2024-2025学年重庆市璧山区三校联考八年级下学期7月期末数学检测试卷

这是一份2024-2025学年重庆市璧山区三校联考八年级下学期7月期末数学检测试卷，共40页。试卷主要包含了选择题，填空题，股四等内容，欢迎下载使用。
2024-2025 学年八年级春期数学期末质量监测
（全卷共三个大题，考试时间 120 分钟，满分 150 分）
注意事项：
1 ．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答；
2 ．作答前认真阅读答题卡上的注意事项；
3 ．作图（包括作辅助线）请一律用黑色 2B 铅笔完成；
4 ．考试结束，由监考人员将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：（本大题 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分）在每个小题的下面， 都给出代号为 A 、B 、C 、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡 上题号右侧确答案所对应的方框涂黑．
1 ．二次根式、有意义的条件是( )
A ．x > 2 B ．x ≥ 2 C ．x < 2 D ．x ≤ 2
2 ．下列等式（1）y＝2x +1 ；（2） y = 3x ；（4）y2＝5x - 8 ；（5） 其 中y 是x 的函数有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
3 ．八（3）班七个兴趣小组人数分别为 4 、4 、5 、x 、6 、6 、7，已知这组数据的平均数是
5，则这组数据的中位数是( )
A ．6 B ．5 C ．4 D ．3
4 ．估计 的运算结果应在 ( )
A ．1 到 2 之间 B ．3 到 4 之间 C ．4 到 5 之间 D ．5 到 6 之间
5 ．饭后小刘散步到明镜石公园，先在公园休息一会儿，然后再跑步回家，下面能反映小刘 离家的距离y（单位：m）与时间 x （单位：分）的函数关系的大致图象是( )
A．
B．
C ． D ．
6 ．下列命题是真命题的是( )
A ．两条对角线相等的四边形是矩形
B ．有一个角为直角的平行四边形是菱形
C ．两条对角线互相垂直的平行四边形是正方形
D ．顺次连接四边形各边的中点所构成的四边形是平行四边形
7 ．如图，菱形ABCD 中，O 为BD 的中点，M 为BC 的中点，AM 丄 BC ，OM = 2 ，则AM 的长为( )
A ． B ． C ． D ．
8 ．小明和小亮在同一条笔直的跑道上进行 500 米匀速跑步训练，他们从同一地点出发，先 到达终点的人原地休息，已知小明先出发 2 秒，在跑步的过程中，小明和小亮的距离y （米） 与小亮出发的时间x （秒）之间的函数关系如图所示，下列说法错误的是( )
A ．小明的速度是 4 米/秒； B ．小亮出发 100 秒时到达终点；
C．小明出发 125 秒时到达了终点； D．小亮出发 20 秒时，小亮在小明前方 10 米．
9．已知直线l1 ：y = kx + b 与直线 都经过 ，直线l1 交y 轴于点B(0, 4) ， 交x 轴于点A ，直线l2 交y 轴于点D ，P 为y 轴上任意一点，连接PA 、PC ，有以下说法：
①方程组 的解为 ②△BCD 为直角三角形；③ S△ABD = 3 ；④当 PA + PC 的值最小时，点P 的坐标为(0,1) ．其中正确的说法个数有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个
10 ．如图，在正方形ABCD 中，AB = 5 ，E 为边CD 上一动点（不与端点重合）， AE 交BD 于点 F，过点 F 作FH丄 AE 交BC 于点 H，过点 H 作HG 丄 BD 于点 G，连接AH ，HE ．给 出下列结论：
① AF = HE ；② ÐHAE = 45。；③ ; ④ FH = 2 ．其中正确的个数有( )
A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4
二、填空题：（本大题 8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）请将每小题的答案直 接填在答题卡中对应的横线上．
11 ．一个多边形的内角和与外角和的差为540。，这个多边形是 边形．
12．南开中学举行校园歌手大赛，小南同学的音准与节奏、音色与音质、表现力与情感表达 的得分分别是 85 分，95 分，90 分，若依次按 3：3：4 的比例确定成绩，则小南的最终成绩 是 分．
