数学人教A版 (2019)离散型随机变量的数字特征学案

这是一份数学人教A版 (2019)离散型随机变量的数字特征学案，共45页。学案主要包含了即学即练1，即学即练2，即学即练3等内容，欢迎下载使用。

知识点1：离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差的概念
一般地，若离散型随机变量的概率分布列为：
则称
为随机变量的方差，有时也记为.
称为随机变量的标准差.
（2）离散型随机变量的方差的深层理解
①离散型随机变量的方差是个数值，是随机变量的一个重要特征数.
描述了()相对于均值的偏离程度，而是上述偏离程度的加权平均值，刻画了随机变量的取值与其均值的平均偏离程度.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值的稳定性和波动、集中与离散程度，越大，表明平均偏离程度越大，的取值越分散；反之，越小，的取值越集中在附近.
②标准差与随机变量有相同的单位，而方差的单位是随机变量单位的平方.
③均值与方差的关系
在实际问题中仅靠均值还不能全面地说明随机变量的特征，还必须研究随机变量的集中与离散程度，这就需要求出方差.
④方差公式的变形：
⑤方差也是一个常数，它不具有随机性，方差的值一定非负.
（3）两点分布的方差公式
一般地，如果随机变量服从两点分布，那么:.
【即学即练1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量服从两点分布，且，若，则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】∵，，∴，
∵，，
二次函数在区间上单调递减，
∴，，且.
故选：D
（4）方差的性质
若与都是随机变量，且，则由与之间分布列的关系可知.
【即学即练2】（2024·全国·高二假期作业）若随机变量满足，则（ ）
A．0.8B．1.6C．3.2D．0.2
【答案】C
【详解】因为，所以.
故选：C
知识点2：样本方差与离散型随机变量方差的比较
（1）样本方差
样本数据；；；；记
均值：，其中.
方差：
（2）离散型随机变量方差
离散型随机变量的分布列
均值
方差：
【即学即练3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两种零件某次性能测评的分值，的分布如下，则性能更稳定的零件是 ．
【答案】乙
【详解】由题意知：，
，
所以，
，
因为，所以乙更稳定．
故答案为:乙．
知识点3：求离散型随机变量的方差步骤
(1)理解离散型随机变量的意义，写出所有可能的取值.
(2)判断离散型随机变量是否服从特殊分布（如两点分布等).若服从特殊分布，则可利用公式直接求解；若不服从特殊分布，则继续下面步骤.
(3)求出离散型随机变量取每个值的概率.
(4)写出离散型随机变量的分布列.
(5)利用均值的定义求.
(6)利用求方差.
其中求均值的关键是写出离散型随机变量的分布列，前提是准确列出所有可能的取值，并真正理解取值的意义.
题型01 求离散型随机变量的方差、标准差
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）甲乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮，第一次由甲投；已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，.在前3次投篮中，乙投篮的次数为，求随机变量的概率分布、数学期望和方差．
【典例2】（2024下·全国·高二随堂练习）袋中有形状、大小完全相同的3个球，编号分别为1，2，3.用表示取出的2个球中的最大号码，有放回地从袋中取两次，每次取1个球
(1)写出的分布列；
(2)求的均值与方差.
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局.三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军，已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立.
(1)求甲学校获得冠军的概率；
(2)用表示乙学校的总得分，求的分布列与期望.
(3)设用表示甲学校的总得分，比较和的大小（直接写出结果）.
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方投篮；第一次由甲投篮，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为，．在前3次投篮中，乙投篮的次数为X，求X的概率分布、均值及标准差．
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）小王去自动取款机取款，发现自己忘记了6位密码的最后一位数字，他决定从0~9中不重复地随机选择1个进行尝试，直到输对密码，或者输错三次银行卡被锁定为止．
(1)求小王的该银行卡被锁定的概率；
(2)设小王尝试输入该银行卡密码的次数为X，求X的分布列、数学期望及方差．
【变式3】（2023下·湖北宜昌·高二校考阶段练习）新高考数学试卷中多选题规定：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．在做数学卷多选题时考生通常有以下两种策略：策略A：为避免有选错得0分，在四个选项中只选出一个自己最有把握的选项，将多选题当作“单选题”来做；策略B：争取得5分，选出自己认为正确的全部选项，本次考试前，某同学通过模拟训练得出其在两种策略下作完成下面小题的情况如下表：
已知该同学作答两题的状态互不影响，若该同学此次考试决定用以下方案：第11题采用策略B，第12题采用策略A，设他这两题得分之和为X，求X的分布列、均值及方差．
题型02 离散型随机变量的方差公式及性质
【典例1】（2024·全国·高二假期作业）已知随机变量的分布列如表：
若，则 ．
【典例2】（2024上·陕西渭南·高二校考期末）随机变量的分布列如下表，则 ； .
【典例3】（2024·全国·高三专题练习）离散型随机变量X的分布为：
若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的为 ．
①；②；③；④．
【变式1】（2024上·辽宁·高二盘锦市高级中学校联考期末）设随机变量的方差，则的值为 .
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）设样本数据的均值和方差分别为1和4，若，，且的均值为5，则方差为 .
【变式3】（2024·全国·高三专题练习）随机变量X的分布列如表所示，若，则 .
题型03两点分布的方差
【典例1】（2023·全国·高二专题练习）已知随机变量满足，，其中.令随机变量，则（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】（2023下·广东中山·高二统考期末）已知离散型随机变量X服从两点分布，且，则随机变量X的方差为 ．
题型04方差的实际应用
【典例1】（2023上·全国·高三专题练习）甲、乙两种品牌的手表，它们的日走时误差分别为X和Y(单位：s)，其分布列为
甲品牌的走时误差分布列
乙品牌的走时误差分布列
试对两种品牌手表的性能作出描述： ．
【典例2】（2024·江苏·高二假期作业）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对500位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.
(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为45元，其余3个均为15元，求顾客所获的奖励额为60元的概率；
(2)商场对奖励总额的预算是30000元，为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请从如下两种方案中选择一种，并说明理由.方案一：袋中的4个球由2个标有面值15元和2个标有面值45元的两种球组成；方案二：袋中的4个球由2个标有面值20元和2个标有面值40元的两种球组成.
【典例3】（2024·全国·高二假期作业）已知某商业银行甲、乙两个风险理财项目的年利润率分别为和，利润率为负表示亏损，根据往年的统计数据得到和的分布列：
现有200万元资金准备投资到甲、乙两个风险理财项目一年．
(1)在甲、乙两个项目上各投资100万元，和分别表示投资项目甲和乙所获得的年利润，求和；
(2)项目甲投资x万元，项目乙投资万元，其中，，用表示投资甲项目的年利润方差与投资乙项目的年利润方差之和，问该如何分配这200万元资金，能使的数值最小？
【变式1】（2024·全国·高二假期作业）设有甲、乙两地生产的两批原棉，它们的纤维长度X，Y的分布如表1、表2所示．
表1
表2
试问：这两批原棉的质量哪一批较好？
【变式2】（2024·全国·高三专题练习）为了解某中学高一年级学生身体素质情况，对高一年级的(1)班(8)班进行了抽测，采取如下方式抽样：每班随机各抽10名学生进行身体素质监测.经统计，每班10名学生中身体素质监测成绩达到优秀的人数散点图如下（轴表示对应的班号，轴表示对应的优秀人数）：

