【数学】天津市河北区2024-2025学年高二上学期期末质量检测试卷（解析版）

这是一份【数学】天津市河北区2024-2025学年高二上学期期末质量检测试卷（解析版），共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知双曲线（，）的离心率为2，则它的渐近线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】由得双曲线的渐近线方程为．
∵双曲线的离心率为2，
∴，解得，
∴双曲线的渐近线方程为 ．
故选：D．
2. 已知直线经过，两点，且直线，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】设直线的倾斜角为，
因为直线的斜率，由，得，
所以，即，又，则，
所以直线的倾斜角为．
故选：B．
3. 直线与椭圆（）的位置关系为（ ）
A. 相离B. 相切
C. 相交D. 无法确定
【答案】C
【解析】因为直线过点，
而为椭圆的右端点和上端点，
故直线与椭圆相交.
故选：C.
4. 若数列的前项和为，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为数列的前项和为，且，
则.
故选：C.
5. 已知双曲线过点，且与椭圆有公共焦点，则双曲线的标准方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由椭圆，可化为标准方程，
可得，
因为双曲线与椭圆有公共的焦点，所以，
又因为双曲线过点，可得，则，
所以双曲线的标准方程为.
故选：B.
6. 等差数列的首项为1，公差不为0.若，，成等比数列，则的前6项和为（ ）
A. B. C. 3D. 8
【答案】A
【解析】设等差数列的公差为，
因为，，成等比数列，所以，
所以，
又，所以，整理得，
因为，所以，
所以数列前6项的和为.
故选：A.
7. 过点，且圆心在直线上的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题设，的中点坐标为，且，
∴的中垂线方程为，联立，
∴，可得，即圆心为，而，
∴圆的方程是．
故选：B．
8. 在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”．其大意是：有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地，则此人后3天共走的里程数为（ ）
A. 6B. 18C. 28D. 42
【答案】D
【解析】设第天走里，其中，由题意可知，数列是公比为的等比数列，，
解得，
所以，此人后三天所走的里程数为．
故选：D．
9. 过抛物线：（）焦点的直线与交于，两点，过点向抛物线的准线作垂线，垂足为，则（ ）
A. B. C. 18D. 20
【答案】B
【解析】依题意抛物线的准线为，即，解得，
所以抛物线方程为，则焦点为，又，所以，解得，
所以，所以，所以直线方程为，
由，消去整理得，解得、，
即，所以．
故选：B．
10. 已知，是双曲线的两个焦点，为上一点，且，（），若的离心率为，则的值为（ ）
A. 3B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为，由余弦定理可得，
整理可得，所以，
即，解得或，又因为，即．
故选：A．
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分.答案填在题中横线上.
11. 抛物线的准线方程为______．
【答案】
【解析】由抛物线，可得，
抛物线的准线方程为，
故答案为：．
12. 已知等差数列的前项和为，若，，则______.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，因为，
所以，解得，所以.
13. 已知数列的通项公式，对任意的正整数，都有恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】
【解析】由题，对任意的正整数，都有恒成立，
，即恒成立，
对任意的正整数恒成立，
，即.
14. 已知抛物线：（）和圆：，若倾斜角为的直线过的焦点且与相切，则______．
【答案】6
【解析】由题得抛物线的焦点坐标为，
设直线l的方程为，
由已知得圆的圆心，半径，
因为直线l与圆相切，
所以圆心到直线距离，
即，解得或（舍去）．
所以．
15. 若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围为______.
【答案】.
【解析】当n为偶数时，恒成立，即转化为恒成立，
而数列是递增数列，故时，，故；
当n为奇数时，恒成立，即，转化为恒成立，而数列是递增数列，n为奇数时，，故；
综上可得a的范围为.
三、解答题：木大腿共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知数列是等差数列，且，，数列是公比大于0的等比数列，，.
（1）求数列，的通项公式；
（2）设，求数列的前项和；
（3）设，求数列的前项和.
解：（1）设等差数列的公差为，
由题意可得，，解得，
∴，
设等比数列的公比为（），
由题意可得，，解得，
∴.
（2）∵，
∴
.
（3）由（Ⅰ）可得，
，①
，②
①－②，得
，
∴.
17. 如图，在多面体中，四边形为正方形，平面，，，.
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在点，使得直线与所成角的余弦值为，若存在，求出点到平面的距离，若不存在，请说明理由.
（1）证明：依题意，以D为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
可得,,,,,.
依题意，,,
从而,所以，即.
（2）解：依题意，,,
设为平面ACF的法向量，则，
不妨设可得，因为,
设直线EC与平面ACF所成角为，
则，
所以直线EC与平面ACF所成角的正弦值为.
（3）解：假设线段DE上存在一点，使得直线BG与AD所成角的余弦值为，则.依题意，
则，解得.
所有存在点满足条件，
所以可得,
由（2）可知平面ACF的一个法向量为，
所以点G到平面ACF的距离为
18. 已知椭圆：（）的离心率，且椭圆过点.
（1）求的方程：
（2）过点直线与椭圆有两个交点，，已知轴上点，求证：.
解：（1）由椭圆：的离心率，得，则，
由椭圆过点，得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）依题意，直线的斜率存在，设直线的方程：，
由消去，得，
设，显然，
则，，
所以
.
19. 对于一个给定的数列，令，则数列称为数列的一阶和数列，再令，则数列是数列的二阶和数列.设的二阶和数列的前项和为.
（1）若的二阶和数列是等比数列，且，，，，求和；
（2）若，求的二阶和数列的前项和；
（3）若是首项为1等差数列，是的一阶和数列，且（，），若，求正整数的最大值，以及取最大值时的公差.
解：（1）由题意，得，，.
∴，，
∵是等比数列，∴公比，
由此得，，∴.
（2）由题意得，
，
∴
.
（3）∵，∴，
∴.
∵数列是等差数列，设公差为，
则，得.
∵，
∴
，得，
∴的最大值是1999，此时公差.