13 ．如图，一次函数y1 = x + b 与一次函数y2 = kx + 4 的图像交于点P(2, -1)，则关于x 的不 等式x + b < kx + 4 的解集是 ．
14 ．已知点P(1, 2) 关于x 轴的对称点为P¢ , 且P¢ 在直线y = kx + 3 上，把直线y = kx + 3 的图 象向右平移 2 个单位后，所得的直线解析式为 ．
15 ．我国是最早了解勾股定理的国家之一，早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾
三、股四、弦五”这一结论． 勾股定理与图形的面积存在密切的关系， 如图是由两个直角 三角形和三个正方形组成的图形，若Rt△PEF 的面积为 6 ，AC = 13 ，BC = 12 ，则阴影部 分的周长为 ．
16 ．若一次函数y = (a + 2)x - (a - 3) 的图象不经过第四象限，且关于y 的不等式组 的解集是y < 4 ，则满足所有条件的整数a 之和为 ．
17 ．四边形ABCD 是边长为 4 的正方形，点 E 在边AD 所在的直线上，连接CE ，以CE 为 边，作正方形CEFG （点 D，点 F 在直线CE 的同侧），连接BF ，若 BF = 3 ，则 AE 的 长为 ．
18．如图，平行四边形ABCD 在平面直角坐标系xOy 中， A (0, 4) ， B (-3, 0) ，AD = 6 ．若 点 M 在平面直角坐标系内，点 F 在直线AB 上（不在坐标轴上），且以A ，C，F，M 为顶点 的四边形为菱形，则所有符合条件的点 F 的坐标为 ．
三、解答题：（本大题 6 个小题，每小题 13 分，共 78 分）解答时每小题必须给 出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程 书写在答题卡中对应的位置上．
19 ．计算：
(3)先化简，再求值 其中 ．
20．学习了平行四边形的相关知识后，小外进行了拓展性研究．他发现，过平行四边形对角 线的交点作一条直线与一组对边相交于两点，再过对角线的交点作这条直线的垂线，与另一 组对边相交于两点，可利用证明三角形全等得到这四点形成的四边形是菱形，根据他的思路 完成以下作图和填空：
(1)如图，在四边形ABCD 中，点O 是对角线的交点，过O 点的直线EF 分别交边AB ，CD 于E ，F ，用尺规过点 O 作EF 的垂线，与边AD ，BC 分别相交于G ，H ，连接 EH ，
HF ，FG ，GE （不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）所作的图形中，求证：四边形 EHFG 是菱形． Q 四边形ABCD 是平行四边形，
: ① , AO = CO
:ÐEAO = ÐFCO ，
在 △EAO 和 △FCO 中，
ÐEAO = ÐFCO , AO = CO , ② :△EAO≌△FCO（ASA）
: OE = OF ，
同理可得 ③
: 四边形EHFG 是平行四边形． 又Q EF 丄 GH ，
: 四边形EHFG 是菱形．
21 ．为了解学生对 DeepSeek 等智能软件的使用情况，某校举办了智能软件使用技能竞
赛．现从八、九年级的学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、 描述、分析．所有学生的成绩均高于 60 分（成绩得分用 x 表示，共分成四组：
A ．90 < x ≤ 100 ；B ．80 < x ≤ 90 ；C．70 < x ≤ 80 ；D ．60 < x ≤ 70 )，下面给出了部分信息：
八年级抽取 20 名学生的竞赛成绩为：
65 ，66 ，70 ，75 ，77 ，81 ，82 ，82 ，82 ，83
84 ，87 ，88 ，89 ，92 ，95 ，96 ，98 ，98 ，100
九年级抽取 20 名学生的竞赛成绩在 B 组的数据是：81 ，88 ，85 ，87 ，86 ，82．
八、九年级所抽学生的竞赛成绩统计表九年级所抽学生的竞赛成绩统计图
年级
八年 级
九年 级
平均 数
84.5
84.5
中位 数
83.5
b
众数
a
79
方差
102.75
122.5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a = ，b = ，m = ；
(2)请根据以上数据进行分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的技能竞赛成绩较好？ 请说明理由（写出一条理由即可）；
(3)若该校八年级有 800 名学生，九年级有 600 名学生，请估计八年级和九年级两个年级竞 赛成绩为优秀（80 < x ≤ 100 ）的学生共有多少名？
