专题26 数轴上的行程问题-【暑假自学课】2025年新七年级数学暑假提升精品讲义（原卷版+解析版）（北师大版2024）

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1.基本公式运用：利用行程问题的基本公式，如路程=速度×时间。在数轴上，点的运动路程可通过其速度和运动时间来计算，进而确定点在数轴上的位置。
2.数形结合思想：将数轴上点的运动与图形相结合，通过画图直观地分析点的运动过程和位置关系，有助于理解问题和找到解题思路。
3.分类讨论情况：当涉及到两点间的距离、相遇等问题时，要考虑多种情况，如相遇前相距一定距离和相遇后相距一定距离等，避免漏解。
【题型1 数轴上的行程问题之相遇问题】
例题：（24-25七年级上·江苏·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为4，点B是数轴上在点A左侧的一点，且A、B两点间的距离为8，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
（1）数轴上点B表示的数是 ；
（2）运动1秒时，点P表示的数是 ；
（3）动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当点P运动 秒时，点P与点Q相遇．
【答案】（1）
（2）2
（3）8
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了数轴的应用和一元一次方程的应用——行程问题，
（1）由的长、点A表示的数及点B在点A的左侧，可求出点B表示的数；
（2）利用1秒后点P表示的数点A表示的数点P运动的速度运动时间，即可求出结论；
（3）设当运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，由点P与点Q相遇，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：点A表示的数为4，点是数轴上在点A左侧的一点，且A、两点间的距离为8，
点B表示的数为，
故答案为：；
（2）动点从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
运动1秒时，点运动了个单位长度，
此时点表示的数为，
故答案为：2
（3）设当运动时间为t秒时，点P与点Q相遇，
此时点P表示的数为，点Q表示的数为，
由题意得，
解得：，
当运动时间为8秒时，点P与点Q相遇，
故答案为：8．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·浙江温州·期中）如图，点A和B在数轴上分别表示数，，点0为原点．甲、乙两人分别从点A，B同时出发，在线段间往返运动，甲的速度为每秒3个单位长度，乙的速度为每秒2个单位长度．
(1)求点A，B之间的距离．
(2)①经过______秒，甲、乙两人第一次相遇．
②经过______秒，甲、乙两人第二次相遇，此时相遇点在数轴上表示的数为______．
【答案】(1)
(2)①6；②18；
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，一元一次方程的实际应用，正确根据数轴上两点的距离计算公式列出方程求解是解题的关键．
（1）用点B表示的数减去点A表示的数即可得到答案；
（2）①设经过t秒，甲、乙两人第一次相遇，根据第一次相遇时，甲乙所走的路程之和为点A和点B之间的距离列出方程求解即可；②先根据题意推出第二次相遇时，甲第一次从B向A运动，乙第一次从A向B运动，设运动时间为m，根据第二次相遇时甲乙表示的数相同得到方程，解方程即可得到答案．
【详解】（1）解：由题意得，点A，B之间的距离为；
（2）解；①设经过t秒，甲、乙两人第一次相遇，
由题意得，，
解得，
∴经过6秒，甲、乙两人第一次相遇；
②∵甲第一次返回A时需要的时间为，乙第一次到达A的时间为，乙第一次返回B的时间为，
∴第二次相遇时，甲第一次从B向A运动，乙第一次从A向B运动，
设运动时间为m，
由题意得，，
解得，
∴此时相遇点表示的数为，
故答案为：18；．
2．（23-24七年级上·湖北黄石·期末）已知数轴上有、两点，分别表示的数为和，点以每秒个单位的速度沿数轴向右匀速运动，点以每秒个单位向左匀速运动．设运动时间为秒．
(1)运动开始前，、两点的距离为 ；线段的中点所表示的数为 ．
(2)它们按上述方式运动，、两点经过多少秒会相遇，相遇点所表示的数是什么？
(3)当为多少时，线段的中点表示的数为？并直接写出在这一运动过程中点的运动方向和运动速度．
【答案】(1)，
(2)，
(3)；向右，
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算
【分析】本题属于数轴上的动点问题，主要考查了数轴上两点之间的距离，中点的含义，解一元一次方程等知识点，弄清题意，熟练掌握数轴的相关知识是解题的关键．
（1）根据数轴上两点之间的距离以及中点的含义即可求解；
（2）根据题意列方程即可求解；
（3）秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为，于是得到方程，解方程即可求解；根据在这一运动过程中起始时刻和终了时刻点的位置，即可求出点的运动方向和运动速度．
【详解】（1）解：根据题意可知，运动开始前，、两点的距离，
线段的中点所表示的数为：，
故答案为：，；
（2）解：根据题意可得：，
合并同类项，得：，
系数化为，得：，
，，
，
相遇点所表示的数是，
答：它们按上述方式运动，、两点经过秒会相遇，相遇点所表示的数是；
（3）解：秒后，数轴上点、点表示的数分别为、，则线段的中点表示的数为，
依据题意可得：，
去分母，得：，
去括号，得：，
移项，得：，
合并同类项，得：，
当时，中点表示的数为，
当时，中点表示的数为，
中点的运动方向向右，运动速度为，
答：当时，线段的中点表示的数为；在这一运动过程中，点的运动方向向右，运动速度为．
【题型2 数轴上的行程问题之相距问题】
例题：（24-25七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知，、分别在数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为20．
(1)请写出__________；
(2)现在有一只电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁恰好从点出发，以2个单位/秒的速度向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的点相遇，请你求出点对应的数；
(3)若当电子蚂蚁从点出发，以3个单位/秒的速度在数轴上匀速运动，同时另一只电子蚂蚊恰好从点出发，以2单位/秒的速度在数轴上匀速运动，经过多长时间两只电子蚂蚁在数轴上相距35个单位长度．
【答案】(1)
(2)8
(3)或或或1．
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值方程、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离公式求出答案；
