天津市河北区2025-206学年高二上学期期末质量检测数学试卷含解析（word版）

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1. 下列图形中, 对直线的倾斜角与斜率描述正确的是 ( )
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据倾斜角定义及倾斜角与斜率的关系可以判断.
【详解】对于 A : 倾斜角 α 为钝角，且 k=tanα ，则 k0 ,得 b0 之间的距离是 5 ，则 m+n= ( )
A. -2 B. -12 C. 12 D. 14
【答案】C
【解析】
【分析】根据直线平行求出 m=−2 ,再利用平行线距离公式即可求出 n ,即可求解.
【详解】因为直线 x+my+2=0 与 2x−4y+n=0n>0 平行,
所以 12=m−4 ,即 m=−2 ,
因为直线 x−2y+2=0 与直线 2x−4y+n=0n>0 的距离为 5 ,
所以 n2−212+−22=5 ,即 n−4=10 ,解得 n=14 或 n=−60 ,
因为 a2a5a6=16a42 且 a1=1 ,
所以 q⋅q4⋅q5=16q32⇒q10=16⋅q6⇒q4=16 ,
解得 q=2 ,所以 an=a1qn−1=2n−1 ,
由 an=2n−1 ,则 an+1=2n ,
所以 bn=1n+1⋅lg2an+1=1n+1⋅lg22n=1n+1⋅n=1n−1n+1 ,
所以 Sn=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1=nn+1 ,
所以 S2026=20262026+1=20262027 ,
故答案为: 2n−1 ； 20262027 .
15. 已知双曲线 x2a2−y2b2=1a>0,b>0 的左、右焦点分别为 F1,F2 ,点 P 在双曲线右支上,直线 PF2 的斜率为 2 . 若 △PF1F2 是直角三角形，且面积为 8，则双曲线的离心率为_____.
【答案】 5
【解析】
【分析】设 PF2=m ,可利用斜率的关系及正弦定理,得到 △PF1F2 三边的比例关系,由面积公式求出 m ,进而得出 c ,结合双曲线的定义再求出 a 即可.
【详解】如图, 作出符合题意的图形,

由题可知,点 P 必落在第四象限, ∠F1PF2=90∘ ,
设 PF2=m,∠PF2F1=θ1,∠PF1F2=θ2 ,
由 kPF2=tanθ1=2 可得 sinθ1=25 ,
因为 ∠F1PF2=90∘ ,所以 kPF1⋅kPF2=−1 ,
所以 kPF1=−12 ,即 tanθ2=12 ,所以 sinθ2=15 ,
由正弦定理可得: PF1:PF2:F1F2=sinθ1:sinθ2:sin90∘=2:1:5 ，
则由 PF2=m 得 PF1=2m,F1F2=2c=5m ，
由 S△PF1F2=12PF1⋅PF2=12m⋅2m=8 得 m=22 ,
则 PF2=22,PF1=42,F1F2=2c=210,c=10 ,
由双曲线的定义可得: PF1−PF2=2a=22 ,所以 a=2 ,
所以双曲线的离心率为 e=ca=102=5 .
故答案为: 5 .
三、解答题:本大题共 4 个小题，共 40 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16. 已知圆 C 的方程为 x2+y2−2x+4y−m=0 .
(1)求实数 m 的取值范围；
( 2 )若圆 C 与直线 l:x+y+3=0 交于 M ， N 两点，且 MN=25 ，求 m 的值.
【答案】(1)(-5,+∞)
(2) m=2
【解析】
【分析】(1) 将圆的方程配方,由题意得 5+m>0 ,求解即得;
(2)结合图形,由垂径定理求出 MA ,在 Rt△MCA 中列出方程,求解即得.
【小问 1 详解】
方程 x2+y2−2x+4y−m=0 可化为 x−12+y+22=5+m ,
∵ 此方程表示圆， ∴5+m>0 ，即 m>−5 ，
故实数 m 的取值范围是 −5,+∞ ;
【小问 2 详解】

由( 1 )可得圆心 C1,−2 ,半径 r=m+5 ,
如图，过点 C 作 CA⊥MN 于点 A ，则 MA=12MN=5 ，
圆心 C1,−2 到直线 l:x+y+3=0 的距离为 d=CA=1−2+312+12=2 ，
由图可得: r2=d2+MA2 ,即 5+m=22+52 ,
解得: m=2 .
即 m 的值为 2 .
17. 长方体 ABCD−A1B1C1D1 中, AB=AD=23,AA1=3,E,F 分别为 A1D1,C1B1 中点,且 CG=2GC1 .