22．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用 300 元购进了A 、B 两种哪吒玩偶．已知 一个 B 种哪吒玩偶是一个 A 种玩偶价格的 2 倍，且购进两种玩偶的数量共 15 个．
(1)求购进A 、B 两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进A 、B 两种哪吒玩偶共 80 个，且 A 种哪吒玩偶 的数量不多于 B 种哪吒玩偶数量的 2 倍，问此次购进至少要花多少钱？
23 ．如图 1，在四边形 ABCD 中， ÐB = 45。，AD ⅡBC ，AD = 4 ，
动点 P 从点A 出发，沿折线 A→B→C 运动，到达 C 点时停止运动．点 P 在线段AB 上的运 动速度为每秒 ·2 个单位长度，在线段BC 上的运动速度为每秒 3 个单位长度．设点 P 的运 动时间为 x 秒（0 < x < 9 ）， △DPC 的面积为y：
(1)请直接写出y 与 x 的函数关系式；
(2)在如图 2 所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质
(3)结合函数图象，若直线y = 3x + m 与该函数图象有 1 个交点，请直接写出 m 的取值范围．
24．在数学探究性学习中经常会用到从特殊到一般、类比化归等数学思想和方法， 如下是一 个具体的探究性学习案例，请完善整个探究过程．
问题呈现过点C(a, b) 的直线y = kx + c(k, c 为常数且k ≠0) 分别交x 轴的正半轴和y 轴的正
半轴于点A 和B ，探究并说明 是定值．
(1)特例探究如图 1，过点C(2, 2) 的直线y= -2x + 6 分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，求 的值；
(2)一般证明
① a = 2,b = 3 时，直接写出 @求出的值；
(3)类比推广如图 2，已知H(-4, 0), T (0, 2) ，点M在x 轴的正半轴上，过M且不与y 轴平行 的直线l 交直线HT 于第一象限点N ，若总有 请探究：直线l 是否过定点，如 果是，请求出定点坐标；如果否，请说明理由．
1 ．B
【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 掌握二次根式的被开方数是非负数，是解 题的关键．
根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，解不等式即可．
【详解】二次根式 ·、有意义的条件是被开方数x - 2 ≥ 0 ．
解得x ≥ 2 ．
故选：B．
2 ．B
【分析】函数的定义： 设在某变化过程中有两个变量x、y ，如果对于x 在某一范围内的每一 个确定值，y 都有唯一确定的值与它对应，那么就称y 是x 的函数．
【详解】（1）、（2）满足对于x 在某一范围内的每一个确定值，y 都有唯一确定的值与它对 应，符合函数的定义；
（3）| y |= 3x ，当 x =1 时，y 有两个值与之对应，所以y 不是x 的函数；
（4）y2＝5x - 8 ，当 x =2 时，y 有两个值与之对应，所以y 不是x 的函数；
（5） ，当 x =1 时，y 有两个值与之对应，所以y 不是x 的函数；
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数的定义，知晓函数的定义并且准确的判断出结论是解决本题的关 键．
3 ．B
【分析】本题可先算出 x 的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中 位数．
【详解】解：∵某班七个兴趣小组人数分别为 4 ，4 ，5，x ，6 ，6 ，7 ．已知这组数据的平均 数是 5，
:x ＝5×7−4−4−5−6−6−7 ＝3，
:这一组数从小到大排列为：3 ，4 ，4 ，5 ，6 ，6 ，7， :这组数据的中位数是：5．
故选：B．
【点睛】本题考查的是中位数和平均数的定义，熟知中位数的定义是解答此题的关键．
4 ．C
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算， 利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算等 知识．熟练掌握二次根式的乘法运算，利用二次根式的性质进行化简，无理数的估算是解题 的关键．
由题意知 由 可得 即
然后判断作答即可．
解
即 故选：C．
5 ．C
【分析】本题考查函数图象的识别，解题的关键是理解题意，能够利用排除法求解． 根据小刘的活动方式及活动轨迹，利用排除法求解．