（2）设运动时间为t秒，先表示出点P、Q表示的数，再列方程解答；
（3）题干未指明运动方向，需要分不同情况讨论，表示出点P、Q的表达式，再列绝对值方程求解．
【详解】（1）解：∵A 点对应的数为，B点对应的数为20．
∴AB 两点间的距离为，
故答案为：；
（2）设运动时间为t秒，
点Q表示的数是，点P表示的数是，
∴，
解得，
∴点C表示的数是；
（3）设运动t秒，
①若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
②若电子蚂蚊从点出发，向右运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
③若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向左运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
④若电子蚂蚊从点出发，向左运动，电子蚂蚊从点出发，向右运动，
则点P表示的数是，点Q表示的数是，
依题意得：，解得：或（不合题意舍去）
综上所述：或或或1．
【点睛】此题考查了数轴上两点之间的距离公式，列一元一次方程解动点问题，数轴上动点问题，正确理解动点问题是解题的关键．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，已知数轴上点A表示的数为3，B是数轴上在点A左侧的一点，且A，B两点间的距离为6，动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．
(1)数轴上点B表示的数是_________．
(2)动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求：
①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？
②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度？
【答案】(1)
(2)①秒；②或秒
【知识点】用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用等知识．熟练掌握在数轴上表示数，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用是解题的关键．
（1）由题意知，数轴上点B表示的数是，计算求解即可；
（2）①设的运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为，由点P与点Q相遇，可得，计算求解即可；②由题意知，，即或，计算求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，数轴上点B表示的数是，
故答案为：；
（2）①解：设的运动时间为，
∴点表示的数为，点表示的数为，
∵点P与点Q相遇，
∴，
解得，，
∴点P运动秒时，点P与点Q相遇；
②解：由题意知，，
∴或，
解得，或；
∴当点P运动或秒时，点P与点Q间的距离为5个单位长度．
2．（23-24六年级上·山东烟台·期末）如图，数轴上点、之间的距离为20个单位长度，点表示的有理数是8．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．与此同时，动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点以每秒5个单位长度的速度在、之间往返运动．设运动时间为秒．
(1)点表示的数是___________，点表示的数是__________；（用含的代数式表示）
(2)求经过多长时间，、两点相遇？此时点一动运动了多少个单位长度？
(3)求经过多长时间，点到原点的距离是点到原点距离的2倍？
【答案】(1)，；
(2)经过，、两点相遇；点一共运动了10个单位长度；
(3)经过1秒或3.5秒，点到原点的距离是点到原点距离的2倍．
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查数轴，一元一次方程的应用：
（1）根据A位于点B左侧以及两点之间的距离，可直接求出答案；
（2）根据题意列出方程，即为、两点相遇相遇的时间，进而求出路程；
（3）分两种情况：当点在原点左侧、点在原点右侧时，得出，当点和点都在原点左侧且、未相遇时，得出，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：∵数轴上点、之间的距离为20个单位长度，点表示的有理数是8，A位于点B左侧，
∴点A表示的数为，
根据题意得：点表示的数是，
故答案为：，；
（2）由题意得：点表示的数是，
则，
解得：，
答：经过，、两点相遇，
∵，
∴点一共运动了10个单位长度；
（3）当点在原点左侧、点在原点右侧时，
，
解得，
当点和点都在原点左侧且、未相遇时，
，
解得，
所以，经过1秒或3.5秒，点到原点的距离是点到原点距离的2倍．
【题型3 数轴上的行程问题之三点中点问题】
例题：（23-24七年级上·浙江杭州·期末）如图（1），已知A，B为数轴上的两点，点O表示原点，点A表示的数为．动点C从A出发做匀速运动，动点D从B出发做匀速运动．

(1)若动点C向右运动，动点D向左运动，且两点同时出发，它们运动的时间、在数轴上的位置所表示的数记录如下表．请将表格补充完整．
(2)若点D先出发2秒后，点C开始运动，它们以（1）中各自的速度和方向运动，求两点相遇时的位置所表示的数．
(3)如图（2），若动点C，D以（1）中各自的速度同时反方向运动，同一时刻数轴上另有一动点P以恒定速度和方向从点O出发运动．在运动过程中，如果点F为线段的中点，且，试求点P的运动方向和速度．
【答案】(1)，；
(2)；
(3)点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
【知识点】线段中点的有关计算、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】（1）本题考查数轴上两点之间的距离，利用表格得出点C，点D的运动速度，根据距离时间速度，求出距离，即可解题．
（2）本题考查一元一次方程的实际应用，设C点的运动秒后，两点相遇，根据点C的运动距离点D总的的运动距离，建立方程求解，即可得到相遇时间，再推出点C的运动距离，即可解题．
（3）本题考查一元一次方程的实际应用，以及线段中点的定义，设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，表示出，，，根据题意分以下两种情况讨论，①点P向右运动，②点P向左运动，根据以上两种情况通过建立方程求解，即可解题．
【详解】（1）解：由题知，点C向右运动的速度为：个单位/秒，
当时间为2秒时，C点在数轴上的位置所表示的数为：，
点D向左运动的速度为：个单位/秒，
当时间为0秒时，点D在数轴上的位置所表示的数为：，
故答案为：，；
（2）解：由动点D从B出发可知，点B表示的数为，
设C点的运动秒后，两点相遇，
根据题意有：，
解得：，
C点运动的距离为，
两点相遇时的位置所表示的数为：；
（3）解：设点P的运动速度为个单位/秒，运动时间为秒，
下面分情况讨论：
①点P向右运动，
有，，，
点F为线段的中点，
，