(1)若用散点图预测高一年级学生身体素质情况，从高一年级学生中任意抽测1人，求该生身体素质监测成绩达到优秀的概率；
(2)若从以上统计的高一（2）班和高一（4）班的学生中各抽出1人，设表示2人中身体素质监测成绩达到优秀的人数，求的分布列及其数学期望；
(3)假设每个班学生身体素质优秀的概率与该班随机抽到的10名学生的身体素质优秀率相等.现在从每班中分别随机抽取1名同学，用“”表示第班抽到的这名同学身体素质优秀，“”表示第班抽到的这名同学身体素质不是优秀（）．写出方差的大小关系（不必写出证明过程）．
【变式3】（2024上·江西新余·高二统考期末）为弘扬中华优秀传统文化，营造良好的文化氛围，增强文化自觉和文化自信，某区组织开展了中华优秀传统文化知识竞答活动，该活动有单人赛和PK赛，每人只能参加其中的一项.据统计，中小学生参与该项知识竞答活动的人数共计4.8万，其中获奖学生情况统计如下：
(1)从获奖学生中随机抽取1人，若已知抽到的学生获得一等奖，求抽到的学生来自中学组的概率；
(2)从中学组和小学组获奖者中各随机抽取1人，以表示这2人中PK赛获奖的人数，求的分布列和数学期望；
(3)从获奖学生中随机抽取3人，设这3人中来自中学组的人数为，来自小学组的人数为，试判断与的大小关系.（结论不要求证明）
A夯实基础 B能力提升
A夯实基础
一、单选题
1．（2023下·贵州遵义·高二统考期中）若随机变量满足，则（ ）
A．B．C．D．
2．（2023上·高二课时练习）已知随机变量X的分布列是
则等于（ ）
A．0B．0.8C．2D．1
3．（2023·江苏·高二专题练习）若数据，，…，的方差为3，则数据，，…，的方差为（ ）
A．12B．9C．6D．3
4．（2023·全国·高三专题练习）已知随机变量的分布列如下表所示：
若，则（ ）
A．>，>B．
C．>，，