人教B版高中数学选修3 6-1-4《导数的运算课时3》教学设计

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《导数的运算》教学设计课时3简单复合函数的导数一、本节内容分析本节的主要知识内容是基本初等函数的导数公式和导数的运算法则以及复合函数的求导公式,是导数的计算的关键部分,对后面更深刻的研究导数起着至关重要的作用,在导数的定义中,我们不仅阐明了导数概念的本质,也给出根据定义求导数的方法.但是,如果对每一个函数都直接按定义去求它的导数,往往极为复杂和困难,甚至是不可能的.因此,我们希望找到一些简单函数的导数(作为我们的基本公式)与运算法则,借助它们来简化导数的运算过程,因此教材直接给出基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,使得用定义求导数比较麻烦、计算量很大的问题得以解决,为以后导数的研究带来方便.同时也将所学的导数和实际应用问题结合起来,使得导数的优越性发挥得淋漓尽致.复合函数的求导法则是导数的计算这一节的最后一小节内容.教材利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则解决了不少导数问题,但对于由函数和函数复合而成的函数还没有涉及,我们平时研究的函数不会仅限于基本初等函数,因此我们要想将问题研究得更加透彻,就得继续研究导数.教材层层深入,由易到难,给我们展示了什么是复合函数,同时将复合函数的构成和复合函数的求导法则也展示给了学生.因此,使很多较难的问题层层分解以后显得简单易懂.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析知识结构:学生已学习导数的概念和几何意义,了解并掌握运用导数的定义去求函数的导数.心理特征:高二的学生已经具备了一定自主学习、分析探究问题的能力,让学生自主学习、恰时恰点的问题引导就能建立知识之间的相互联系,解决相关问题.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.基本初等函数的导数2.导数的四则运算法则3.简单复合函数的导数【教学目标设计】1.熟练掌握基本初等函数的导数公式.2.掌握导数的四则运算法则3.理解并熟练掌握复合函数的求导法则.【教学策略设计】在导数的概念建立之后,引导学生运用定义推导几个常见初等函数的导数公式,要求学生注意形式化训练中的规范要求,从而加深对导数概念的认识和理解,并从中领悟求导数这一算法的基本思想.在推导函数导数的过程中,不仅巩固了导数的概念,而且规范了利用导数定义求导数的具体解题的过程,让学生亲身感受导数的意义.在教学中,不仅仅将导数作为一种规则和步骤来学习,更注重它的思想和价值,注意严格控制难度,避免过量的形式化的运算练习.遇到推导过程中学生容易犯错的地方,及时予以纠正,展示部分同学自己推导公式的过程,巩固导数的概念.通过学习复合函数的求导法则,让学生了解解决实际问题的过程和作为中间变量的中间函数在解决问题时的重要作用,体会导数在现实社会中的应用价值.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________【教学重点难点】重点:1.基本初等函数的导数公式.2.导数的四则运算法则.3.复合函数的求导法则.难点:1.基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用.2.正确理解复合函数的复合过程,做到不重不漏,熟练正确.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、____________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:请同学们回忆一下导数的四则运算法则.生:,.师:前面我们学习了基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,掌握了几个函数的和、差、积、商的导数又是怎样求的,这节课我们在背默公式的基础上继续学习复合函数的导数.教学精讲探究1 复合函数的概念【情境设置】探究复合函数的概念如何求函数的导数呢?师:我们来分析函数结构特点,该函数不是由基本初等函数通过加、减、乘、除运算得到的,所以无法用现有的方法求出它的导数.若设,则.从而可以看成是由和经过“复合”得到的,即可以通过中间变量表示为自变量的函数.