，
，整理得，解得，
即点P向右运动，且运动速度为个单位/秒；
②点P向左运动，
有，
，
，整理得，解得（不合题意，舍去），
综上所述，点P向右运动，且运动速度为个单位/秒．
【变式训练】
1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数，，10．甲、乙两人分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒
(1)问甲、乙在数轴上表示有理数________的点相遇；
(2)________秒后甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位．
(3)若甲、乙两人（用P表示甲、Q表示乙）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、P与Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【答案】(1)
(2)2或5
(3)秒或秒或秒
【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用：
（1）先求出点A和点C的距离，再求出运动时间，进而求出相遇的点表示的数即可；
（2）设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位，根据题意分析出甲应在或之间，再分别表示出甲到三点的距离，进而建立方程求解即可；
（3）先求出甲的新速度变为12个单位/秒，设运动时间为x秒，再分①当原点是与两点的中点时，②当是甲与原点两点的中点时，③当是与原点两点的中点时，三种情况根据数轴上两点中点计算公式列出方程求解即可．
【详解】（1）解：秒，
，
∴甲、乙在数轴上表示有理数的点相遇，
故答案为：；
（2）解：设秒后甲到，，三点的距离之和为40个单位，
∵点距，两点的距离为，点距、两点的距离为，点距、的距离为，
∴甲应在或之间．
①当甲在之间时，则
解得；
②当甲在之间时：，
解得；
综上所述，2秒或5秒后，甲到A，B，C三点的距离之和为40个单位；
故答案为：2或5；
（3）∵甲的速度变为原来的3倍，
∴甲的新速度变为12个单位/秒，
设运动时间为x秒
①当原点是与两点的中点时，
依题意得：，
解得，
②当是与原点两点的中点时，
依题意得：，
解得；
③当是与原点两点的中点时，
则依题意得：，
解得，
综上所述，秒或秒或秒后，原点、与三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
2．（23-24七年级下·重庆南岸·开学考试）数轴体现了数形结合的数学思想，请解决下面与数轴相关的问题．
(1)如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为12，则A，B两点之间的距离 ，线段的中点表示的数为 ．找出所有符合条件的整数x，使得成立，这样的整数是 ；
(2)在点A表示的数为，点B表示的数为12的条件下，若点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒（）．求当t为何值时，P，Q两点相遇，并写出相遇点所表示的数；
(3)若点A表示的数，点B与点A的距离是10，且点B在点A的右侧，动点P、Q同时从A、B出发沿数轴正方向运动，点P的速度是每秒3个单位长度，点Q的速度是每秒个单位长度，求运动几秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点？（请写出必要的求解过程）．
【答案】(1)15；；3或
(2)当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为
(3)秒或秒或5秒
【知识点】数轴上的动点问题、绝对值的意义、行程问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算
【分析】（1）根据数轴上两点间的距离公式即可求得A，B两点之间的距离，根据线段中点的定义，即可设元列方程，求出线段的中点表示的数，根据绝对值的几何意义，即可分情况讨论，求得使成立的整数值；
（2）分别求出点P，点Q所对应的数，即可列方程求解；
（3）先求出运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为，再分三种情况讨论，根据线段中点的定义，分别列方程求解．
【详解】（1）；
设线段的中点表示的数为x，
则，
解得；
对于，设点A表示的数为，点B表示的数为2，点P所表示的数为x，则，，
，
点P在点A的左侧或在点B的右侧，
当点P在点A的左侧时，，
，
点P所表示的数为；
当点P在点B的右侧时，，
，
点P所表示的数为3；
综上所述，点P所表示的数为3或；
故答案为：15；；3或．
（2）运动t秒后点P对应的数为，点Q对应的数为，
根据题意得，
解得，
当时，P，Q两点相遇，相遇点所表示的数为；
（3）运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
理由如下：
点A表示的数，点B与点A的距离是10，
点B所表示的数是9，
运动t秒后点P所对应的数为，点Q所对应的数为，
①当B是的中点时，，
，
解得；
②当P是的中点时，则，
，
解得；
③当Q是的中点时，则，
，
解得；
综上所述，运动秒或秒或5秒后，B、P、Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点．
【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离公式，一元一次方程的应用，绝对值的几何意义，线段中点的有关计算,理解题意，利用数形结合的思想列方程求解是解题的关键．
【题型4 数轴上的行程问题之新定义型问题】
例题：（23-24七年级上·浙江宁波·期中）【新知理解】如图①，点C在线段上，图中的三条线段、和．若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“蓝青点”．
（1）填空：线段的中点_________这条线段的“蓝青点”；（填“是”或“不是”）
【问题解决】（2）如图②，点A和B在数轴上表示的数分别是和40，点C是线段的“蓝青点”，求点C在数轴上表示的数．
【应用拓展】（3）在（2）的条件下，动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿向点B匀速运动；动点Q从点B出发，以每秒3个单位长度的速度沿向点A匀速运动．点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，两个点运动同时停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，A、P、Q三点中，其中一点恰好是另外两点为端点的线段的“蓝青点”？（直接写出答案）．

【答案】（1）是；
（2）①若C为中点，则C点表示的数为10；②若，则C点表示的数为20；③若，则C点表示的数为0．
（3），，，，，
【知识点】数轴上的动点问题、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据“蓝青点”的定义可得线段的中点是这条线段的“蓝青点”；
