人教B版高中数学选修3 6-1-1《导数的概念及其意义课时2》教学设计

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《导数的概念及其意义》教学设计课时2导数的概念一、本节内容分析本节的主要知识内容是平均变化率、导数及导数的几何意义,在众多变化率问题中,教材选择了物理中的高台跳水运动的速度问题和几何学中圆锥曲线的抛物线问题,这两类问题来自不同的学科领域,把生活中直观感受的变化率转化为数学中可以度量的变化率,解决问题时都采用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法.对学生来说,一个是生活中的物理问题,一个是熟悉的数学问题,这样的设计既可以引起学生的学习兴趣,又可以减少因背景复杂而形成对数学知识的干扰.学生学会先求函数的导数,继而求函数在某点处的切线的斜率与切线的方法,通过实际问题的引入加深对几何意义的理解和应用,使学生自然的接受新知识的教授.本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析在学习本节内容之前,学生已经学习了速度问题和抛物线问题,知识的引入比较简单直接,所以本节引入难度不是很大,但是大部分学生对极限含义的理解有一定的困难,导数概念的本质是极限,本教材没有介绍极限形式化定义及相关知识,而是通过列表计算,直观把握函数变化趋势,在此过程中学生可以很好的理解并建立导数的概念.本部分知识涉及大量的计算和相关符号,对于学生的计算能力和符号的正确运用的考查也是很关键的.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.变化率问题2.导数的概念3.导数的几何意义【教学目标设计】1.了解平均变化率的概念.2.利用学生对瞬时速度的理解,逐步达到对导数概念和基本方法的直观准确的理解.3.理解导数的几何意义,体会导数在刻画函数性质中的作用.【教学策略设计】学生体验用平均速度逼近瞬时速度,割线斜率逼近切线斜率,这是求瞬时速度,求切线斜率的重要方法,也是建立导数概念的重要支持,学生在高中数学学习过程中对“观察、分析、归纳、概括、抽象”的概念建立过程有了较多的体会和认知.教学中利用预设问题激发学生思考,问题的设置体现由特殊到一般的认知规律;在学生充分经历瞬时速度的计算和切线斜率的计算过程后,引导学生归纳概括导数概念,强化学生数学抽象核心素养的形成;通过割线逼近切线,割线斜率逼近切线斜率的过程,引导学生借助直观想象理解导数的几何意义.【教学方法建议】情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________【教学重点难点】重点:1.了解函数的变化率、平均变化率.2.理解瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数概念.3.理解导数的几何意义及“数形结合、以直代曲”的思想方法.难点:1.通过大量实例,使学生学会用数学的度量来描述平均变化率,体会函数的内涵与思想.2.准确理解导数概念,体会极限思想.3.发现、理解并应用导数的几何意义.【教学材料准备】1.常规材料:计算器、多媒体课件、____________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:接下来我们思考这样的问题.【情境设置】探究导数的几何意义和瞬时速度观察问题1中的函数的图象,平均速度的几何意义是什么?瞬时速度呢?师:上面两个问题我们采用由“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法,下面我们用这个方法研究更为一般的问题.对于函数,设自变量从变化到,相应地,函数值就从变化到函数.这时,的变量为的变量为.我们把比值,即称为从到的平均变化率.师:什么是导数呢?让我们来探究导数的概念.【设情境 巧激趣】通过对瞬时速度的探究,采用平均变化率逼近瞬时变化率的方法,引出导数的概念,激发学生的学习兴趣.教学精讲【要点知识】导数的概念一般地,当时,平均变化率无限趋近于一个确定的值,即有极限,则称在处可导,并把这个确定的值叫做在处的导数,记作或,即.【概括理解能力】通过师生实践研究,动手操作,集体交流等活动总结出导数的概念,这个过程培养了学生的概括能力,增加了学生对概念的深化理解.师:从导数的概念中,我们需要注意哪些问题?【引导学生思考,合作交流,回答问题,教师予以肯定,师生总结】【归纳总结】对导数的理解1.函数应在点的附近有定义,否则导数不存在.2.在定义导数的极限式中,趋近于0,可正、可负、但不为0,而可能为0.3.导数即为函数在处的瞬时变化率.4.是函数对自变量在范围内的平均变化率.5.,当时,,所以(定义的变形).师:由导数的定义可知,问题1中运动员在时的瞬时速度,就是函数在处的导数;问题2中抛物线在点处的切线的斜率,就是函数在处的导数.实际上,导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率,如效率、国内生产总值(GDP)的增长率等.【活动学习】学生通过实践操作总结出导数概念,在概念的形成过程中学生已经对概念上需要注意的问题有所把控,可以自主总结归纳,通过交流培养学生自主发现问题,解决问题的能力.师:根据所学来看例题.【典型例题】导数概念的应用例1 求函数在附近的平均变化率,并求出在该点处的导数.师:根据上面的例题如何求函数在点处的导数?具体步骤是什么?【引导学生合作交流,回答问题,自主提炼概括主要部分,教师予以肯定】【典例解析】导数概念的应用解 ,.【分析计算能力】根据所学知识,分析具体数据,让学生自主计算,提高对概念的理解和运用.师:让我们总结一下求导数的方法.【归纳总结】求函数在点处的导数的方法1.一差:求函数的增量.2.二比:求平均变化率.3.三极限:取极限,得导数.师:下面我们再看下一道例题.【典型例题】导数概念的应用例2 设,求.【学生自主思考,回答.教师总结归纳出解题过程】【典例解析】导数概念的应用解 .