人教A 版 2019 高中数学高一上学期（必修一）期末高频考点题型专题训练-21 诱导公式（教师版+学生版）

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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc17249" 考点1 诱导公式 PAGEREF _Tc17249 \h 1
\l "_Tc15359" 【热考题型1】利用诱导公式给角求值 PAGEREF _Tc15359 \h 2
\l "_Tc29976" 【热考题型2】利用诱导公式给值（式）求值 PAGEREF _Tc29976 \h 4
\l "_Tc6498" 考点2 运用诱导公式化简求值 PAGEREF _Tc6498 \h 5
\l "_Tc21618" 【热考题型3】利用互余互补关系求值 PAGEREF _Tc21618 \h 5
\l "_Tc10089" 【热考题型4】利用诱导公式化简求值 PAGEREF _Tc10089 \h 7
\l "_Tc28227" 【热考题型5】三角函数恒等式证明 PAGEREF _Tc28227 \h 9
\l "_Tc13797" 易错题型(练易错) PAGEREF _Tc13797 \h 10
\l "_Tc14369" 高分必刷(刷高分) PAGEREF _Tc14369 \h 17
考点1 诱导公式
诱导公式
诱导公式一：，，，其中
诱导公式二： ， ，，其中
诱导公式三： ， ，，其中
诱导公式四：， ，，其中
诱导公式五：， ，其中
诱导公式六：， ，其中
【记忆口诀】奇变偶不变，符号看象限
说明：①先将诱导三角函数式中的角统一写作；
②无论有多大，一律视为锐角，判断所处的象限，并判断题设三角函数在该象限的正负；
③当为奇数是，“奇变”，正变余，余变正；当为偶数时，“偶不变”函数名保持不变即可．
诱导公式图示总结
1、公式二～四
注：诱导公式中角α可以是任意角，要注意正切函数中要求α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z.
2、诱导公式五、六
\l "_Tc17993" 【热考题型1】利用诱导公式给角求值
【典型例题1】（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用同角三角函数的商数关系和诱导公式得到答案.
【详解】，
故选：D．
【变式训练1】（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】应用诱导公式结合特殊角计算求解.
【详解】.
故选:C.
【变式训练2】（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简得到一个锐角三角函数，最后得出结果。
【详解】.
故选：C.
【变式训练2】求下列各值.
(1)；(2)；(3)；
(4)；(5)；(6).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).
【详解】（1）;
（2）;
（3）;
（4）;
（5）;
（6）.
\l "_Tc17993" 【热考题型2】利用诱导公式给值（式）求值
【典型例题1】已知，则（ ）
A．B．C．D．2
【答案】C
【分析】由三角函数的诱导公式和同角的三角函数化简可得.
【详解】.
故选：C
【变式训练1】已知，则（ ）
A．1B．C．5D．
【答案】A
【分析】先根据诱导公式求出，然后将所求式化弦为切代值计算即得.
【详解】，
则.
故选：A.
【变式训练2】若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先利用诱导公式化简，再利用同角三角函数的基本关系求齐次式的值.
【详解】因为.
故选：B
【变式训练3】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式结合齐次式问题分析求解即可.
【详解】因为，解得.
故选：B.
考点2 运用诱导公式化简求值
诱导公式化简求值技巧
（1）应用诱导公式化简求值的一般思路：
①化大角为小角；
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
（2）常见的互余和互补的角：
①常见的互余的角：–α与+α；+α与–α；+α与–α等．
②常见的互补的角：+θ与–θ；+θ与–θ等．
\l "_Tc17993" 【热考题型3】利用互余互补关系求值
【典型例题1】已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】结合诱导公式求得，根据角的范围，利用平方关系求得，即可求出结果.
【详解】由题知，，
所以，，
又，所以，
所以，
所以.
故选：B
【变式训练1】已知，且，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先应用同角三角函数关系得出，再应用诱导公式计算求解即可.
【详解】因为，所以，则，
．
故选：D.
【变式训练2】已知是第一象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用诱导公式求解即得.
【详解】由，得.
故选：D
【变式训练3】若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据范围计算范围，再结合的正负性，得出，则可计算，最后利用诱导公式化简即可.
【详解】，则，
又，则，
故，
.
故选：A
\l "_Tc17993" 【热考题型4】利用诱导公式化简求值
【典型例题1】已知，求 .
【答案】/-0.5
【分析】先利用诱导公式化简函数解析式，再结合特殊角的三角函数值即可求值得解.
【详解】由，
则
故答案为：
【变式训练2】（1）化简.
（2）已知，.若角的终边与角关于轴对称，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用诱导公式化简可得答案；.
（2）由得与的关系，根据角的终边与角关于轴对称，求出，，再利用诱导公式化简所求式子代入可得答案.