（2）设C点表示的数为x，分三种情况①若C为中点，②若，③若，分别列方程求解即可．
（3）根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．然后分6种情况讨论．相遇前分，，三种情况，相遇后分，，三种情况，分别列一元一次方程求出t的值即可．
【详解】解：（1）∵原线段的长是线段中点分成的短线段的2倍，
∴线段的中点是这条线段的“蓝青点”．
故答案为：是．
（2）设C点表示的数为x，
①若C为中点，即，
则，
解得．
②若，
则，
解得，
③若，
则，
解得．
综上，C点表示的数为10或20或0．
（3）解：根据题意，t秒后，P点对应的数为，Q点对应的数为．
P、Q相遇前，P点是线段的“蓝青点”，则分三种情况：
①，
，
解得．
②，即时，
，
解得．
③，
，
解得，
P、Q相遇后，Q点是线段的“蓝青点”，则分三种情况：
①，
，
解得．
②，即，
，
解得．
③，
，
解得．
【点睛】本题考查了数轴上的动点问题，和一元一次方程解行程问题．正确的用含有t的代数式表示出P、Q所表示的数，掌握分类讨论是解题的关键．
【变式训练】
1．（23-24七年级上·广东惠州·阶段练习）定义：A，B，C为数轴上三点，当点C在线段上时，若点C到点A的距离是点C到点B的距离2倍，我们称点C是的美好点．例如：如图①，点A表示数，点B表示数2，点C表示数1，点D表示数0．点C到点A的距离是2，到点B的距离是1，那么点C是的美好点；又如，点D到点A的距离是1，到点B的距离是2，那么点D就不是的美好点，但点D是的美好点．

如图②，M，N为数轴上两点，点M表示数，点N表示数2．

(1)①求的美好点表示的数为______．
②求的美好点表示的数为______．
(2)数轴上有一个动点P从点M出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点P运动的时间为t秒，当点P为的美好点时，求t的值．
【答案】(1)，
(2)
【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】（1）根据定义，构建方程求解；
（2）根据定义，，结合行程公式构建方程求解；
【详解】（1）解：①令美好点表示的数为x，由题知，
解得，
∴的美好点表示的数为；
②令美好点表示的数为y，由题知，,
解得，
∴的美好点表示的数为；
（2）解：根据题意，得
∴
解得
【点睛】本题考查数轴上两点间的距离表示；根据定义构建方程是解题的关键．
2．（23-24七年级上·湖北武汉·期中）已知，两点在数轴上对应的有理数分别为，，且，满足：．
(1)则________；________；
(2)定义：若点为数轴上，两点之间一点，且到，两点的距离满足：其中一个距离是另一个距离的2倍，则称为，两点的“友好点”．
①求，两点的“友好点”在数轴上对应的有理数；
②点以每秒4个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿数轴向右运动，当点、相遇则停止运动．设运动时间为秒，若整个运动过程中，，，三点中有一点是另两点的“友好点”，求值．
【答案】(1)，12
(2)①6或0；②3或4或或
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、绝对值非负性、数轴上的动点问题
【分析】本题是新定义题型，主要考查了数轴，绝对值以及偶次幂的非负性的应用，理解新定义，进行分类讨论是解题的关键．
（1）直接根据绝对值的非负性，偶次方的非负性即可得出答案；
（2）①设点M表示的数为m，然后根据友好点的定义求解即可；
②根据题意得点P表示的数是，点Q表示的数是，然后分点B在P、Q之间；点B在P、Q的左侧讨论即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，，
∴，．
故答案为：，12；
（2）①设点M表示的数为m，
根据题意得或，
解得或，
所以A、B两点的和谐点M在数轴上对应的有理数是6或0．
②设运动的时间为x秒，点P表示的数是，点Q表示的数是，
当B在P、Q之间时，
根据题意，得或，
解得或4；
当点B在P、Q的左侧时，
根据题意，得或，
解得或，
综上，当t的值为3或4或或时，，，三点中有一点是另两点的“友好点”．
【题型5 数轴上的行程问题之折线数轴问题】
例题：（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”，图中，点A表示的数为，点B表示的数为10，点C表示为18，我们称点A和点C在该数轴上的“折线距离”为24个长度单位，动点P从点A出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的两倍，之后立刻恢复原速；同时，动点Q从点C出发，以2单位/秒的速度沿着折线数轴的负方向运动，从点B运动到点O期间速度变为原来的一半，之后也立刻恢复原速，设运动的时间为t秒，则：
(1)动点P从点A运动至点C需要______秒，动点Q从点C运动至点A需要_______秒；
(2)若P，Q两点在点M处相遇，求相遇时间t以及点M在折线数轴上所表示的数；
(3)是否存在t值，使得P、O两点在数轴上的“折线距离”与Q、B两点在数轴上的的“折线距离”相等．
【答案】(1)19，17；
(2)；点M在折线数轴上所表示的数是
(3)当秒或秒或 秒或17秒时，
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、数轴上的动点问题
【分析】本题考查的是数轴上的动点问题，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键．
（1）利用路程除以速度求解即可得到答案；
（2）先判断相遇点M在上，再根据题意列方程求解即可；
（3）分四种情况讨论：①当点P在上，点Q在上时；②当点P在上时，点Q在上时；③当点P在上时，点Q在上时；④当点P在上时，点Q在上时，再列方程求解即可．
【详解】（1）解：动点P从点A运动至点O需要秒，
从点O运动至点B需要秒，
从点B运动至点C需要秒，
则动点P从点A运动至点C需要秒；
动点Q从点C运动至点B需要秒，
从点B运动至点O需要秒，
从点O运动至点A需要秒，
则动点Q从点C运动至点A需要秒；
故答案为：19，17；
（2）解：由（1）可得相遇点M在上，
∴由题意得，
解得，
∴，即点M在折线数轴上所表示的数是；
（3）解：①当点P在上，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
②当点P在上时，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
③当点P在上时，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
④当点P在上时，点Q在上时，，，
∵，
∴，
解得；
综上：当秒或秒或秒或17秒时．
【变式训练】
1．（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，如图，数轴上依次有、、三点，它们在数轴上对应的数分别是、、，其中、满足，点到点的距离为20．
(1)求、、的值．
