新教材2023_2024学年高中数学第六章导数及其应用本章总结提升课件新人教B版选择性必修第三册

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第六章本章总结提升知识网络·整合构建专题突破·素养提升成果验收·课堂达标检测目录索引 知识网络·整合构建专题突破·素养提升专题一　导数的几何意义1.导数的几何意义是高考的高频考点,主要考查切线方程及切点的求解,考查与切线平行或垂直的问题,难度为中低档.2.通过求切线方程,培养数学运算、直观想象的核心素养.【例1】 已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线方程;(2)直线l为曲线y=f(x)的切线,且经过原点,求直线l的方程及切点坐标;(3)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线 垂直,求切点坐标与切线的方程.解 (1)∵f'(x)=(x3+x-16)'=3x2+1,∴f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f'(2)=13.∴切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即13x-y-32=0.∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).(方法二)设直线l的方程为y=kx,切点为(x0,y0), 解得x0=-2,∴y0=(-2)3+(-2)-16=-26.k=3×(-2)2+1=13.∴直线l的方程为13x-y=0,切点坐标为(-2,-26).即切点为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即4x-y-18=0或4x-y-14=0.规律方法　导数的几何意义的解题策略(1)利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y-y0=f'(x0)(x-x0),明确“过点P(x0,y0)的曲线y=f(x)的切线方程”与“在点P(x0,y0)处的曲线y=f(x)的切线方程”的异同点.(2)围绕着切点有三个等量关系:切点(x0,y0),则k=f'(x0),y0=f(x0),(x0,y0)满足切线方程.变式训练1[2023浙江杭州上城校级期末]设直线y= x+b是曲线y=ln x(x>0)的一条切线,则实数b的值为　　　　　　　. ln 2-1 专题二　函数的单调性、极值、最值与导数1.利用导数研究函数的性质,以指数型函数、对数型函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题,是最近几年高考的重点内容,难度中高档.2.通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养.【例2】 (1)若函数f(x)=2sin xcos x-4x-msin x在[0,2π]上单调递减,则实数m的取值范围为(　　)A.(-2,2) B.[-2,2]C.(-1,1) D.[-1,1]B解析 依题意,f(x)=2sin xcos x-4x-msin x=sin 2x-4x-msin x,所以f'(x)=2(2cos2x-1)-4-mcos x=4cos2x-mcos x-6≤0对任意x∈[0,2π]恒成立.设t=cos x∈[-1,1],g(t)=4t2-mt-6,则g(t)≤0在[-1,1]上恒成立,(2)[2023四川成都青羊校级期中]函数f(x)=ex(x2-ax-a).①若x=1是函数f(x)的极值点,求a的值,并判断x=1是极大值点还是极小值点;②求函数f(x)的单调区间.解 ①∵f'(x)=ex(x2-ax-a+2x-a)=ex(x+2)(x-a),∵x=1是函数f(x)的极值点,∴f'(1)=e(1+2)(1-a)=0,解得a=1.当x∈(-2,1)时,f'(x)<0,∴f(x)在(-2,1)内单调递减,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0,∴f(x)在(1,+∞)内单调递增,∴x=1是函数f(x)的极小值点.②由①知f'(x)=ex(x+2)(x-a).a.当a=-2时,f'(x)=ex(x+2)2≥0在R上恒成立,∴函数f(x)在R上单调递增.b.当a<-2时,令f'(x)>0,解得x-2,令f'(x)<0,解得a-2时,令f'(x)>0,解得x<-2或x>a,令f'(x)<0,解得-2-2时,函数f(x)在(-∞,-2)和(a,+∞)内单调递增,在(-2,a)内单调递减.规律方法　利用导数求解参数范围的步骤(1)对含参数的函数f(x)求导,得到f'(x).(2)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,则f'(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)内单调递减,则f'(x)≤0恒成立,得到关于参数的不等式,解出参数范围.(3)验证参数范围中取等号时,是否恒有f'(x)=0.若f'(x)=0恒成立,则函数f(x)在(a,b)上为常函数,舍去此参数值.变式训练2设函数f(x)= x3-x2-mx.(1)若f(x)在(0,+∞)上存在单调递减区间,求m的取值范围;(2)若x=-1是函数的极值点,求函数f(x)在[0,5]上的最小值.解 (1)f'(x)=x2-2x-m,由题意可知,f'(x)=x2-2x-m<0在(0,+∞)内有解,所以存在x∈(0,+∞),使得m>x2-2x,则m>-1,即m的取值范围为(-1,+∞).(2)因为f'(-1)=1+2-m=0,所以m=3.所以f'(x)=x2-2x-3,令f'(x)=0,解得x=-1或x=3.所以当x∈(0,3)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减;当x∈(3,5)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;所以函数f(x)在[0,5]上的最小值为f(3)=9-9-9=-9.专题三　导数的综合应用1.利用导数研究函数是高考的必考内容,其实质是以导数为工具研究函数的图象和性质.解决此类问题通常是构造一个函数,研究其单调性.常见考点有不等式的证明、不等式恒成立、函数零点的确定等,难度中高档,常以压轴题出现.2.借助导数研究函数的性质和图象,考查逻辑推理、直观想象等数学素养.角度1.利用导数证明简单的不等式【例3】 证明不等式:ln x≤x-1.