【详解】（1）
；
（2）因为，，可得，
由得，
，
所以，可得或，
因为，所以舍去，
由，得
若角的终边与角关于轴对称，
则，，
.
【变式训练3】化简：
【答案】1
【分析】由诱导公式结合同角三角函数关系直接化简计算即可得解.
【详解】因为，，
所以.
故答案为：1.
\l "_Tc17993" 【热考题型5】三角函数恒等式证明
【典型例题1】证明：．
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可.
【详解】左边右边，
所以．
【变式训练1】求证：当k＝2或3时，.
【答案】证明见解析
【详解】证明：当k＝2时，左边＝＝＝＝＝右边；
当k＝3时，左边＝＝＝＝＝右边．
综上，k＝2或k＝3原等式恒成立．
【变式训练2】已知、、为的三个内角，求证：
【答案】证明见解析
【分析】利用三角形的内角和定理可得出，再结合诱导公式可证得原等式成立.
【详解】证明：在中，，则.
所以，
，
故原等式得证.
【变式训练3】（1）求证：；
（2）设，求证.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.
【详解】（1）左边= =右边，所以原等式成立.
（2）方法1：左边= ===右边，所以原等式成立.
方法2：由，得，
所以，等式左边= ===右边，等式成立.
易错题型
1．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式化简已知条件求得的值，再根据同角三角函数基本关系式即可求解.
【详解】，，
，，
，即，
又，，，
，，，
.
故选：C.
2．已知是第二象限角，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式求出，运用同角三角函数关系式求出，再由诱导公式计算可得，得解.
【详解】，则，是第二象限角，则.
.
故选：A.
3．已知，则＝（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件，利用诱导公式及齐次式，即可求解.
【详解】因为，所以，
故选：C.
4． ．
【答案】
【分析】利用诱导公式化简所求表达式，再结合特殊角三角函数值求结论.
【详解】
，
故答案为：.
5． .
【答案】0
【分析】由诱导公式及特殊角三角函数值即可求解；
【详解】，
故答案为：0
6．已知为第一象限角，，则 .
【答案】/
【分析】由同角三角函数的平方关系可得，再由诱导公式化简即可得到结果.
【详解】因为，且为第一象限角，则，
所以.
故答案为：
7．已知，则 ．
【答案】/
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
8．化简： ．
【答案】
【分析】利用诱导公式进行化简即可求得结果.
【详解】
故答案为：.
9．已知，，则 .
【答案】
【分析】由角的取值范围，根据诱导公式与同角三角函数的平方式，可得答案.
【详解】由，则，
所以.
故答案为：.
10．求下列各值.
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7).
【答案】(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).
【详解】（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）.
11．（1）化简：；
（2）已知，求.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用诱导公式及商数关系化简即可求解；
（2）找到角与角的关系，利用诱导公式即可求解.
【详解】（1）.
（2）.
12．已知角的终边过点．
(1)求的值；
(2)若角与角的终边关于轴对称，求．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据三角函数的定义得到，再根据诱导公式化简求值；
（2）根据对称关系得到，再根据两角差的余弦公式计算可得；
【详解】（1）因为角的终边过点，
可知角的终边在第一象限，且，
则.
（2）因为角和角的终边关于轴对称，且，
所以，
因为角的终边在第一象限，所以在第四象限，所以
13．求证：＝．
【答案】证明见解析
【分析】运用诱导公式结合同角三角函数的基本关系将等式两边分别化简，进而证明问题.
【详解】左边
.
右边.
∴左边＝右边，故原等式成立．
14．已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
(1)求，的值；
(2)求的值.
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由三角函数的定义可得.
（2）由同角的三角函数和诱导公式求解即可.
【详解】（1）因为角的终边经过点，且.
所以，.
（2）因为，，，.
且，，，
所以.
15．（1）求值
（2）已知，且，求值
【答案】（1）分类讨论，答案见解析；(2).
【分析】（1）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求值即得.
（2）根据给定条件，确定的范围，再利用诱导公式及平方关系求值.
【详解】（1）当为偶数时，；
当为奇数时，.
（2）由，得，而，
则，所以
.
16．已知角为第三象限角，且
(1)求的值；
(2)化简求值：.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平方关系和商数关系求出，，代入即可;
（2）利用诱导公式化简即可得出答案.
【详解】（1）由题得，又角为第三象限角，
解得，，所以原式；
（2）原式.
高分必刷
1．已知，若，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据同角三角函数关系求解，再结合诱导公式可得的值.
【详解】
又
∴，
则.
故选：D.
2．已知角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式计算可得.
【详解】因为，所以.
故选：B
3．已知，则（ ）
A．4B．0C．D．
【答案】C
【分析】利用诱导公式先对所求式子化简，再利用弦化切即可求得结果.