(1)求证: GF⊥ 平面 FBE ；
(2)求直线 AC1 与平面 FBE 所成角的正弦值，
(3)求点 D 到平面 FBE 的距离.
【答案】(1)证明见详解
(2) 3322
(3) 3
【解析】
【分析】(1) 根据题意,连接 GF ,利用勾股定理,证得 GF⊥BF ,由 D1C1⊥ 平面 BCC1B1 , 证得 EF⊥ 平面 BCC1B1 ,得到 EF⊥FG ,结合线面垂直的判定定理,即可证得 GF⊥ 平面 FBE ;
(2)以 D 为坐标原点，建立坐标系，写出相应点的坐标，写出 AC1 和求出平面 FBE 的法向量， 结合线面角的向量法求解即可;
(3)在(2)基础上求出 DE ，再利用向量法求得 D 到平面 FBE 的距离即可.
【小问 1 详解】
连接 GF ,如图所示:

因为 F 为 C1B1 中点,且 CG=2GC1 ,
在直角 △C1FG 中,可得 GF2=C1G2+C1F2=12+32=4 ,
在直角 △BB1F 中,可得 BF2=BB12+B1F2=32+32=12 ,
在直角 △BCG 中,可得 BG2=BC2+CG2=232+22=16 ,
所以 BG2=GF2+BF2 ,所以 GF⊥BF ,
在长方体 ABCD−A1B1C1D1 中,可得 D1C1⊥ 平面 BCC1B1 ,
因为 GF⊂ 平面 BCC1B1 ,所以 D1C1⊥GF ,
又因为 E,F 分别为 A1D1,C1B1 的中点,
可得 EF//D1C1 ,所以 EF⊥GF ,
因为 EF∩BF=F ,且 EF,BF⊂ 平面 FBE ,
所以 GF⊥ 平面 FBE .
【小问 2 详解】
以 D 为坐标原点,以 DA,DC,DD1 所在直线分别为 x,y,z 轴,建立空间直角坐标系, 如图所示，

