天津市河北区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份天津市河北区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷（解析版），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则且，解得.
故选：C.
2. 空间四边形中，，点在上，点为的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】点为的中点，则有，
所以.
故选：B.
3. 已知椭圆的短轴长为2，焦距为，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题的，
所以，所以离心率为，
故选：C.
4. 过和两点的面积最小的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设过和两点的圆的圆心为，半径为，
则，
故，当且仅当为中点时等号成立，
故过和两点的圆的面积最小时直径为，
此时圆的圆心为3,-4，故其标准方程为，
故选：C.
5. 已知与关于直线对称，则下列说法中错误的是（ ）
A. 直线过,的中点
B. 直线的斜率为
C. 直线的斜率为3
D. 直线的一个方向向量的坐标是
【答案】B
【解析】对于A，因为与关于直线对称，所以直线过，的中点，故A正确；
对于B，直线的斜率为，故B错误；
对于C，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为3 ，故C正确；
对于D，因为直线的斜率为3，所以直线的一个方向向量的坐标是，故D正确.
故选：B.
6. 已知过原点的直线与圆相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】设直线方程为，由题可知圆心到直线的距离小于半径，
圆圆心为2,0，半径，所以有
故选：C.
7. 已知是空间的一个基底，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意可知，
设向量在基底下的坐标是，则,
所以，
可得，解得，
所以向量在基底下的坐标是.
故选：B.
8. 从直线上的点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）
A. B. 1
C. D.
【答案】B
【解析】圆化为，圆心为，半径为1，直线上的点向圆引切线，设切点为，
则，
要使切线长的最小，则PC最小，即直线上的点与圆心的距离最小，
由点到直线的距离公式可得，.
所以切线长的最小值为.
故选：B.
9. 平行六面体中，，，，，，则的长为（ ）
A. 10B. C. D.
【答案】D
【解析】记，则，
且；
所以；
因此可得
即，所以的长为.
故选：D.
10. 已知是椭圆上一动点，是圆上一动点，点，则最大值为（ ）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】B
【解析】如图，由题意，椭圆的焦点为，，
则圆的圆心是椭圆的左焦点，由椭圆定义得，所以，
又，
所以.
故选：B.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案填在题中横线上.
11. 已知点B是点在坐标平面内的射影，则__________.
【答案】
【解析】∵点B是点在坐标平面内的正射影，
∴B在坐标平面上，横标和纵标与A相同，而竖标为0，
∴B的坐标是，∴.
12. 已知点与点之间的距离为5，则实数a的值为____________．
【答案】或
【解析】，
化简为，解得：或.
13. 如图，在长方体中，，，点为线段的中点，则直线与直线所成角的余弦值为_____.
【答案】
【解析】记，则，
易知，所以；
又，
所以；
显然，,
所以；
又直线与直线所成的角的范围是，
所以直线与直线所成角的余弦值为.
14. 已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______：公共弦长为_____.
【答案】
【解析】易知两圆相交，将两圆方程相减可得，
即；
所以两圆公共弦所在直线的方程为；
易知圆的圆心为，半径为；
圆心到直线的距离为，
所以公共弦长为.
15. 已知椭圆的焦点为，，过点的直线与椭圆交于两点，若，则的方程为_________.
【答案】
【解析】因为，所以，
又，所以，
又BF1+BF2=2a，所以，AF2=a，，
又，所以AF1=a，所以，
所以在轴上（也为椭圆的顶点），
在中，由余弦定理可得，
，可得，解得，
所以，则的方程为.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 在中，，，.
（1）求点到直线的距离：
（2）求线段垂直平分线所在的直线方程；
（3）求过点且在轴和轴截距相等的直线方程.
解：（1）由题可知直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
由点到直线距离公式可得，
即点到直线的距离为；
（2）易知线段的斜率,所以其垂直平分线斜率为；
且过的中点，
可得该直线方程为，即；
（3）当在轴和轴截距都为0时，此时直线过，
此时直线方程为；
当在轴和轴截距不为0时，设直线方程为，可得；
代入点坐标可得，解得，
此时直线方程为，即；
综上可知，过点且在轴和轴截距相等的直线方程为或.
17. 已知直线与圆交于，两点，且.
（1）求实数的值；
（2）若点为直线上的动点，求的面积.
解：（1）将圆化为，
所以其圆心，半径，作于点，
由垂径定理可得为的中点，如下图所示：
由可得，
又CD=a1+1=a2=a2+12,a>0，
所以；
（2）由（1）可知，所以，
直线与直线平行，
所以点到的距离为，
因此的面积为.
18. 如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点．
（1）求证：∥平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离．
（1）证明：因为，分别为，的中点，
所以，
又平面，平面，
故平面；
（2）解：由于平面，
所以平面，
以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
则，，，，，
所以，
设平面的法向量为，
则，令，则，，
故，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线与平面所成角的正弦值为；
（3）解：因为，
又平面的法向量为，
所以点到平面的距离为．
19. 已知椭圆E:x2a2+y2b2=1a>b>0的左右焦点分别为，，左顶点为，上顶点为，且，动直线与椭圆交于，两点；当直线过焦点且与轴垂直时，.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线过点，当面积为时，求直线斜率.
解：（1）由椭圆顶点性质以及可得；
当直线过焦点且与轴垂直时，其方程为，
代入可求得，
所以，解得；
所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知B-2,0，
设直线的方程为，，
如下图所示：
联立，消去并整理可得，
由韦达定理可得；
因此
，
直线的方程化为，
可得点B-2,0到直线的距离为；
所以的面积为，
又面积为，可得，解得；
所以直线的斜率.