(2)如图1，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，动点从点出发，以每秒1单位长度的速度沿着数轴的负方向运动，、两点同时出发，在点处相遇，求出相遇点所对应的数是多少；
(3)如图2，将数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”，（图中、两点在“折线数轴”上的距离为28个单位长度）．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复；同时，动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，之后立刻恢复，设运动时间为秒，请直接写出当为何值时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等．
【答案】(1)；；
(2)
(3)4，7，10，16
【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）由题中条件，利用平方与绝对值非负性，结合非负式和为的条件求解即可得到答案，再由数轴上两点之间距离表示方法即可得到答案；
（2）设相遇点所对应的数是，相遇时间为，由相遇问题列方程组求解即可得到答案；
（3）根据数轴上动点问题，分四种情况：当不在线段上；当在线段上；当在线段上；当在线段上、在线段上；列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
解得，
、在数轴上对应的数分别是、，如图所示：
，
解得；
（2）解：设相遇点所对应的数是，相遇时间为，则
，解得，
相遇点所对应的数是；
（3）解：由（1）知；；，
，，
动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，
走完用时为秒，走完用时秒；
动点从点出发以每秒1个单位长度沿着“折线数轴”的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的2倍，
走完用时为秒，走完用时秒；
当不在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
当在线段上时，如图所示：
当在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
当在线段上、在线段上时，如图所示：
则由、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等得到，解得；
当为4或7或10或16时，、两点在“折线数轴”上的距离与、两点在“折线数轴”的距离相等．
【点睛】本题考查数轴综合问题，涉及数轴表示有理数、数轴上两点之间距离的表示方法、非负式和为零的条件、数轴上动点问题、相遇问题等知识，根据题意，数形结合列方程求解是解决问题的关键．
一、单选题
1．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）如图，已知两点在数轴上，点表示的数为，，点以每秒个单位长度的速度从点向右运动．点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发）．经过几秒，点、点分别到原点的距离相等？（ ）
A．5秒B．5秒或者4秒C．5秒或秒D．秒
【答案】C
【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了数轴上两点之间距离，一元一次方程与行程问题，根据题意，分别求出点表示的数，及运用时间，设运用时间为秒，分类讨论，第一种情况，点在原点左边，点在原地右边；第二种情况，点都在原点左边；第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；图形结合，列式求解即可．
【详解】解：点表示的数为，
∴，
∵，则，
∴点表示的数为，
∵点以每秒个单位长度的速度从点向右运动，点以每秒个单位长度的速度从点向左运动（点、点同时出发），
∴点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：秒；点从点到点的时间为：（秒）；
根据题意，设经过秒，
∴点表示的数为：，点表示的数为：，
第一种情况，点在原点左边，点在原地右边，
∴，，且
∴，
解得，；
第二种情况，点都在原点左边，
∴，，且，
∴，
解得，；
第三种情况，当点在原点右边时，运动时间大于秒，则点在点坐标，不存在；
综上所述，当秒或秒时，点、点分别到原点的距离相等，
故选：C ．
2．（2024七年级上·江苏·专题练习）如图，点O为原点，A、B为数轴上两点，，且，点P从点B开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点P开始运动时，点A、B分别以每秒5个单位和每秒2个单位的速度同时向右运动，设运动时间为t秒，若的值在某段时间内不随着t的变化而变化，则m的值为（ ）
A．5B．5或7C．3或5D．3或7
【答案】B
【知识点】数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题为数轴上的动点问题，考查了数轴上两点之间距离，整式的加减的应用，绝对值的化简、解一元一次方程等知识．理解题意，分别表示出、、的长是解题关键，化简绝对值时要注意分类讨论．先求出点对应的数为，点对应的数是5，设经过秒，得到，，，分和两种情况分类讨论，进行化简，再根据题意得到关于m的方程，解方程即可求解．
【详解】解：∵，，
，，
∴点对应的数为，点对应的数是5，
设经过秒，则，
，，
若时，

，
当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化；
若时，
，
当，即时，的值在某段时间内不随着的变化而变化；
综上所述，当或时的值在某段时间内不随着的变化而变化．
故选：B．
二、填空题
3．（24-25七年级上·安徽阜阳·期末）定义：数轴上表示数，的点A，之间的距离．如图，在数轴上，动点A从表示的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动．同时，动点从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动．当点A，之间的距离等于3个单位长度时，则经过的时间长为 ．
【答案】4秒或6秒
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、绝对值方程
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，绝对值的意义等知识，解题的关键是：设经过x秒，则A表示的数为，B表示的数为，根据“点A，B之间的距离等于3个单位长度”列方程求解即可；
【详解】解：设经过x秒，则A表示的数为， B表示的数为，
根据题意，得，解得或6，
答：经过4秒或6秒，点A，B之间的距离等于3个单位长度．
故答案为：4秒或6秒．
4．（24-25七年级上·山西运城·期末）已知数轴上、两点位于原点两侧（点在点的左侧），点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且，动点从点出发，以每秒4个单位长度的速度运动，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动，、均沿轴正方向运动，当等于10时，运动时间为 秒．