证明由题意知x>0,令f(x)=x-1-ln x, 所以当f'(x)>0时,x>1;当f'(x)<0时,0-1,令f(x)=ln(x+1)-x, 所以当f'(x)>0时,-10,故f(x)在(-1,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,所以f(x)有最大值f(0)=0,故有f(x)=ln(x+1)-x≤f(0)=0,即ln(x+1)≤x成立.规律方法　1.证明f(x)>g(x)的一般方法是证明h(x)=f(x)-g(x)>0(利用单调性),特殊情况是证明f(x)min>g(x)max(最值方法),但后一种方法不具备普遍性.2.与ln x,ex有关的常用不等式(1)ln x≤x-1(x>0,当且仅当x=1时,等号成立)及变形ln(x+1)≤x.(2)ln x≤ (x>0,当且仅当x=e时,等号成立).(3)ex≥x+1及变形ex-1≥x.变式训练3证明不等式:ex≥ex. 证明 设f(x)=ex-ex,x∈R,则f'(x)=ex-e.当x<1时,f'(x)<0,f(x)单调递减.当x>1时,f'(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(1)=0,即ex-ex≥0,所以ex≥ex.角度2.不等式恒成立问题【例4】 [2023湖北武汉江汉校级期中]设函数f(x)=ln x+1,g(x)=ax+2,a∈R,记F(x)=f(x)-g(x).(1)求函数F(x)的单调区间;(2)若函数f(x)=ln x+1的图象恒在函数g(x)=ax+2的图象的下方,求实数a的取值范围.(2)函数f(x)=ln x+1的图象恒在g(x)=ax+2的图象的下方,即F(x)=f(x)-g(x)=ln x-ax-1<0恒成立;由(1)知,当a≤0时,则F(x)在(0,+∞)上为增函数,此时F(x)无最大值,并且F(e)=-ae≥0,不合题意;规律方法　1.“恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型,一般地,可采用分离参数法进行转化.λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max;λ≤f(x)恒成立⇔λ≤[f(x)]min.对于不能分离参数的恒成立问题,直接求含参函数的最值即可.2.此类问题特别要小心“最值能否取得到”和“不等式中是否含等号”的情况,以此来确定参数的范围能否取得“=”.变式训练4已知函数f(x)=ln x+ax2+(a+2)x,a∈R.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,若关于x的不等式 恒成立,求实数b的取值范围.当a≥0时,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)内是增函数;当a<0时,当t∈(0,1)时,g'(t)>0,g(t)单调递增;当t∈(1,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减.所以g(t)的最大值为g(1)=-1,得b≥-1,所以实数b的取值范围是[-1,+∞).角度3.利用导数解决函数零点问题 (1)求f(x)的单调区间;(2)当a≤1时,求函数f(x)在区间(0,e]上零点的个数.令f'(x)=0,得x=e1-a,f'(x)及f(x)随x的变化情况如表所示: 所以f(x)的单调递增区间为(0,e1-a),单调递减区间为(e1-a,+∞). ①当a=1时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,e]上单调递减.又f(1)=0,故f(x)在区间(0,e]上只有一个零点.②当a<1时,1-a>0,e1-a>1,则f(e1-a)= <0,所以f(x)在区间(0,e]上无零点.综上,当a=1时,f(x)在区间(0,e]上只有一个零点;当a<1时,f(x)在区间(0,e]上无零点.规律方法　利用导数研究函数的零点或方程根的方法是借助于导数研究函数的单调性,极值(最值),通过极值或最值的正负、函数的单调性判断函数图象走势,从而判断零点个数或者通过零点的个数求参数范围.变式训练5[2023天津河北期中]已知函数f(x)= .(1)判断函数f(x)的单调性,并求出函数f(x)的极值;(2)讨论方程f(x)=a(a∈R)的解的个数.(2)由(1)知,在区间(-∞,1)内,f(x)为增函数,在区间(1,+∞)内,f(x)为减函数,当x→-∞时,f(x)→-∞,当x→+∞时,f(x)→0,且f(x)>0.函数f(x)的草图如图所示.当a≤0时,函数y=f(x)的图象与直线y=a有1个交点,方程f(x)=a有1个解,专题四　生活中的优化问题1.对于生活中的最优化问题一般转化为函数的最值问题,其关键是要审清题意,建立正确的函数模型,然后借助导数研究函数的单调性求解.2.解决最优化问题,提升数学建模和数学运算的核心素养.【例6】 某超市销售某种商品,据统计,该商品每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克,其中4≤x≤15)满足:当4≤x≤9时,y=a(x-9)2+ (a,b为常数);当9≤x≤15时,y=-5x+85.已知当销售价格为6元/千克时,每日售出该商品170千克.(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;(2)若该商品的销售成本为3元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该商品所获利润f(x)最大.解 (1)因为x=6时,y=170;又x=9时,y=-5×9+85=40, (2)由(1)知,当4≤x<9时,每日销售利润f(x)=[10(x-9)2+ ](x-3)=10(x-9)2(x-3)+240=10(x3-21x2+135x-243)+240,∴f'(x)=30(x-5)(x-9).当4≤x<5时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当5245,∴销售价格为5元/千克时,每日利润最大.规律方法　解决优化问题的步骤(1)分析问题中各个数量之间的关系,建立适当的函数模型,并确定函数的定义域.(2)通过研究相应函数的性质,如单调性、极值与最值,提出优化方案,使问题得以解决.在这个过程中,导数是一个有力的工具.(3)验证数学问题的解是否满足实际意义.变式训练6如图,某小区内有两条相互垂直的道路l1与l2,平面直角坐标系的第一象限有块空地OAB,其边界OAB是函数y=f(x)的图象.前一段OA是函数 图象的一部分,后一段AB是一条线段,测得A到l1的距离为8米、到l2的距离为16米,OB长为32米.现要在此地建一个社区活动中心,平面图为直角梯形PQBD(其中PQ,DB为两个底边).(1)求函数y=f(x)的解析式;(2)设梯形的高为t米,则当t为何值时,社区活动中心的占地面积最大.