【详解】解：小刘最后跑步回家，因此最后的 y 值为 0，排除 A 选项；
小刘在公园休息一会儿，因此中间有一段时间y 值不变，排除 D 选项；
小刘散步到公园，再从公园跑步回家，因此回家用时较少，排除 B 选项， 故选 C．
6 ．D
【分析】本题考查了命题与定理的知识， 解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形、正方 形的判定方法，难度不大．
利用平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故错误，是假命题；
B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是菱形，故错误，是假命题；
C、不是正方形两条对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 不是正方形，故错误，是假命题；
D、顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，正确，是真命题， 故选：D．
7 ．C
【分析】本题考查了菱形的性质， 中位线定理，勾股定理，解题关键是熟悉上述知识，并能 熟练运用求解．
先利用中位线定理求出菱形的边DC 的长，再利用菱形的性质求得AB ，从而可得 BM ，再
利用勾股定理求得AM 的长．
【详解】解：∵O 为BD 的中点，M 为BC 的中点， : MO 是 △BCD 的中位线 ，
: DC = 2OM = 4 ，
∵四边形ABCD 是菱形， : AB = BC = CD = 4 ，
∵ AM 丄 BC ，
故选：C ．
8 ．D
【分析】先求出两人的速度，以及图象中的b 、c 的值，由此即可判断． 【详解】解：根据题意，t = 0 时，小明出发 2 秒行驶的路程为 8 米，
所以，小明的速度= 8 ÷ 2 = 4 米/ 秒，故 A 正确，
Q 先到终点的人原地休息，
:100 秒时，小亮先到达终点，故 B 正确，
: 小亮的速度= 500 ÷ 100 = 5 米/ 秒， b = 5 × 100 - 4 × (100 + 2) = 92 （米) ； c = 100 + 92 ÷ 4 = 123 （秒) ，
: 小明出发 125 秒时到达了终点，故 C 正确，
小亮出发 20 秒，小亮走了20× 5 = 100 米，小明走了22 × 4 = 88 米， 100 - 88 = 12 米，
: 小亮在小明前方 12 米，故 D 错误．
故选：D．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，求出两人的速度是解题的关键，学会读懂题目信息， 搞清楚路程、速度、时间之间的关系，属于中考常考题型．
9 ．D
【分析】根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；求出
D (0,1) ，得到BC2 + CD2 = BD2 ，得到△BCD 为直角三角形；求得BD 和AO 的长，根据三角形面积计算公式，即可得到△ABD 的面积；根据轴对称的性质以及两 点之间，线段最短，即可得到当PA + PC 的值最小时，点 P 的坐标为(0,1) ．
【详解】解：①∵直线l1 ：y = kx + b 与直线 都经过
故①正确，符合题意；
②把B(0, 4) ，C (çè - , ÷代入直线l1 ：y = kx + b ，可得
解得
:直线l1 ：y = 2x + 4 ，
y = - x +1 中，令x = 0 ，则 y = 1， : D (0,1) ，
: BD = 4 -1 = 3 ，BC2 = ç(è 0 - 2 + èç(4 - ö,÷2 = ，CD2 = (çè 0 - 2 + ç1- ö,÷2 = ，
:△BCD 为直角三角形， ÐBCD = 90。， 故②正确，符合题意；
③在直线l1 ：y = 2x + 4 中，令y = 0 ，则 x = -2 ， : A (-2, 0)，
: AO = 2 ，
故③正确，符合题意；
④点 A 关于y 轴对称的点为A¢ (2, 0)，
由点 C、A¢ 的坐标得，直线CA¢ 的表达式为： ， 令x = 0 ，则 y = 1，
:当PA + PC 的值最小时，点 P 的坐标为(0,1) ， 故④正确，符合题意；
综上所述，正确的有①②③④ , 一共 4 个．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象与性质，三角形面积以及最短距离问题，解答本题的 关键要明确：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解 决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