【答案】或/13或3
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查本题考查数轴、一元一次方程的应用，先根据题意得到点A、B两点表示的数，然后根据运动得到点P、Q表示的数，再列方程解题即可．
【详解】解：点到原点的距离是点到原点距离的3倍，且，
∴点表示的数为，点表示的数为，
设运动时间为，则点P表示的数为，点Q表示的数为，
∴，
解得：或，
故答案为：或．
三、解答题
5．（24-25七年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，数轴上A、B两点所对应的数分别为，A、B两点各自以一定的速度同时运动，且点A运动的速度为2单位长度/秒．
(1)若A、B两点相向而行，在原点O处相遇，求点B的速度；
(2)若A、B两点从开始位置上同时按照（1）中的速度向数轴正方向运动，多少秒后，点A、B与原点距离相等．
【答案】(1)1单位长度秒；
(2)或12
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、几何问题(一元一次方程的应用)、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，难度较大，做题时要认真分析各个点的运动方向，找出等量关系．
（1）设B点的运动速度为，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，列出等量关系∶
（2）此问分两种情况讨论∶设经过时间为t后，分两种情况讨论；列出方程解出t即可；
【详解】（1）解：设B点的运动速度为，A、B两点同时出发相向而行，则他们的时间相等，
A、B两点运动的路程分别是8、4个单位长度，
列方程得，
解得，
所以点B的速度为1单位长度秒；
（2）解：设经过时间为，则在原点左侧时，两点表示的数互为相反数，
得，
解得，；
两点重合时，两点表示的数相等，
得，
解得，；
综上所述，或12秒时，点A、B与原点距离相等．
6．（24-25七年级上·甘肃陇南·期中）如图，在数轴上点表示的有理数为，点表示的有理数为6，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，当点到达点后立即返回，仍然以每秒2个单位长度的速度运动至点停止运动，设运动时间为（单位：秒）．
(1)时点表示的有理数为________；
(2)若点到点、点的距离相等，求的值；
(3)写出点到点的距离（用含的代数式表示）．
【答案】(1)
(2)或秒
(3)或
【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了数轴，涉及数轴上的动点问题，利用速度与时间的关系，分类讨论是解题关键．
（1）在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，根据点的速度，有理数的加法求解即可得到答案；
（2）根据题意得到，由两点间的距离公式，列方程求解即可得时间；
（3）由（2）知点表示的有理数为，结合数轴上两点之间距离公式，分类求解即可得到答案．
【详解】（1）解：在数轴上点表示的有理数为，点从点出发以每秒2个单位长度的速度在数轴上沿由到方向运动，
点表示的有理数为，
故答案为：；
（2）解：若点到点、点的距离相等，则，
由（1）知点表示的有理数为，
，解得；
当点P返回过程中经过AB中点时，时间为，
故答案为或秒
（3）解：由（2）知点表示的有理数为，
，
点从点出发到达点时，时间为秒，
点从点出发到达点时，时间为秒，
当点由到方向运动，即时，；
当点由到方向运动，即时，．
7．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知数轴上有A，B两点，分别代表，30，甲，乙两人分别从A，B两点同时出发，甲沿线段以1个单位长度/秒的速度向右运动，甲到达点B处时运动停止，乙沿方向以4个单位长度/秒的速度向左运动．
(1)A，B两点间的距离为______个单位长度；乙到达A点时共运动了______秒；
(2)甲，乙在数轴上的哪个点相遇？
(3)多少秒时，甲、乙相距10个单位长度？
【答案】(1)100，25
(2)甲，乙在数轴上的-50点相遇
(3)18秒或22秒
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离及一元一次方程的应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）根据数轴上两点间的距离及时间路程速度求解即可；
（2）设运动时间为x秒时甲与乙相遇，根据题意列方程求解即可；
（3）设秒时，甲，乙相距10个单位长度，分两种情况分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵数轴上有两点，分别代表，
，
∵乙沿方向以4个单位长度／秒的速度向左运动，
，
故答案为：100，25；
（2）解：设经过x秒相遇，
由题意，得，
解得：秒，；
故甲，乙在数轴上的点相遇．
（3）解：设m秒时甲、乙相距10个单位长度．
分两种情况：
①相遇前，由题意，得，
解得：；
②相遇后，由题意，得，
解得：；
故18秒或22秒时，甲、乙相距10个单位长度．
8．（24-25七年级上·青海海东·期末）如图．点在数轴上对应的数为、4．点是数轴上的一个动点、
(1)当为中点时，求所对应的数；
(2)当时，求所对应的数；
(3)如果点以每秒2个单位长度的速度从数轴原点出发向右运动，设秒时，求出t的值．
【答案】(1)1
(2)1或7
(3)为或
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、用数轴上的点表示有理数、几何问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题考查一元一次方程在数轴中的应用，能够根据题意，找到运动后点所对应的数，并能结合数轴列出方程是解题的关键．
（1）由题意设对应的数为，列出一元一次方程求解即可；
（2）由题意分当点在点左边时和当点在点右边时两种情况进行分析；
（3）由题意分当点在点左边时和当点在点右边时两种情况进行分析求解即可．
【详解】（1）解：设对应的数为．则
解得
所以．对应的数是1；
（2）当点在点左边时．
当点在点右边时．
所以．对应的数为1或7；
（3）秒时．对应的数是．
当点在点左边时．即．解得
当点在点右边时．即．解得
综上．当为或时．．
9．（24-25七年级上·山东济宁·期末）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作；数轴上表示数a，b的点A，B之间的距离．根据以上信息，解答下列问题：
(1)数轴上表示的点与原点的距离为_______；
(2)如图，数轴上点A表示的数为，点B表示的数为12．
①求线段的长度；
②若动点P从点A出发，以1个单位长度/秒的速度沿着数轴的正方向运动；同时，动点Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度沿着数轴的负方向运动．求经过多长时间，点P，Q之间的距离等于3个单位长度？