【详解】.
故选：C
4．（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可.
【详解】.
故选：B.
5．已知角为第四象限角，且，那么等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用三角函数定义以及诱导公式计算可得结果.
【详解】因为，角为第四象限角，
所以，
所以.
故选：D
6．，那么（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】用诱导公式（一）和诱导公式（六）即可化简求解.
【详解】因为，所以，
故选：D．
7．已知锐角满足．则（ ）
A．B．4C．D．2
【答案】B
【分析】利用诱导公式对给定条件化简，再结合换元法求解即可.
【详解】因为，
所以，因为是锐角，所以，
令，则，解得或，
当时，不符合题意，故舍去，当时，符合题意，故B正确.
故选：B
8．设，则的值为（ ）
A．B．C．-1D．1
【答案】A
【分析】根据题意结合诱导公式可得，再利用诱导公式和同角三角函数的基本关系化简，即可得解.
【详解】∵，
∴，
∴．
故选：A.
9．已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据诱导公式进行化简，再根据同角三角函数的基本关系求解即可.
【详解】因为，
所以，
两边平方得，
即，
即，即，
故，
故选：D.
10．已知角的终边过点，则（ ）
A．B．1C．D．
【答案】D
【分析】由三角函数的定义求得，利用诱导公式化为齐次式，进而求解即可.
【详解】因为角的终边过点，所以，
所以
.
故选：D.
11．已知角和的终边关于轴对称，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】由角和的终边关于轴对称，可得，，代入各个选项，根据诱导公式即可判断．
【详解】由角和的终边关于轴对称，可得，，
对于A，由，故A错误；
对于B，由，故B错误；
对于C，由，故C正确，
对于D，由，故D错误，
故选：C．
12．若，则
【答案】/
【分析】换元设，则.然后代入已知条件化简，即可得出，进而得出，然后根据诱导公式化简，即可得出答案.
【详解】由已知可得，，
设，则.
代入已知可化为，
所以，
解得，
所以，
所以.
故答案为：.
13．已知，则 ．
【答案】/0.5
【分析】利用诱导公式化简结合已知即可得结果.
【详解】，
故答案为：.
14．已知，则 ．
【答案】
【分析】借助诱导公式与同角三角函数基本关系计算即可得.
【详解】 .
故答案为：.
15．已知角的终边经过点，则 ．
【答案】
【分析】由任意角三角函数定义结合诱导公式可得答案.
【详解】因为角的终边经过点，
所以，，，
则.
故答案为：
16．证明：，．
【答案】证明见解析
【分析】按的奇偶性分类讨论，用诱导公式变形可证．
【详解】证明：当n为偶数时，令，，
左边．
右边，∴左边=右边．
当n为奇数时，令，，
左边
．
右边，∴左边=右边．
综上所述，，成立．
17．求证：．
【答案】证明见解析
【分析】利用诱导公式化简即可证明；
【详解】证明：左边
=右边，所以原式成立．
18．已知A、B、C是的三个内角，求证；
（1）；
（2）.
【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.
【分析】(1)根据，结合诱导公式即可证明；
(2)根据，结合诱导公式即可证明.
【详解】(1)
.
(2)
.
19．已知，且．
(1)当时，求的值；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】(1) 由求出，进而求出，再将用诱导公式化简后代入计算即可；
(2) 令，将化为关于的二次函数求值域即可．
【详解】（1），平方得，
而，所以，
故，
所以．
（2）令，
则，
，
对称轴为，开口向下，
当时，，
当时，，
当时，，
故函数的值域为.
20．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据对数运算法则结合诱导公式和特殊角的三角函数值求解即可；
（2）根据对数运算法则求解即可.
【详解】（1）原式
；
（2）原式
.
21．（1）已知角顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点．
求值：（ⅰ）；
（ⅱ）
（2）若，求的值．
【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），（2）
【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解（ⅰ），根据诱导公式即可求解（ⅱ），
（2）根据诱导公式即可化简求解.
【详解】（1）由于角的终边经过，
（ⅰ）故，
（ⅱ），
，
（2）
，
故，
22．化简下列各式:
(1)；
(2)
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用诱导公式及同角三角函数的基本关系式，化简求解即可．
（2）利用诱导公式及特殊角的三角函数值求解即可．
【详解】（1）
；
（2）
.
23．求证：.
【答案】证明见解析
【分析】利用切化弦和诱导公式进行化简，即可证明等式；
【详解】左边＝
＝右边．
故原式得证．
终边关系
图示
公式
公式二
角π＋α与角α的终边关于原点对称
sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α
公式三
角－α与角α的终边关于x轴对称
sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α
公式四
角π－α与角α的终边关于y轴对称
sin(π－α)＝sin α，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α