如果把与的关系记作与的关系记作,那么这个“复合”过程可表示为.【学生动手书写教师的讲解过程,提出问题这样的函数叫什么名字】师:该函数称为复合函数.我们遇到的很多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的,例如函数是由哪两个函数经过复合得到的?生:由复合而成的.【设情境 巧引入】设计问题情境由浅入深,承上启下,步步过渡引出复合函数的概念.【概括理解能力】通过对几个函数的分解,使学生明白复合函数的复合过程,使学生对问题理解深入,触类旁通.【以学论教】新旧知识融会贯通,教师引入新知识自然流畅,学生理解简单易懂,师生互动,增加课题的生动性.【要点知识】复合函数的概念一般地,对于两个函数和,如果通过中间变量可以表示成的函数,那么称这个函数为函数和的复合函数,记作.【概括理解能力】通过对复合函数知识的探究,得出复合函数的概念,提高学生对概念的理解能力.师:根据复合函数的概念,我们来看下面例题.【典型例题】复合函数的概念的应用例1:指出下列函数是怎样复合而成的.(1);(2);(3)(其中均为常数);(4).【学生动手写出复合过程,教师予以肯定】生解:(1)函数可以看作函数和的复合函数.(2)函数可以看作函数和的复合函数.(3)函数可以看作函数和的复合函数.(4)函数可以看作函数和及的复合函数.探究2 复合函数的求导法则师:如何求复合函数的导数呢?我们来研究的导数,猜想一下,函数的导数一定与函数的导数有关,我们来研究一下这种关系.以.另一方面,.可以发现,【要点知识】复合函数的导数法则一般地,由函数和复合而成的函数,它的导数与函数导数间的关系为,即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积.【活动学习】求复合函数的导数,关键在于搞清楚复合函数的结构,明确复合次数,由外层向内层逐层求导,直到关于自变量求导,同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果.【意义学习】通过对例题的分析和分解,学生对复合函数求导法则的认识更加明确和清晰,体现意义学习.师:接下来看下道例题.【典型例题】复合函数的导数法则的应用例2:求下列函数的导数.(1);(2;(3).【教师引导,学生板演,其余学生独立做题,教师进行点评和总结】生解:(1)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则,有.(2)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则,有.(3)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则,有.探究3 复合函数求导的基本步骤师:我们把例2的第(1)小题中求导数的步骤进行归纳总结一下.【教师板书,学生记笔记】函数可以看作函数和的复合函数.函数的导数是.生:复合函数求导的基本步骤:分解——求导——相乘——回代.【要点知识】复合函数求导的基本步骤分解——求导——相乘——回代:(1)弄清复合关系,将复合函数分解成基本初等函数形式.(2)利用求导法则分层求导.(3)求导完成,各分层导数相乘.(4)最终结果要将中间变量换成自变量.师:从上面的例题中我们总结一下求复合函数的导数的技巧和注意点,看看大家经过自己的动手实践,我们发现哪些问题需要注意,大家畅所欲言,共同总结.【学生分组讨论,小组代表发言,教师予以点拨】【要点知识】求复合函数的导数的技巧和注意点1.对于分式、根式、三角函数式、指数式、对数式的复合函数的导数,关键仍然在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量,熟用复合函数求导法则,迅速正确地求出导数.2.在复合函数的求导熟练以后,中间步骤可以省略,不必再写出函数的复合过程,对于经过多次复合及四则运算而成的复合函数,可以直接应用公式和法则,从最外层开始由表及里逐层求导.3.灵活运用复合函数的求导法则,正确地进行求导运算,树立多角度、换方位思考问题的意识,达到优化解题思维、简化解题过程的目的.【简单问题解决能力】本节课通过大量的例题巩固所学知识,学生在动手实践的基础上发现问题解决问题,及时总结,起到举一反三的效果.【概括理解能力】利用复合函数的求导法则解决实际应用问题,教师引导学生总结复合函数求导的基本步骤,并提示求导过程中的技巧和注意点,提升概括理解能力.师:请看例题3.【典型例题】复合函数求导的实际应用例3:某个弹簧振子在振动过程中的位移(单位:与时间单位:)之间的关系为.