【答案】(1)7
(2)①15；②经过4或6秒，点P，Q之间的距离等于3个单位长度
【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了一元一次方程的应用、数轴、绝对值以及两点间的距离，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
（1）根据绝对值的定义，可求出数轴上表示的点与原点的距离；
（2）①利用数轴上两点间的距离公式，即可求出线段的长度；
②设经过x秒，点P，Q之间的距离等于3个单位长度，分两点相遇前相距3个单位长度及两点相遇后相距3个单位长度两种情况考虑，利用路程=速度×时间，结合两点相距3个单位长度，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
【详解】（1）解：（1）根据题意得：数轴上表示的点与原点的距离为．
故答案为：7；
（2）①根据题意得：；
②设经过x秒，点P，Q之间的距离等于3个单位长度，
当两点相遇前相距3个单位长度时，，
解得：；
当两点相遇后相距3个单位长度时，，
解得：．
答：经过4或6秒，点P，Q之间的距离等于3个单位长度．
10．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）已知，数轴上点、对应的数分别为、，且满足，点对应点的数为．
(1)①___________，___________；
②若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间、两点的距离为；
(2)在②的条件下，若点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动，点运动至点处又以原速返回，到达点后又折返向运动，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点相遇的点在数轴上表示的数．
【答案】(1)①，；②或；
(2)在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是，0，．
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】（1）①由绝对值和偶次方的非负性列方程组求出a、c即可；②设经过t秒两点的距离为，根据题意列绝对值方程求解即可；
（2）分类讨论：点P未运动到点C时；点P运动到点C返回时；当点P返回到点A时．分别求出不同阶段的运动时间，进而求出相关点所表示的数即可．
【详解】（1）解：①∵，
∴，，
∴，；
②动点、分别从、间时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为1个单位长度/秒，
∴对应的数为，对应的数为，
∴，
∴，
解得：或；
（2）解：点P未运动到点C时，设经过x秒P，Q相遇，
由题意得：，
∴，
相遇点表示的数为：，
点P运动到点C返回时，设经过y秒P，Q相遇，
由题意得：，
∴，
相遇点表示的数是：，
当点P返回到点A时，用时秒，此时点Q所在位置表示的数是，
设再经过z秒相遇，
由题意得：，
∴，
∵，
∴此时点P、Q均未停止运动，
故z还是符合题意．
此时表示的数是：，
答：在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是，0，．
【点睛】本题综合考查了绝对值和偶次方的非负性、数轴上两点之间的距离，利用方程来解决动点问题与行程问题，本题难度较大分类讨论是解题关键．
11．（24-25七年级上·云南昆明·期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示10，点C表示18，我们称点A和点C在数轴上相距28个长度单位，动点P从点A出发，以2单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半；点P从点A出发的同时，点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动，当点P到达B点时，点P、Q均停止运动．设运动的时间为t秒．问：

(1)用含t的代数式表示A、P两点在数轴上相距的长度为______； C、Q两点在数轴上相距的长度为______；
(2)、Q两点相遇时，求出相遇时间及相遇点M所对应的数是多少？
(3)是否存在P、O两点在数轴上相距的长度与Q、B两点在数轴上相距的长度相等？若存在，请计算t的取值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)或， t
(2)点M所对应的数是
(3)存在，或，见解析
【知识点】动点问题（一元一次方程的应用）、行程问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】（1）分①当时，②当时，两种情况进行讨论；
（2）设经过a秒，P、Q两点相遇，根据题意列出方程，求出a的值，即可得到点M所对应的数；
（3）分三种情况进行讨论即可．
本题考查了一元一次方程，数轴，掌握一元一次方程是解题的关键．
【详解】（1）解：①当时，A、P两点在数轴上相距的长度为；
②当时，A、P两点在数轴上相距的长度为；
C、Q两点在数轴上相距的长度为t；
故答案为：或；t；
（2）解：设经过a秒，P、Q两点相遇，
，
解得：，
则点M所对应的数是：，
即点M所对应的数是；
（3）解：存在，或，理由如下：
①当时，
，
解得：；
②当时，
，
解得：；
③当时，
，
该方程无解；
综上所述：或
12．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）【预备知识】
如图1，若数轴上M，N两点表示的数分别为m，n，则M，N两点之间的距离，例如，，，则．
【实际问题】
如图2，M，N两点在数轴上对应的数分别为－12，20，甲、乙分别从M，N处同时出发，甲的速度为1个单位长度/s，乙的速度为3个单位长度/s，设运动的时间为ts．
（1）M，N两点之间的距离______；
【综合运用】
（2）若甲、乙相向运动，记相遇点为A，则点A表示的数为______，此时______；
（3）若甲、乙都向左运动．
①当t为何值时，乙恰好追上甲？
②当t为何值时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度？
【答案】（1）32；（2）；8；（3）①s；②s或s
【知识点】数轴上两点之间的距离、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，
（1）根据两点之间的距离公式计算即可；
（2）根据甲运动的路程加上乙运动的路程等于列出方程，再求出解即可；
（3）①根据甲运动的路程加上等于乙运动的路程列出方程，再求出解即可；
②，分两种情况相遇前，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解；相遇后，甲乙之间的距离等于10单位长度列出方程，求出解即可．
【详解】解：（1）.
故答案为：32；
（2）根据题意，得，
解得，则，
所以点A表示的数是.
