第23讲 同角三角函数的基本关系 2024年新高一暑假数学预习课（人教A版2019必修第一册）（原卷版）

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1.理解并掌握同角三角函数基本关系的推导及应用；
2.会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明.
1同角三角函数基本关系式
sin2 α+cs2 α=1 tanα=sinαcsα
2 拓展
sinα+csα2=1+2 sinα∙csα； sinα-csα2=1-2 sinα∙csα.
【题型一】 sinα、csα、tanα知一求二
相关知识点讲解
同角三角函数基本关系式
sin2 α+cs2 α=1 tanα=sinαcsα
解析
由三角函数的定义，如下图，α的终边与单位圆交于点P(x,y)，
可知sinα=y，csα=x，tanα=yx=(x≠0).
过点P作PH⊥x轴，在Rt∆PHO中，OH2+PH2=OP2=1，
因此x2+y2=1，即sin2 α+cs2 α=1，
当α≠π2+kπ(k∈Z)时， tanα=yx=sinαcsα.
【典题1】 已知x∈0,π，tanx=-22，则csx=( )
A．223B．13C．-223D．-13
变式练习
1.已知α为第四象限角，csα=35，则sinα=( )
A．45B．-45C．34D．-34
2.已知tanα=34，α为第一象限角，则sinα的值为( )
A．35B．45C．-35D．-45
3.已知2cs2θ-csθ=1，θ∈0,π，则sinθ=( )
A．0B．12C．32或0D．32
【题型二】 齐次式问题
【典题1】 已知tanα=2，则3sinα-csαsinα+2csα等于( )
A．54B．-54C．53D．-53

【典题2】已知sinα+3csα2csα-sinα=2，则cs2α+2sinαcsα=( )
A．23B．32C．-23D．-32
变式练习
1. 已知tanα=2，则5sinα+csa2sinα-csα=( )
A．13B．113C．53D．2
2.已知tanα=-23，则-2csαsinα+csα的值为( )
A．-6B．-34C．-43D．34
3.已知tanα=12，则1sin2α-csαsinα=( )
A．-1B．34C．3D．7
4.若tanθ=-2，则sinθ1+2sinθcsθsinθ+csθ=( )
A．-65B．-25C．25D．65
5.已知tanα=3，则csα-cs3αsinα的值为( )
A．34B．310C．35D．23
6.若sinθ+csθsinθ-csθ=2，则sinθ1+2sinθcsθsinθ+csθ=( )
A．-65 B．-25 C．65 D．25
7.已知sinα+2csα=102，则sinαcsαcs2α-sin2α=( )
A．-3B．-13C．-38D．38
8.我圆古代数学家赵爽在注解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为S1，小正方形的面积为S2，若S1S2=25，则3sinα+csα2sinα-csα的值为( )
A．52B．72C．132D．192
【题型三】 sinα+csα、sinα-csα、sinαcsα知一求二
相关知识点讲解
sinα+csα2=1+2 sinα∙csα； sinα-csα2=1-2 sinα∙csα.
【典题1】 已知sinθ+csθ=713，则sinθ-csθ的值为( )
A．1713B．713C．±1713D．±713
【典题2】若A是三角形的一个内角，且sinA+csA=14，则这个三角形的形状是( )
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定
变式练习
1. 已知θ∈-π,0，且sinθ⋅csθ=18，则sinθ+csθ=( )
A．52B．-52C．62D．-62
2.若sinθ,csθ是方程x2-mx+m=0的两根，则m的值为( )
A．1-2B．1+2C．1±2D．-1-2
3.已知sinx+csx=12，则sin3x+cs3x=( )．
A．1116B．916C．58D．78
4.A为△ABC的内角，且sinA+csA=712，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形D．正三角形
5.已知sinα+csα=15，α∈0,π，则tanα-1tanα=( )
A．712B．-712C．-43D．34或-43
【题型四】 综合问题
【典题1】 已知sinα+2csα=102，则sinαcsαcs2α-sin2α=( )
A．-3B．-13C．-38D．38
【典题2】求证：1-2sinθcsθcs2θ-sin2θ=cs2θ-sin2θ1+2sinθcsθ．
变式练习
1. 若α为第二象限角，则1-2sinαcsαcsα-1-cs2α=( )
A．1B．-1C．sinαD．csα
2.《九章算术》是我国古代的数学著作，在《方田》章节中给出了“弦”和“矢”的定义，“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，记圆心角∠AOB=2α，若“弦”为23，“矢”为1时，则12sinα⋅csα+tanα等于( )

A．1B．3C．33D．533
3.已知csα-sinα=2sinαtanα，其中α为第一象限角，则tanα=( )
A．-1B．12C．1D．2
4.若实数α满足csα=tanα，则1sinα+cs4α的值为( )
A．2B．3C．2D．1
5.已知1-sinα=2csα,α∈-π2,π2，则 tanα=( )
A．24B．-24C．22D．-22
6.求证：
(1)1-2sinxcsxcs2x-sinx2=1-tanx1+tanx (2)tan2α-sin2α=tan2α⋅sin2α
7.已知关于x的方程4x2-2m+1x+m=0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值．

【A组---基础题】
1.已知sinα=-35，且π