高中数学人教A版 (2019)必修 第一册诱导公式学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册诱导公式学案，共11页。学案主要包含了学习目标，学习重难点，学习过程等内容，欢迎下载使用。
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用．
2.理解诱导公式的推导过程．
3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
【学习重难点】
重点：1.理解诱导公式的推导过程．
2.能归纳出诱导公式一～四的特点并熟记公式，能应用诱导公式解决问题．
难点：借助单位圆，根据角的终边的对称性推导诱导公式二～四.
【学习过程】
一、课前预习
预习任务一：知识预习
预习课本P188～190，思考并完成以下问题
(1)π±α，－α的终边与α的终边有怎样的对称关系？
(2)诱导公式的内容是什么？
(3)诱导公式一～四有哪些结构特征？
预习任务二：简单题型通关
1．计算sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))的值为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D.eq \f(\r(3),2)
2．已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，则sin(π－α)＝________.
3．若tan(π＋α)＝eq \f(1,3)，则tan α＝________.
二、新知精讲
1．诱导公式二
(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π＋α)＝－sin α，
cs(π＋α)＝－cs α，
tan(π＋α)＝tan α.
2．诱导公式三
(1)角－α与角α的终边关于eq \a\vs4\al(x) 轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(－α)＝－sin α，
cs(－α)＝cs α，
tan(－α)＝－tan α.
3．诱导公式四
(1)角π－α与角α的终边关于eq \a\vs4\al(y) 轴对称．
如图所示．
(2)公式：sin(π－α)＝sinα，
cs(π－α)＝－cs α，
tan(π－α)＝－tan α.
4．α＋k·2π(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．
三、题型探究
题型一 给角求值问题
[例1] 求下列各三角函数值：
(1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,3)))； (2)cseq \f(17π,6)； (3)tan(－855°)．
[归纳总结]
利用诱导公式解决给角求值问题的步骤
[活学活用]
1、计算：(1)taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)＋taneq \f(3π,5)＋taneq \f(4π,5)；
(2)sin(－60°)＋cs 225°＋tan 135°.
题型二 化简求值问题
[例2] 化简：(1)eq \f(cs－αtan7π＋α,sinπ－α)；
(2)eq \f(sin1 440°＋α·csα－1 080°,cs－180°－α·sin－α－180°).
[归纳总结]
利用诱导公式一～四化简应注意的问题
(1)利用诱导公式主要是进行角的转化，从而达到统一角的目的；
(2)化简时函数名没有改变，但一定要注意函数的符号有没有改变；
(3)同时有切(正切)与弦(正弦、余弦)的式子化简，一般采用切化弦，有时也将弦化切．
[活学活用]
2、化简下列各式：
(1)eq \f(\r(1－sin 10°sin 170°),cs 370°＋\r(1－sin2170°))；
(2)eq \f(sinα＋nπ＋sinα－nπ,sinα＋nπcsα－nπ)(n∈Z)．
题型三 给值（或式）求值问题
[例3] 已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值．
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下，求：
(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))的值；
(2)sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))的值．
2．[变条件]若将本例中条件“cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)”改为“sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))”，求cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值．
3．[变条件，变设问]已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3)，求taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))的值．
[归纳总结]
解决条件求值问题的策略
(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
四、达标检测
1．已知sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2)，则sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)－α))的值为( )
A.eq \f(1,2) B．－eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(3),2) D．－eq \f(\r(3),2)
2．下列三角函数，其中n∈Z：
①sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(nπ＋\f(4π,3)))；②cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,6)))；③sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,3)))；④cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,3)))，其中与sin eq \f(π,3)的值相同的是______(填序号)．
3．化简eq \f(sin(540°＋α)·cs(－α),tan(α－180°)).
五、本课小结
1.诱导公式的内容是什么？利用诱导公式一～四化简应注意哪些问题？
2.利用诱导公式解决给角求值问题的步骤？
参考答案
课前预习
1．解析：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)))＝－sin eq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
答案：C
2．解析：因为sin(π－α)＝sin α＝eq \f(\r(5),5)，
所以sin(π－α)＝eq \f(\r(5),5).
答案：eq \f(\r(5),5)
3．解析：因为tan(π＋α)＝tan α，所以tan α＝tan(π＋α)＝eq \f(1,3).
