度向右运动，三点同时出发．运动过程中，当其中一个点与另外两个点的距离相等时，求这时三个点表示的数各是多少？
31．（24-25七年级上·四川成都·期中）如图，在以点O为原点的数轴上，点A表示的数是6，点B在原点的左侧，且AB=5AO（点A与点B之间的距离记作AB）
(1)则B点表示的数为 ；点C到点A、点B的距离相等，则C点表示的数为 ；
(2)若动点P从O点出发，以每秒3个单位长度的速度匀速向左运动，问经过几秒钟后2PA=3PB，并求出此时P点在数轴上对应的数；
(3)若动点M从A出发，以2个单位长度/秒的速度向B点匀速运动，同时点N从B点出发，以3个单位长度/秒的速度向A点运动；当点M到达B点后，立即以原速返回，到达A点停止运动，当点N到达A点立即以原速返回，到达B点停止运动，设M点的运动时间为t秒，求t为多少时，点M和点N之间的距离是18个长度单位．
32．（24-25七年级上·重庆渝北·期中）如图：在数轴上点A表示数−2，点B表示数1，点C表示数8，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度、1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒（t>0）．
(1)请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题：AC表示点A到点C之间的距离，运动之前，AC的距离为____________，运动t秒后，点A表示的数为____________（用含t的式子表示）；
(2)若t秒钟过后，点C在线段AB之间，且AC−2BC=0，求t值；
(3)当点C在点B右侧时，是否存在常数m，使m⋅BC−AB的值为定值？若存在，求出m和m⋅BC−AB的值；若不存在，请说明理由．
【考点11】列方程
33．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）一根铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去剩下的一半多1米，结果还剩下3米．求这根铁丝原来有多长？设这根铁丝原来的长度为x，可列出方程（ ）
A．x−x2−1−12×x2−1+1=3B．x−x2−1−12×x2+1+1=3
C．x−x2−1−12×x2+1−1=3D．x−x2−1−12×x2−1−1=3
34．（2024七年级上·全国·专题练习）惠怡妈妈在商场购买了x元的东西，结账时发现商场推出一种优惠卡，优惠方案：卡售价50元，购物打八折，惠怡妈妈掐指一算，发现使用优惠卡后可以少付10元．则下面所列方程正确的是（ ）
A．50+0.8x=x−10B．50+0.8x+x=10
C．0.850+x=x−10D．50−0.8x=10x
35．（23-24七年级上·河北石家庄·期末）如图，两根铁棒直立于圆柱形水桶的桶底．一根露出水面的长度是它的13，另一根露出水面的长度是它的15，两根铁棒长度之和为55cm，如果设此时水桶中水的深度是xcm，下列方程符合题意的是（ ）
A．13x+15x=55B．23x+45x=55
C．32x+54x=55D．55−2x=13x+15x
36．（2024七年级上·河南·专题练习）在做科学实验时，老师将第一个量筒（圆柱）中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，可得正确的方程是（ ）
A．π⋅822⋅x=π⋅622⋅x+5B．π⋅8⋅x=π⋅6⋅x+5
C．π⋅822⋅x=π⋅622⋅x−5D．π⋅82⋅x=π⋅62⋅x−5
37．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）某车间有90名工人生产螺丝与螺母，平均每人每天生产50个螺丝或80个螺母，要使每天生产的螺丝和螺母按1:2配套，如果有m人生产螺丝，根据题意可列方程为（ ）
A．80m=2×50×90−mB．2×50m=80×90−m
C．2×80m=50×90−mD．50m=2×80×90−m
【考点12】一元一次方程与实际问题
38．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）(列一元一次方程解决问题)甲、乙两个车站相距240km，一列货车从甲站开出，每小时行驶48km，一列客车从乙站开出，每小时行驶72km．
(1)两列火车同时开出，相向而行，多少小时后两车相遇？
(2)货车从甲站开出1h后，客车从乙站开出，两车同向行驶，客车开出几小时后两车相距48km？
39．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）某校新进了一批课桌椅，七年级（2）班的学生利用活动课时间帮助学校搬运部分课桌椅，已知七年级（2）班共有学生45人，其中男生人数比女生人数的2倍少24人，要求每个学生搬运6张桌子或者搬运15把椅子．请解答下列问题：
