天津市北辰区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷（解析版）

这是一份天津市北辰区2024-2025学年高二上学期期中检测数学试卷（解析版），共99页。试卷主要包含了选择题，填空题．，解答题．等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上）
1. 在空间直角坐标系中，点，关于平面对称的点的坐标是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】点，关于平面对称的点的坐标横纵坐标不动，竖坐标变成相反数，所以坐标是.故选：B
2. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为直线的斜率为，由，，得到，所以直线的倾斜角为，故选：C
3. 在四棱锥中，底面是正方形，是的中点，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
.
故选：C
4. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ；
直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ，
由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ；
故选：D
5. 若圆与圆外切，则（ ）
A. 32B. 26C. 18D.
【答案】A
【解析】由得圆心，，
由得，圆心，，
因为两圆向外切，所以，
即，可得，解得，
故选：A
6. 已知是空间的一组基底，其中，，．若，，，四点共面，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，设存在唯一的实数对，使得，
即，则，
则x=2，，，解得.
故选：C
7. 若直线与平行，则与间的距离为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意，直线与平行，故
当时，直线，，两直线平行；
当时，直线，，两直线重合，舍去.
故. 此时与间的距离
故选：C
8. 设点，，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A. 或B. 或
C. D.
【答案】D
【解析】，，
数形结合知，直线的斜率需满足，即.
故选：D
9. 若圆上仅有2个点到直线的距离为1，则实数的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】作与直线平行，且到直线距离等于1的两条直线，
圆的圆心为原点，原点到直线的距离为，
两条平行线中与圆心距离较远的一条到原点的距离为，
较近的一条到原点的距离为，
又圆上有2个点到直线的距离为1，
两条平行线中与圆心较近的与圆有2个公共点，
与圆心较远的直线与圆无交点即可，如图，

由此可得圆的半径，故选：B
二、填空题．（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请将正确答案填在答题卡上）
10. 已知向量，，，则________．
【答案】6
【解析】由，可知，解得，
所以，故答案为：6
11. 已知椭圆的焦距是4，则该椭圆的长轴长为________．
【答案】
【解析】当焦点在轴上时，，解得，所以长轴长为；
当焦点在轴上时，，解得（舍去），
综上所述，椭圆的长轴长为.
故答案为：.
12. 圆与圆的公共弦的长为______.
【答案】
【解析】圆与圆相减可得，
即两圆的公共弦所在的直线方程为，
又圆圆心到直线的距离，
圆的半径为，所以公共弦长为.
故答案为：.
13. 直线过点，且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为________．
【答案】或
【解析】当截距为0时，设，将代入直线方程，，解得，
故直线的方程为，
当截距不为0时，设直线的方程为，
将代入直线方程，，解得，故直线的方程为，
故直线的方程为或.
故答案为：或
14. 如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________.

【答案】
【解析】如图，矩形是货车截面图，，则，
故答案为：．

15. 已知圆，当圆的面积最小时，直线与圆相切，则实数的值为________．
【答案】或
【解析】解：由圆，得，
当时，圆C的半径最小为，即面积最小，所以当圆C的面积最小时，圆的方程为，圆心，半径，
因为直线与圆C相切，所以圆心到直线的距离，
解得或.故答案为：或.
三、解答题．（本大题共5个小题，共60分）
16. 已知圆经过坐标原点，且圆心为．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知直线与圆相交于，两点，求弦长的值；
（3）过点引圆的切线，求切线的方程．
解：（1）由题意可得，圆心为，半径为2，则圆的方程为；
（2）由（1）可知：圆的半径，设圆心到的距离为，则，所以.
（3）当斜率不存在时，为过点的圆C的切线.
当斜率存在时，设切线方程为，即，
=2，解得 ，所以.
综上所述：切线的方程为和．
17. 如图，平面，，，，，
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值；
（3）求点到平面的距离.
（1）证明：因为平面，，如图建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，
所以，，
所以，，即，，
又，平面，所以平面.
解：（2）因为，，设平面的法向量为，
则，取，又平面的法向量可以为，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面夹角的余弦值为.
（3）点到平面的距离.
18. 已知椭圆的左右焦点分别为，，长轴长为，且短轴长是焦距的倍．
（1）求椭圆标准方程；
（2）过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长；
（3）过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程．
解：（1）依题意，，得到，由短轴长是焦距的倍，得，
又，所以，解得，所以，
故椭圆的标准方程为.
（2）由（1）知，，故该直线为， 由，消可得，故，由弦长公式，.
（3）显然的斜率存在（否则轴，根据对称性，，与题设矛盾），
设Ax1,y1，Bx2,y2，直线为，
由，消得，
由韦达定理可得：①，，
又，则，故②，
由①②得，，故，
即，化简可得，解得.
故直线为.
19. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，点，，分别为棱，，的中点，是线段的中点，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且直线与直线所成角的余弦值为，求线段的长．
（1）证明：取中点，连接，如图所示：
因为为中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，为中点，所以，
所以，又因为平面，平面，所以平面，
又因为，平面，所以平面平面，
又因为平面，所以平面.
解：（2）平面PAC平面，平面平面AC，
平面，平面.
平面，，又，
则以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，
则，所以，
设平面一个法向量为n=x,y,z，所以，所以，
令，则，所以，设直线与平面所成角为，
所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.
（3）设，且，所以，
所以，解得，所以.
20. 设椭圆的左右焦点分别为，，且过点，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设动直线与坐标轴不垂直，与曲线交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数．
①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标；
②求面积的最大值．
（1）解：因为，所以，，
所以椭圆方程为.
（2）①证明：设直线，由，消得，
设，，所以，，所以，
因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，
所以，所以，
即，所以，
因为，所以，所以动直线恒过轴上定点．
②解：由①知，，，
且，即，
又，
令，则，
所以，
当且仅当时取“=”，
所以．