天津市河北区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版）

这是一份天津市河北区2024-2025学年高一上学期期中质量检测数学试卷（解析版），共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 下列关系中正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】选项A：表示实数集，所以，说法错误；
选项B：表示有理数集，所以，说法错误；
选项C：表示整数集，所以，说法正确；
选项D：表示自然数集，所以，说法错误；
故选：C
2. 设全集，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】A选项，，A选项正确.
B选项，，B选项错误.
C选项，，C选项错误.
D选项，不是的子集，D选项错误.
故选：A
3. 已知，则“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当“”时，“”；
当“”时，可能，不能得到“”；
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】D
【解析】因为全称量词命题的否定为存在量词命题，所以命题“，”的否定为“，”，
故选：D.
5. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，则
【答案】B
【解析】A选项，若，，则，所以，所以A选项错误.
B选项，若，，则，所以，所以B选项正确.
C选项，若，则，所以C选项错误.
D选项，若，则，所以，所以D选项错误.
故选：B
6. 下列函数中与是同一函数的为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】对于A，的定义域是，的定义域是，
这两个函数的定义域不相同，故这两个函数不是同一函数，故A错误；
对于B，与的定义域都是，这两个函数的定义域相同，
对应法则相同，故这两个函数是同一函数，故B正确；
对于C，与对应法则不同，
故这两个函数不是同一函数，故C错误；
对于D，的定义域是，的定义域是，
这两个函数的定义域不相同，故这两个函数不是同一函数，故D错误.
故选：B
7. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；
当时，，选项B错误.
故选：A.
8. 下列关于幂函数的描述正确的是（ ）
A. 幂函数的图象必过定点和
B. 幂函数的图象可能经过第四象限
C. 当幂指数，，3时，幂函数是奇函数
D. 当幂指数时，幂函数是增函数
【答案】D
【解析】A选项，幂函数的图象不过，所以A选项错误.
B选项，对于幂函数当时，，所以B选项错误.
C选项，当时，幂函数是非奇非偶函数，所以C选项错误.
D选项，当时，幂函数在定义域上单调递增，
所以D选项正确.
故选：D
9. 已知是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为是定义在上的偶函数，在区间上单调递增，
所以在上单调递减，且，
又，所以，所以当时，
当或时，
则，即，即，
所以或，
解得或，综上可得.
故选：C
10. 若两个正实数，满足，且存在这样的，使不等式有解，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由已知正实数，满足，
则，
当且仅当时等号成立，
所以，
解得：或，
故选：A.
二、填空题：本大题共5个小题，每空4分，共20分.答案填在题中横线上.
11. 函数的定义域为_________.
【答案】
【解析】由，解得且，
所以的定义域是.
故答案为：
12. 集合，用列举法表示是______.
【答案】
【解析】集合，故用列举法表示是.
故答案为：
13. 已知函数则的值为______.
【答案】2
【解析】，则.
故答案为：2
14. 计算：_________.
【答案】
【解析】
.
故答案为：
15. 已知函数是上的增函数，，是函数图象上的两点，那么的解集是_________.
【答案】
【解析】由可得或，
因为，是函数图象上的两点，
所以，，
因为是定义在上的增函数，
所以或，解得：或，
所以原不等式的解集为.
故答案为：
三、解答题：本大题共4个小题，共40分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知全集，集合，.
（1）若，求， ；
（2）若，且，求实数的取值范围.
解：（1）将代入集合中的不等式得，
因为，
所以；
又因为，
所以；
（2）因为，，
又因为，则，所以不是空集，
因为，所以
解得.
17. 已知函数.
（1）若，求不等式的解集；
（2）若关于的不等式对一切恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
不等式即，
即，解得，或，
所以不等式的解集为.
（2）当时，恒成立，满足题意；
当时，由题意得
解得.
综上所述，实数的取值范围是.
18. 杭州亚运会以“绿色，智能，节俭，文明”为办赛理念，展示杭州生态之美，文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场已知该种设备年固定研发成本为万元，每生产一台需要另投入元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式：.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式；（利润=销售收入-成本）
（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求出最大利润.
解：（1）依题意可得，
又，
当时；
当时，
所以；
（2）当时，，
由函数图象开口向下，对称轴方程为可知函数在上单调递增，
所以当时，，
当时，
，
当且仅当时，即时等号成立，
因为，所以当年产量为万台时，该公司获得年利润最大为万元.
19. 已知是定义在上的奇函数，且当时，
（1）求函数在上的解析式:
（2）若在上有最大值，求实数的取值范围；
（3）若函数，记函数的最大值，求 的解析式.
解：（1） 是定义在上的奇函数， 则，
若， 则， 则，
又由 为奇函数， 则，
综合可得， .
（2）由（1）的结论，， 作图如下:
若在上有最大值， 即函数图象在区间上有最高点，
必有或，
故的取值范围为: .
（3）当 时，，
则函数开口向下，且对称轴的方程为，
当即 时， 函数在区间单调递减，
故当时， 函数取得最大值， 最大值是，
当 即时， 函数在 单调递增， 在 单调递减，
故当时， 函数取最大值， 最大值是，
当，即 时， 函数在区间单调递增，
故当时， 函数取得最大值， 最大值是，
故函数的最大值