(1)七年级（2）班男生、女生分别有多少人？
(2)一张桌子配两把椅子，为了使搬运的桌子和椅子刚好配套，应该分配多少个学生搬运桌子，多少个学生搬运椅子？
40．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）某公司为迎接新年，计划定购一批礼品，现有甲、乙两个工厂可以生产这批礼品，若这两个工厂单独生产这批礼品，则甲工厂比乙工厂多用5天完成，已知甲工厂每天生产240件，乙工厂每天生产360件．
(1)求这批礼品共有多少件？
(2)在礼品生产过程中，该公司每天支付给甲工厂的费用是5000元，每天支付给乙工厂的费用是9000元，公司有两种方案可选择，方案一：由乙工厂单独生产；方案二：甲、乙两个工厂共同生产．请计算两种方案的费用差．
41．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）（1）【情境导入】某服装成本为100元，售价为120元，则利润为 元．
（2）【课本再现】下面是苏教版初中数学教科书七年级上册第129页的部分内容（销售中的盈亏）．
某商店以240元的相同售价卖出两件不同的衬衫，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，商店卖出这两件衬衫是盈利，还是亏损？回答： （填“盈利”、“亏损”或“不赢不亏”）．
（3）【解决问题】七年级实践小组去商场调查，了解到某款羽绒服以每件80元的价格购进了200件，并以每件120元的价格销售了一部分，为回笼资金，商场将剩下的羽绒服在原售价的基础上每件降价40%销售，并全部销售完毕．已知这批羽绒服总利润是5600元，请你算一算降价前共售出多少件？
42．（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）某电视台组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了3个参赛者的得分情况：
(1)由表可知：答对1题得______分，答错1题得______分；
(2)参赛者丁得了88分，他答对了几道题？
(3)参赛者戊说他得了80分，你认为可能吗？为什么？
43．（24-25七年级上·吉林·阶段练习）七年级准备组织学生到某社会实践基地参加社会实践活动，门票为每人20元，由各班班长负责买票．下面是1班班长与售票员咨询的对话：
(1)已知1班学生人数为44，选择了方案一购票，求1班购票需要多少元？
(2)若2班选择了方案二，购票费用为702元，求2班有多少人？
(3)求当人数为多少时，两种方案所需钱数一样．
44．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）将连续的奇数1，3，5；7，9，……排成如图所示：
(1)十字框中5个数之和是41的几倍？
(2)设十字框中间的数为a，用式子分别表示十字框中其它四个数，并求出这五个数的和．
(3)十字框中的五个数之和能等于2000吗？若能，请写出这五个数，若不能，请说明理由．
45．（24-25七年级上·广东江门·期中）把若干宣纸分给七年级优秀绘画爱好者，若每人分3张，则剩余12本，若每人分5张，则缺10张，绘画爱好者有几人？这批宣纸有多少张．
46．（2024七年级上·全国·专题练习）为了倡导节约用水，某市自去年开始实行阶梯水价．具体收费标准如下：每户每月用水量不超过12吨，每吨3.2元；超过12吨的部分，每吨4.6元．
(1)林敏家今年5月用水15吨，他家应付多少元水费？
(2)马老师家5月份共交了84.4元水费，马老师家5月份一共用水多少吨？
47．（24-25七年级上·辽宁沈阳·阶段练习）列一元一次方程解决实际问题．
《九章算术》是我国第一部自成体系的数学专著，其中“盈不足术”记载：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数几何？译文：今有人合伙买金，每人出400钱，剩余3400钱；每人出300钱，剩余100钱．问合伙人数是多少？
48．（2024七年级上·全国·专题练习）《孙子算经》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺．问：几何？译文为：现在有一根木头，不知道有多长，用一段绳子去测量，拉直后绳子还多四尺五寸；将绳子对折后去量木头，木头还剩一尺．问：木头多长？（一尺等于十寸）
【考点13】一元一次方程与几何综合
49．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）【定义】若0°