因为 AB=AD=23,AA1=3 ，可得:
A23,0,0,C10,23,3,G0,23,2,F3,23,3,
则 AC1=−23,23,3,GF=3,0,1 ,
由 GF⊥ 平面 FBE ,所以向量 GF 为平面 FBE 的一个法向量,
设直线 AC1 与平面 FBE 所成角为 θ ,
所以 sinθ=csAC1,GF=AC1⋅GFAC1GF=−23×3+23×0+3×1−232+232+32×32+02+12=3322 , 所以直线 AC1 与平面 FBE 所成角的正弦值为 3322 .
【小问 3 详解】
由 D0,0,0,E3,0,3 ,则 DE=3,0,3
又平面 FBE 的一个法向量为 GF=3,0,1 ,
所以 D 到平面 FBE 的距离为:
d=DE⋅GFGF=3×3+0×0+3×132+02+12=3.
18. 已知 an 是等差数列,其前 n 项和为 Sn,bn 是等比数列,已知 a1=1,S3=6,b1=a2,a8 是 a4 和 b4 的等比中项.
(1)求 an 和 bn 的通项公式；
(2)对任意的正整数 n ，设 cn=a2n−1bn ，求数列 cn 的前 n 项和 Tn ；
(3)若 mn+1bn≥2Sn−an+1 对于 n∈N∗ 恒成立，求实数 m 的取值范围.
【答案】( 1 ) an=n;bn=2n ；
(2) Tn=3−2n+32n
(3) 14,+∞
【解析】
【分析】(1) 利用 a1=1 及 S3=6 求出 an ,再结合 b1=a2,a8 是 a4 和 b4 的等比中项可求出 bn ;
(2)利用错位相减法即可求出;
(3)将不等式转化为 m≥n−12n ,再构造数列 kn=n−12n ,通过判断数列的单调性可得数列值,进而可得所求值的范围.
【小问 1 详解】
设数列 an 的公差为 d ,等比数列 bn 的公比为 q ,
则 S3=3a1+3×22d=3+3d=6 ,得 d=1 ,所以 an=1+n−1×1=n ,
则 b1=a2=2,a8=8 ,
由 a8 是 a4 和 b4 的等比中项,则 82=4×b4 ,解得 b4=16 ,
又由 b4=b1q3=16 ,所以 q=2 ,所以 bn=2×2n−1=2n .
【小问 2 详解】
由(1)可得 cn=a2n−1bn=2n−12n ,
则 Tn=c1+c2+c3+⋯+cn=12+322+523+⋯+2n−12n ,
Tn2=122+323+524+⋯+2n−12n+1,
将两式相减得: Tn2=12+222+223+⋯+22n−2n−12n+1 ,
=12+2×122×1−12n−11−12−2n−12n+1=12+1−12n−1−2n−12n+1=32−2n+32n+1
解得 Tn=3−2n+32n ;
【小问 3 详解】
由 (1) 知 bn=2n,an+1=n+1,Sn=nn+12 ,代入 mn+1bn≥2Sn−an+1
得 mn+12n≥nn+1−n+1=n2−1 ,即 m≥n2−1n+12n=n−12n 对于 n∈N∗ 恒成立.
令 kn=n−12n ,则 kn+1=n2n+1 ,则 kn+1−kn=n2n+1−n−12n=2−n2n+1 ,
所以当 nkn ,数列 kn 递增,即 k12 时, kn+1b>0 的离心率为 22 ，长轴长为 4 .
(1)求椭圆 C 的方程；
(2) F1 ， F2 为椭圆 C 的左、右焦点，点 M 在椭圆 C 上，且点 M 是第一象限的点，若 MF1⋅MF2=32 ，求点 M 的坐标；
(3)过点 0,−2 的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点， O 为坐标原点，若 △OAB 的面积为 2 ，求 AB .
【答案】(1) x24+y22=1
(2) 3,22
(3) 5
【解析】
【分析】(1) 由离心率得 e=ca=22 ,长轴长为 4,结合 a2−b2=c2 ,解出 a,b 即可;
(2)设 Mx0,y0,x0>0,y0>0 ，代入椭圆方程中得到一个方程，再表示出 MF1,MF2 ，根据 MF1⋅MF2=32 得出方程,联立解出即可;
(3)设直线 l 的方程为 y=kx−2 ，联立直线方程和椭圆方程得出韦达定理，表示出弦 AB 即为 △OAB 的底，再利用点到直线距离公式求出 △OAB 以 AB 为底的高，表示出 △OAB 的面积解出参数,然后代入 AB 的表达式中即可.
【小问 1 详解】
由椭圆 C 的离心率为 22 ，所以 e=ca=22 ，(1
长轴长为 4,则 2a=4⇒a=2 ,②
又 a2−b2=c2 ，③
联立①②③解得: a=2,c=2,b=2 ，
所以椭圆 C 的方程为: x24+y22=1 .
【小问 2 详解】
由题意如图所示:

由 (1) 知 F1−2,0,F22,0 ,
由点 M 在椭圆 C 上,且点 M 是第一象限的点
设 Mx0,y0,x0>0,y0>0 ,且 x024+y022=1 ,④
此时 MF1=−2−x0,−y0,MF2=2−x0,−y0 ,
由 MF1⋅MF2=32 ，即 −2−x0⋅2−x0+−y0⋅−y0=32 ，
化简得: x02+y02=72⇒x02=72−y02 ,
将⑤代入④解得: y0=22 或 y0=−22 (舍去)，
将 y0=22 代入⑤中解得 x0=3 或 x0=−3 (舍去)，
所以点 M 的坐标为: 3,22 .
【小问 3 详解】
由题意知直线 l 的斜率存在且不为 0,设直线 l 的斜率为 k ,
则设直线 l 的方程为: y+2=kx−0 即 y=kx−2 ,如图所示:

设 Ax1,y1,Bx2,y2 ,
联立 y=kx−2x24+y22=1 ,消去 y 整理得: 1+2k2x2−8kx+4=0 ,
由 Δ=−8k2−4×1+2k2×4>0⇒k2>12 ,
所以 x1+x2=8k1+2k2,x1x2=41+2k2 ,
根据弦长公式得: AB=1+k2x1+x22−4x1x2
=1+k28k1+2k22−4×41+2k2=41+k22k2−11+2k2 ,
又 O 到直线 l:y=kx−2⇔kx−y−2=0 的距离为:
d=k×0−0−2k2+1=2k2+1,
所以 S△OAB=12×AB×d=12×41+k22k2−11+2k2×2k2+1=2 ,
解得: k2=32 ,满足题意,
所以 AB=4×1+322×32−11+2×32=5 .