答案：eq \f(1,3)
题型探究
[例1] [解] (1)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(7π,3)))＝－sineq \f(7π,3)＝－sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(π,3)))＝－sineq \f(π,3)＝－eq \f(\r(3),2).
(2)cseq \f(17π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2π＋\f(5π,6)))＝cseq \f(5π,6)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,6)))＝－cseq \f(π,6)＝－eq \f(\r(3),2).
(3)taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－855°))＝－tan 855°＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×360°＋135°))＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝－tan(－45°)＝tan 45°＝1.
[活学活用]
1、解析：(1)原式＝taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(2π,5)))＋taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(π－\f(π,5)))
＝taneq \f(π,5)＋taneq \f(2π,5)－taneq \f(2π,5)－taneq \f(π,5)
＝0.
(2)原式＝－sin 60°＋cs(180°＋45°)＋tan(180°－45°)
＝－eq \f(\r(3),2)－cs 45°－tan 45°
＝－eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)－1
＝－eq \f(\r(2)＋\r(3)＋2,2).
[例2] [解] (1)eq \f(cs(－α)tan(7π＋α),sin(π－α))＝eq \f(cs αtan(π＋α),sin α)＝eq \f(cs α·tan α,sin α)＝eq \f(sin α,sin α)＝1.
(2)原式＝eq \f(sin(4×360°＋α)·cs(3×360°－α),cs(180°＋α)·[－sin(180°＋α)])＝eq \f(sin α·cs(－α),(－cs α)·sin α)＝eq \f(cs α,－cs α)＝－1.
[活学活用]
2、解析：(1)原式＝eq \f(\r(1－sin 10°sin(180°－10°)),cs(360°＋10°)＋\r(1－sin2(180°－10°)))
＝eq \f(\r(1－sin210°),2cs 10°)
＝eq \f(cs 10°,2cs 10°)
＝eq \f(1,2).
(2)法一：当n＝2k，k∈Z时，
原式＝eq \f(sin(α＋2kπ)＋sin(α－2kπ),sin(α＋2kπ)cs(α－2kπ))＝eq \f(sin α＋sin α,sin αcs α)＝eq \f(2,cs α).
当n＝2k＋1，k∈Z时，原式＝
eq \f(sin[α＋(2k＋1)π]＋sin[α－(2k＋1)π],sin[α＋(2k＋1)π]cs[α－(2k＋1)π])
＝eq \f(sin(α＋π)＋sin(α－π),sin(α＋π)cs(α－π))
＝eq \f(－sin α－sin α,(－sin α)(－cs α))
＝－eq \f(2,cs α).
所以原式＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,cs α)，n为偶数，,－\f(2,cs α)，n为奇数.))
法二：原式＝eq \f((－1)nsin α＋(－1)nsin α,(－1)nsin α·(－1)ncs α)＝(－1)neq \f(2,cs α).
[例3] [解] cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝cseq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))
＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
[一题多变]
1．解析：(1)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(13π,6)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(13π,6)－α))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝eq \f(\r(3),3).
(2)sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝sin2eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))))＝sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))
＝1－cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝1－（eq \f(\r(3),3)）2＝eq \f(2,3).
2．解析：因为α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2π,3)，\f(7π,6)))，则α－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))
＝ eq \r(1－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6))))＝ eq \r(1－\f(1,3))＝eq \f(\r(6),3).
3．解析：taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))＝－taneq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,6)＋α))))
＝－taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))＝－eq \f(\r(3),3).
达标检测
1．解析：因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π－α))＝π，
所以sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)π－α))＝sin[π－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))]
＝sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α))＝eq \f(\r(3),2).
答案：C
2．解析：sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(nπ＋\f(4,3)π))＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin \f(π,3) (n为奇数)，,－sin \f(π,3)(n为偶数)，))
cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,6)))＝cs eq \f(π,6)＝sin eq \f(π,3)；
sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)；
cs eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2nπ＋\f(π,3)))＝cs eq \f(π,3)，所以应填②③.
答案：②③
3．解析：原式＝eq \f(sin(360°＋180°＋α)·cs α,－tan(180°－α))
＝eq \f(sin(180°＋α)·cs α,tan α)
＝eq \f(－sin α·cs α,\f(sin α,cs α))
＝－cs2 α.