故答案为：；
（3）①根据题意，得：．
解得．
∴当s时，乙恰好追上甲．
②分两种情况：
情况一：乙追上甲之前相距10个单位长度．
根据题意，得．
解得．
情况二：乙追上甲之后相距10个单位长度．
根据题意，得．
解得．
综上，当s或s时，甲、乙之间恰好相距10个单位长度．
13．（24-25七年级上·四川巴中·期末）如图，已知数轴上两点，对应的数分别为和，点为数轴上的一个动点．
(1)若点到点的距离等于点到点的距离时，求点表示的数是多少；
(2)规定：点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“友好点”，若点以每秒个单位的速度从原点开始向右运动，当点是关于的“友好点”时，求点的运动时间；
(3)甲、乙两班同时从学校出发去军营军训，学校和军营的直线距离为，甲班学生步行速度为，乙班学生步行速度为．学校有一辆汽车，该车空车时的速度为，载人时的速度为，且这辆汽车一次恰好只能载一个班的学生．甲班、乙班同时出发，甲班乘车至中转站后随即步行，汽车返回接乙班，最终甲班、乙班同时抵达军营B．若乙班步行距离比甲班步行距离多，在（2）的规定下，请说明中转站是否为关于学校军营的“友好点”．
【答案】(1)
(2)秒或秒
(3)不是，理由见解析
【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离
【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键；
（1）根据点到点的距离等于点到点的距离即可得到结论；
（2）根据题意可得，，再根据“友好点”的定义即可求解；
（3）设中转站到学校的距离为，先求得乙班步行时间为，进而根据乙班步行距离比甲班步行距离多，建立方程，解方程，进而根据新定义进行判断，即可求解．
【详解】（1）解：数轴上两点，对应的数分别为和，
，
点到点的距离等于点到点的距离，
点是的中点，
，
点表示的数为；
（2）解：设点运动时间为秒，
根据题意可知，，，
，
解得：或，
点运动的时间为秒或秒；
（3）解：设中转站到学校的距离为，依题意，
甲班乘车时间为：小时，乙班步行时间为：小时，
根据乙班步行距离比甲班步行距离多，得，，
解得：，
所以，中转站到军营的距离为，
，
∴中转站不是关于学校军营的“友好点”．
14．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知，数轴上的点M在原点右边，与原点的距离为7个单位长度，点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度．
(1)若点M、N在数轴上所表示的数分别为m，n，则_________，_________；
(2)情境：有一个玩具火车如图所示，放置在数轴上，左右两端点A、B分别对应数a、b，现将玩具火车沿数轴左右水平移动，当端点A所对应的数为b时，端点B所对应的数为m；当端点B所对应的数为a时，端点A所对应的数为n，则玩具火车的长为_________个单位长度；
(3)探究：在（2）的条件下，当火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，同时点P和点Q分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，记火车运动后对应的位置为．是否存在常数k使得的值与它们的运动时间无关？（表示P，Q两点之间的距离；表示两点之间的距离．）若存在，请分别求出k和的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)7，；
(2)3；
(3)存在，k的值为1，的值为6．
【知识点】整式加减中的无关型问题、行程问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）
【分析】本题考查了数轴的动点问题，两点间的距离，数轴上的点与数的关系，多项式的无关计算，熟练掌握动点运动的规律和多项式的无关计算是解题的关键．
（1）根据题意得，再结合数轴的性质计算，即可得到答案；
（2）小火车的长度为，根据题意列方程计算，即可得到答案；
（3）设火车运动的时间为t秒，根据数轴的性质，分别的、PQ，并代入到，将t的系数为零计算即可．
【详解】（1）根据题意，得，
∵点N在原点左边，点M、N相距9个单位长度
∴，
故答案为：7，；
（2）设玩具火车的长为，
∴
根据题意，得，
∴
将代入到，得，
∴，
故答案为：3；
（3）设火车运动时间为t秒
∵火车匀速向右以每秒3个单位长度运动，且，
∴
∵点P和点Q同时分别从N、M出发，以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向左和向右运动，
∴，
∴，
当时，，即与它们的运动时间无关，
∴存在常数k使得的值与它们的运动时间无关，，．
15．（24-25七年级上·重庆·期中）已知点A、点B在数轴上分别对应有理数a、b，其中a、b满足．
(1)____________，____________；
(2)如图，点C在点A、点B之间（点C不与A、B重合），现有一个小球从A出发向左匀速运动，经过一秒到达的中点，又经过四秒之后到达的中点，试求点C所对应的有理数；
(3)在（2）的条件下，动点P从B点出发沿数轴以每秒6个单位的速度向右运动，当点P运动到点A之后立即以原速沿数轴向左运动．动点P从B点出发的同时，动点Q从C点出发沿数轴以每秒1个单位的速度向右运动，动点M也从A点出发沿数轴以每秒3个单位的速度向左运动．设运动的时间为t秒，是否存在正数k使得在一段时间内为定值，如果不存在，说明理由；如果存在，写出所有满足条件的正数k，并把其中一个正数k的求解过程写出来．
【答案】(1)16；
(2)10
(3)或
【知识点】数轴上两点之间的距离、整式加减中的无关型问题、绝对值非负性、行程问题(一元一次方程的应用)
【分析】（1）根据非负数的性质得到，则；
（2）由（1）得点A表示的数为16，点B表示的数为，则；设的中点分别为E、D，可证明，则小球的运动速度为个单位长度/秒，进而可求出，则点C表示的数为；
（3）先求出点P运动4秒后到达点B，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，则，，当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，则，，两种情况可求出，再根据t的范围去绝对值，结合是定值，即的值与t无关进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16；；
（2）解：由（1）得点A表示的数为16，点B表示的数为，
∴；
如图所示，设的中点分别为E、D，
∴，
∴，
∵经过四秒小球从点E运动到点D，
∴小球的运动速度为个单位长度/秒，
∵小球从A出发向左匀速运动，经过一秒到达的中点E，
∴，
∴，
∴点C表示的数为；
（3）解：秒，
∴点P运动4秒后到达点A，
当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，
∴，，
当时，
，，
∴
，
∵k为正数，
∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意；
当时，
，，
∴
，
∴当时，的值是定值，
∴；
当时，
，，
∴
，
∵k为正数，
∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意；
当时，点P表示的数为，点Q表示的数为，点M表示的数为，
∴，，
当时，
∴，
，
∴当时，的值是定值，
∴；
当时，
∴，
，
∵k为正数，
∴的值与t有关，不是定值，此时不符合题意；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题，非负数的性质等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
时间（秒）
0
1
2
C点在数轴上的位置所表示的数
_____
D点在数轴上的位置所表示的数
_____
3
2