求函数在时的导数,并解释它的实际意义.生解:函数可以看作函数和的复合函数,根据复合函数的求导法则,有.当时,.它表示当时,弹簧振子振动的瞬时速度为.师:同学们本节课学习了哪些知识?【学生思考、回答,教师补充】【课堂小结】简单复合函数的导数本节课学习了简单复合函数的导数:(1)复合函数的定义.(2)复合函数的求导法则,要注意分析复合函数的结构,引入中间变量,将复合函数分成比较简单的函数,然后再利用复合函数的求导法则求导.(3)复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.【设计意图】通过学习复合函数的定义和复合函数的复合过程与分解过程;复合函数的求导法则与由初等函数构成的复合函数的求导方法,和大量的例题与练习巩固这两方面的知识,学生对这部分知识不仅要熟悉还要灵活掌握,提升了学生的数学运算、逻辑推理、数学抽象的核心素养.教学评价本节内容以前面学习的导数的概念、几何意义及运用导数定义求几个常见函数的导数为基础,给出常数函数、幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数、对数函数的导数公式,说明了为什么要引入导数运算法则,由导数公式及运算法则,就能得到两个基本函数的和、差、积、商的导数,熟练掌握导数公式及运算法则,为后续学习复合函数的导数奠定基础,特别是对研究函数问题掌握了必要的数学工具.【设计意图】引导学生整理本节课所学复合函数导数的知识,使其体会知识的生成、发展、完善的过程,通过具体知识点的演练,提高学生的解题能力和数学核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.已知是曲线上的两点,(1)分别求过点,点的曲线的切线方程;(2)求与直线平行的曲线的切线方程.解析:根据导数的几何意义和基本初等函数的导数公式求切线的斜率.(1)因为都是曲线上的点.过点的切线的斜率,过点的切线的斜率,过点的切线方程为,即.过点的切线方程为,即.(2)因为,直线的斜率,切线的斜率,所以,所以切点,与平行的切线方程为,即.2.下列导数运算正确的是( )A.B.C.D.解析:利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则可得正确结论.A..故选项不正确;B.,故选项B不正确;C.,故选项C正确;D.,故选项D不正确.3.求下列函数的导数.(1);(2);(3);(4.解析:利用导数的四则运算法则和复合函数的求导公式.(1)函数可看作函数和的复合函数,∴.(2)函数可看作函数和的复合函数,∴.(3)函数可看作函数和的复合函数,∴.(4)函数可看作函数和的复合函数,函数可看作函数和的复合函数.【综合问题解决能力】利用求导法则求出导函数是解题关键,结合导数的几何意义解决切线问题,让学生意识到正确求导的重要性.【分析计算能力】利用导数的四则法则和复合函数的求导法则解决相关练习,提升学生的分析计算能力.教学反思本教学案例前部分呈现基本初等函数的导数公式及运算法则,让学生了解并掌握公式和法则,并设计例题,让学生熟悉基本初等函数的导数公式和运算法则的应用,通过对例题的学习,体验数学与生活的联系,体会数学的文化价值,即运用数学知识解决实际问题.由于学生对后半部分的复合函数求导法则和法则的综合应用不熟练,教学中应注重概念的理解和应用,提高计算的准确度,并注重学科思想的渗透和数学素养的训练.【以学定教】启发并引导学生理解基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则和复合函数求导法则,熟练掌握求导法则,结合导数几何意义解决切线的斜率问题,利用复合函数的导数解题,提高综合解决问题的能力.【以学论教】通过对导数的运算的学习,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处及改进方法.必备知识学科能力学科素养高考考向基本初等函数的导数学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学运算逻辑推理【考查内容】1.基本初等函数的导数公式和导数的运算法则的应用2.复合函数导数的求导法则【考查题型】填空题、解答题导数的四则运算法则数学抽象逻辑推理数学运算简单复合函数的导数数学抽象数学运算逻辑推理核心知识1.基本初等函数的导数2.导数的四则运算法则3.简单复合函数的导数数学抽象逻辑推理数学运算核心素养