10 ．B
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质， 连接CF ，延长 HF 交AD 于L ，证明 △ADF≌△CDF (SAS)，得出 FC = AF ，
ÐECF = ÐDAF ，再证明 FH = AF ，得出 AF < EH ，即可判断①；由等腰直角三角形的性 质即可判断②；连接AC 交BD 于O ，则BD 丄 AC ，证明 △AFO≌△FHG (AAS) ，得出FG = AO ， 求出 即可判断③；根据直角三角形的性质即可判断④；熟 练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
【详解】解：①连接CF ，延长 HF 交AD 于L ，
∵ BD 为正方形ABCD 的对角线， : 上ADB = 上CDF = 45° ,
∵ AD = CD ，DF = DF ， : △ADF≌△CDF (SAS)，
: FC = AF ，上ECF = 上DAF ， ∵ 上ALH + 上LAF = 90° ,
: 上LHC + 上DAF = 90° ,
∵ 上ECF = 上DAF ， : 上FHC = 上FCH ， : FH = FC ，
: FH = AF ， ∵ FH 丄 AE ， : FH < EH ，
: AF < EH ，故①错误；
②∵ FH 丄 AE ，FH = AF ， : 上HAE = 45° ,故②正确；
③连接AC 交BD 于O ，则 BD 丄 AC ，
∵ 上FAO = 上HFG ，上AOF = 上FGH ，AF = HF ， : △AFO≌△FHG (AAS) ，
: FG = AO ，
故③正确；
④若 则 ，
: AH < AB ，这与直角三角形的斜边大于直角边矛盾，故④错误； 综上所述，正确的有②③,共 2 个，
故选：B．
11 ．7##七
【分析】本题考查了多边形的内角和与外角和的公式，n 变形内角和公式：(n - 2)×180° , 借助公式即可解出答案．
【详解】解：设这个多边形的边数为 n， 由题意得：(n - 2)×180° - 360° = 540° ,
解得：n = 7 ，
:这个多边形是 7 边形， 故答案为：7．
12 ．90
【解析】略
13 ．x < 2 ## 2 > x
【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，正确理解一次函数与一元一次不等式间的 关系是解题的关键．从函数的角度看，就是寻求使y2 = kx + 4 的值大于y1 = x + b 的自变量的 取值范围，即在两直线交点的左侧部分自变量的值是不等式的解集，由此即得答案．
【详解】根据图象得，当 x < 2 时，x + b < kx + 4 ， 即关于x 的不等式x + b < kx + 4 的解集是x < 2 ．
故答案为：x < 2 ．
14 ．y = -5x +13
【分析】此题主要考查了一次函数图形与几何变换，先利用点P(1, 2) 关于x 轴的对称点为P¢ , 求出点P¢ (1, -2) ，再根据点在一次函数图像上，可得出y = -5x + 3 ．最后根据一次函数图像 的平移可得出答案．
【详解】解：点P(1, 2) 关于x 轴的对称点为P¢ , : P¢ (1, -2) ，
: P¢ 在直线y = kx + 3， : k + 3 = -2 ，
: k = -5 ，
:直线y = -5x + 3 ，
把直线y= -5x + 3 向右平移 2 个单位后，
所得的直线解析式为y = -5(x - 2) + 3 = -5x +13 ， 故答案为：y = -5x +13．
15 ．28
【分析】本题主要考查了勾股定理的运用、正方形的性质等知识点， 掌握勾股定理的内容是 解题的关键．
先根据勾股定理和正方形的性质可得EF = AB = 5 ，再根据勾股弦图可得PE2 + PF2 = 25 ，再 结合Rt△PEF 的面积为 6 可得2PE . PF = 24 ，再运用完全平方公式可得PE + PF = 7 ，最后再 求周长即可．
【详解】解：根据勾股定理得
:EF = AB = 5 ，
:正方形AEFB 的面积是 25， :PE2 + PF2 = 25 ，
Q Rt△PEF 的面积为
: 2PE . PF = 24 ，
:(PE + PF)2 = PE2 + PF2 + 2PE . PF = 49 ， 即PE + PF = 7 ， : 阴影部分的周长为4(PE + PF ) = 28 ．
故答案为：28．
16 ．5