【活动学习】通过导数的概念应用举例的实践,学生通过交流活动自主总结,活动学习的效果明显.师:我们继续看下一个例题.【典型例题】根据导数定义求导数例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热,如果第时,原油的温度(单位:为,计算第时和第时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.生解:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率就是和.根据导数定义,所以,同理可得:.师:在第时和第时,原油温度的瞬时变化率分别为和,说明在附近,原油温度大约以的速率下降,在第附近,原油温度大约以的速率上升.注:一般地,反映了原油温度在时刻附近的变化情况.【分析计算能力】例3对学生求导过程和计算的准确度要求较高,所以教师可以适时提醒孩子计算中的主要变形过程,提升变形技巧.【教师引导学生思考.学生独立完成的具体运算过程】师:请看下一例题.【典型例题】根据导数定义求导数例4 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶,假设时汽车的速度(单位:为,求汽车在第与第时的瞬时加速度,并说明它们的意义.师:瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率.因此,在第与第时,汽车的瞬时加速度分别为.生解:在第和第时,汽车的瞬时加速度就是和.根据导数的定义,所以,同理可得.在第与第时,汽车的瞬时加速分别是与.说明在第附近,汽车的速度每秒大约增加;在第附近,汽车的速度每秒大约减少.【简单问题解决能力】应用举例3,4让学生通过丰富的实例辨别出它们具有的共同特征,认识到导数可以描述任何事物的瞬时变化率,从而加深对导数的理解.师:本节课通过“平均变化率”逼近“瞬时变化率”的思想方法,抽象出函数从到的平均变化率,进而形成导数的概念,前面探究从平均速度到瞬时速度的过程和方法,从特殊推向一般的思想和方法,以及利用所学知识解决实际问题的思想方法,都具有非常重要的作用.【师生活动】教师引导学生回顾本节所学内容,进行归纳整理.【课堂小结】导数的概念1.理解并掌握导数概念.2.正确运用数学符号正确地求导.【设计意图】导数的相关概念在物理学、工程学中有广泛的应用,在灵活掌握概念的基础上提高运用能力,使学生学会运用数学工具解决实际问题.教学评价本部分学习注重以学生为主体,每一个知识的引入和发现都学生自己得出,课堂上教师给予学生充足的思考空间,保证学生书写过程清楚,表达正确,尽量正确使用规范的符号语言.本节课学习从源头上说明导数的意义,让学生充分理解导数知识来源于生活.【设计意图】通过动手实践,学生经历探究导数的几何意义的建构过程,从而准确理解导数的几何意义,应用大量实例,使学生体会思想方法和应用的广泛.培养了学生的概括理解,分析计算能力和数学运算、逻辑推理核心素养.应用所学知识,完成下面各题:1.求函数在附近的平均变化率,取都为,哪一点附近平均变化率最大?解析:直接代入公式计算平均变化率,比较大小即可.在附近的平均变化率为;在附近的平均变化率为;在附近的平均变化率为.若,则.由于在附近的平均变化率最大.2.两个学校开展节能活动,活动开始后两学校的用电量、与时间(天)的关系如图所示,则一定有( )A.比节能效果好.B.的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率大.C.两学校节能效果一样好.D.与自节能以来用电量总是一样大.解析:由图象可知,对任意的,曲线在处的切线比曲线在处的切线要“陡”,所以,比节能效果好,A正确,C错误;由图象可知,,则的用电量在上的平均变化率比的用电量在上的平均变化率要小,B选项错误;由于曲线和曲线不重合,D选项错误.答案:3.已知,若,则的值等于( )A. B. C. D.解析:本题只需根据导数的定义可得,因此,则.答案:4.曲线在点处的切线方程是________.解析:本题利用导数的几何意义求曲线切线的步骤解题.因为,切点为,所以斜率,所以切线方程为,即.答案:【分析计算能力】根据所学平均变化率的知识,分析具体数据,让学生自主的计算,提高对概念的理解和运用.【综合问题解决能力】学生在理解导数概念的基础上进行审题,强化导数几何意义,提高综合问题解决能力.教学反思本节课在正确理解函数平均变化率的问题和导数的概念等知识的基础上,研究导数的几何意义,由于新教材涉及极限,尽量采用形象直观的方式,提高学生的动手能力,注重多媒体的使用和数形结合思想的应用,使学生深刻体会导数的几何意义和“以直代曲”的思想,即在利用导数几何意义研究具体实际问题时,某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替,从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的,并通过对例题的研究,让学生体验导数与切线斜率的关系,并感受导数应用的广泛性,应提供学生多实践,多练习的机会,提高计算能力和概念的认知能力.【以学定教】启发并引导学生理解函数变化率、导数的概念和几何意义,熟练掌握导数概念的表示方法和利用导数几何意义求切线的解题步骤,提高综合问题的解决能力.【以学论教】通过教师引导学生阅读教材,归纳探究,解决有关导数问题,课堂上教师采用活动学习、意义学习的策略,使得学生掌握导数概念及其几何意义,达到较好的学习效果.必备知识学科能力学科素养高考考向变化率问题学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象直观想象数学运算【考查内容】1.利用导数的几何意义求曲线在某点处(过某点)的切线方程或者根据斜率求切点坐标2.导数的几何意义和解析几何的知识联系综合解题【考查题型】填空题、解答题导数的概念数学抽象直观想象数学运算导数的几何意义数学抽象直观想象数学运算逻辑推理核心知识1.变化率问题2.导数的概念3.导数的几何意义直观想象数学抽象逻辑推理数学运算核心素养