第30讲 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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1.结合具体事例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义，能够借助图象理解参数A、ω、φ的意义，了解参数的变化对函数图象的影响；
2.掌握y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确指出其变换步骤.
1 A,ω,φ对f(x)=Asinωx+φ(A>0,ω>0)的影响
A影响函数f(x)的最值，ω影响函数f(x)周期(T=2πω)，φ影响函数f(x)水平位置.

2 函数的变换
(1) 平移变换
① y=fx⟶ y=f(x±a)(a>0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；
② y=fx⟶y=fx± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).
(2) 伸缩变换
① y=fx⟶ y=A fxA>0
将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A0
将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω0)将y=f(x)图像沿x轴向左(右)平移a个单位(左加右减)；
② y=fx⟶y=fx± b (b>0)将y=f(x)图像沿x轴向上(下)平移b个单位(上加下减).
解析
f(x)=3sin(2x+π3)向左平移π4个单位，得到的函数不是f(x)=3sin(2x+π4+π3)，
而是f(x)=3sin[2(x+π4)+π3].
(2) 伸缩变换
① y=fx⟶ y=A fxA>0
将y=f(x)图像横坐标不变，纵坐标伸长到原来的A倍(A>1伸长，A0
将y=f(x)图像纵坐标不变，横坐标缩到原来的1ω倍( ω>1缩短，ω0,ω>0)的影响
A影响函数f(x)的最值，ω影响函数f(x)周期(T=2πω)，φ影响函数f(x)水平位置.

解析
对A,ω,φ的理解，想象下把y=sinx看成一个人，
(1) A影响他的身高，A>1时就“个子长高”，00，|φ|0,ω>0,|φ|0,ω>0,0≤φ≤π)的图象如图所示．
(1)求函数fx的解析式；
(2)首先将函数fx的图象上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，然后将所得函数的图象向右平移π6个单位长度，最后再将所得函数的图象向上平移1个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在0,π2内的值域．
【题型三】 函数y＝Asin(ωx+φ)性质的综合应用
【典题1】 关于函数f(x)=cs2x-23sinxcsx，有下列命题：
①fx的最小正周期为π； ②函数f(x)的图象关于x=π3对称；
③f(x)在区间-2π3,-π6上单调递增；
④将函数f(x)的图象向左平移5π12个单位长度后所得到的图象与函数y=2sin2x的图象重合．
其中正确的命题是( )
A．①②③B．②④C．①③D．①②④
【典题2】已知函数fx=23sinxcsx-2cs2xx∈R.
(1)求函数fx的最小正周期及单调递增区间；
(2)将函数fx的图象向左平移φ+π12个单位长度，再向上平移1个单位长度得到gx的图象，若φ∈0,π,tanφ=34，求函数gx在0,π2上的取值范围.
变式练习
1. 若函数fx=sinωx+3csωx (ω>0)在区间[a,b]上是减函数，且fa=1，fb=-1，b-a=π，则ω=( )
A．13B．23C．1D．2
2.已知函数fx=sin2x+φ(φ0在0,π2上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是( )
A．103,143 B．103,143 C．4,143 D．4,143
4.已知函数fx=sinωx+π3ω∈Z，x∈0,π3时，fx=32有唯一解，则满足条件的ω的个数是( )
A．5B．6C．7D．8
5.已知函数fx=sin(ωx+π4)(00，φ0,φ0,0