【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一元一次不等式组的解集求参数，不等式组的整
ì a + 2 > 0
数解，由一次函数的图象可得 íl- (a - 3) ≥ 0 ，得到 -2 < a ≤ 3 ，又根据不等式组的解集可得
a ≥ -1 ，即得-1≤ a ≤ 3 ，得到a 的整数值，把它们相加即可求解，掌握一次函数的图象和解 不等式组是解题的关键．
【详解】解：∵一次函数y = (a + 2)x - (a - 3) 的图象不经过第四象限，
ì a + 2 > 0
: íl- (a - 3) ≥ 0 ，
解得-2 < a ≤ 3 ，
又不等式组 由 ① 得，y ≤ a + 5 ，
由 ② 得，y < 4 ，
∵不等式组的解集是y < 4 ， : a + 5 ≥ 4 ，
: a ≥ -1 ，
: a 的取值范围为-1≤ a ≤ 3 ，
: a 的整数值为-1 ，0 ，1 ，2 ，3 ，
:满足所有条件的整数a 之和为-1+ 0 +1+ 2 + 3 = 5 ， 故答案为：5 ．
17 ．1 或
【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识， 作辅助线 构建直角三角形全等是解决问题的关键．分点 E 在线段AD 上，在线段DA 延长线上，在线 段AD 延长线上三种情况，过F 作FH 丄 AD交直线AD 于点H ，作 FM 丄 AB 于M ，证明
△EFH≌△CED ，通过全等三角形的性质用 AE 表示出MF，AM ，求出 BM ，由勾股定理建立 方程求解即可得出答案．
【详解】解：当点 E 在线段AD 上时，过F 作FH 丄 AD交AD 的延长线于点H ，作FM 丄 AB 交BA 延长线于M ，如图所示，则四边形 AMFH 是矩形，
: FM = AH ，AM = FH ，
Q 四边形ABCD 与EFGC 四边形是正方形，
:EF = EC, 上CEF = 90° , 上H = 上EDC = 90° , :上FEH + 上CED = 90°, 上FEH + 上EFH = 90°,
:上EFH = 上CED ，
:△EFH≌△CED (AAS)，
:FH = DE ，EH = CD = 4 ， : AM = FH = ED ，
: AE + DE = AD = 4，DH + ED = 4 ， : AE = DH，DE = 4 - AE ，
: MF = AH = 4 + AE，AM = 4 - AE
:BM = AB + AM = 8 - AE ，
在Rt△BMF 中，由勾股定理得BF2 = BM 2 + MF2 ，
: AE = 5 （舍去）或 AE = -1 （舍去），故此种情况不成立；
如图所示，当点 E 在DA 延长线上时，过F 作FH 丄 AD于点H ，作 FM 丄 AB 交BA 延长线 于M ，
同理可得AM = FH = DE = 4 + AE ，MF = AH = 4 - AE ，
:BM = AB + AM = 8 + AE ，
在Rt△BMF 中，由勾股定理得BF2 = BM 2 + MF2 ，
解得AE = 1或AE = -5 （舍去）；
如图所示，当点 E 在AD 延长线上时，过F 作FH 丄 AD交直线AD 于点H ，作FM 丄 AB 交 BA 延长线于M ，
同理可得AM = FH = DE = AE - 4 ，MF = AH = AE - 4 ，
:BM = AB + AM = AE ，
在Rt△BMF 中，由勾股定理得BF2 = BM 2 + MF2 ，
解得 或AE = 2 - （舍去）；
综上所述，AE 的长为 1 或 ．
故答案为 ．
18 ．(3, 8) 或 或
【分析】本题考查的是平行四边形的性质、坐标与图形及菱形的判定， 分情况：① AC、AF 是邻边，点 F 在射线AB 上时；② AC、AF 是邻边，点 F 在射线BA 上时；③ AC 是对角线 时，作 AC 垂直平分线交射线 AB 于点F3 ；④ AF 是对角线时， AF 的垂直平分线经过点 C ， 分别求出即可．
【详解】解：连接 AC ，
在YABCD 中，AD∥BC, AD = BC ， QA(0, 4) ， B (-3, 0) ，AD = 6 ，
:BC = AD = 6 ，
:OB = 3, OC = 6 - 6 = 3 ，
设直线AB 的解析式为y = kx + b ，把 A(0, 4) ， B (-3, 0) 代入，
解得：
:直线AB 的解析式为
① AC、AF 是邻边，点 F 在射线AB 上时 所以点 F 与 B 重合，
即F1 (-3, 0) ，由题意舍去
② AC、AF 是邻边，点 F 在射线BA 上时， :M 在射线AD 上，且AD 垂直平分FC ，
: FC = 2OA = 8 ， : F2 (3,8) ；
③ AC 是对角线时，作AC 垂直平分线交射线AB 于点F3 ，
设 QA(0, 4), C (3, 0)
: AC 的中点N (çè , 2
在Rt△ANF 中，AN2 + NF2 = AF2
解得：
④ AF 是对角线时，AF 的垂直平分线经过点C ，
( 4 ö
设Fçèm, 3 m + 4,÷
QA(0, 4), C (3, 0)
( 1 2 ö
: AF 的中点Gçè2 m, 3 m + 4,÷
在Rt△AGF 中，AG2 + CG2 = AC2
解得： 或m = 0 （不合题意舍去）
综上所述，所有符合条件的点 F 的坐标为(-3, 0) 或(3,8) 或 ç - , - ÷或(çè - , ． 故答案为：(3, 8) 或 或
19 ．(1)2 (2) -8
(3) ― ―，
【详解】解：（1） ― 6 + = ― 6 × + （ -2）
=
4+2
4―3
― 2 ― 2
= 4 + 2 — 2 — 2
=2；
= -8．
x―2 (x―3)2 x―3
= 2(x―3)•―(x+2)(x―2) + 2x
= — +
―2x―4+2x
=
x―3
当x = + 3时，原式
20 ．(1)作图见解析；
(2) ① AB Ⅱ CD ， ②上AOE = 上COF ， ③GO = HO ．
【分析】本题主要考查了过直线上一点作已知直线的垂线、平行四边形的性质、菱形的判定．
(1) 由平行四边形的性质可知点O 是线段EF 的中点，分别以点E 、F 为圆心，大于EF 的 长度为半径画弧，两弧分别交于两点，过两点作直线GH ，即为所求；
(2) 根据平行四边形的性质可知AB Ⅱ CD ，AO = CO ，根据平行线的性质可知上EAO = 上FCO ， 利用ASA 可证 △EAO≌△FCO ，根据全等三角形的性质可证OE = OF ，同理可证OG = OH ， 根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可证四边形EHFG 是平行四边形，又由作图 可知EF 丄 GH ，从而可证四边形 EHFG 是菱形．
【详解】（1）解：如下图所示，
分别以点E 、F 为圆心，大于EF 的长度为半径画弧， 两弧分别交于两点，过两点作直线GH ，
直线GH 丄 EF 即为所求，
连接EH ，HF ，FG ，GE 即可；
（2）证明：Q 四边形ABCD 是平行四边形， : ① AB Ⅱ CD ，AO = CO
:上EAO = 上FCO ，
在 △EAO 和 △FCO 中，
上EAO = 上FCO , AO = CO , ②上AOE = 上COF ， :△EAO≌△FCO（ASA）
: OE = OF ，
同理可得 ③GO = HO ，
: 四边形EHFG 是平行四边形． 又Q EF 丄 GH ，
: 四边形EHFG 是菱形．
故答案为： ① AB Ⅱ CD ， ②上AOE = 上COF ， ③GO = HO ．
21 ．(1)82 ，81.5 ，30；
(2)八年级学生竞赛成绩较好，理由见解析；
(3)该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是930 人．
【分析】本题主要考查扇形统计图及中位数、众数、平均数，样本估计总体．
（1）根据表格及中位数及众数的定义进行求解；
（2）根据平均分、中位数及众数分析即可得出结果；
（3）样本估计总体可进行求解．
【详解】（1）解：根据八年级学生竞赛成绩可知：82 出现次数最多，则众数为 82，即 a = 82 ，
九年级竞赛成绩中A 组：20 × 25% = 5 （人），
B 组：6（人），所占百分比为
D 组：所占百分比为15% ，
C 组：6 人，所占百分比为m% = 1- 25% - 30% -15% = 30% ，则 m = 30 ，
:九年级的中位数为从大到小排列的第10、11 个同学竞赛成绩的平均数，
由于5 + 6 = 11，中位数为 B 组第5、6 个同学竞赛成绩的平均数 故答案为：82 ，81.5 ，30；
（2）解：八年级学生竞赛成绩较好，理由：
八、九年级的平均分均为84.5 分，八年级的中位数高于九年级的中位数，整体上看八年级学 生竞赛成绩较好；
解 （人），
答：该校八、九年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数约是930 人．
22 ．(1)购进A 、B 两种哪吒玩偶的单价分别是30 元，60 元
(2)最少要花 3210 元钱
【分析】本题考查了分式方程的应用， 一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握 相关性质内容是解题的关键．
（1）先设设购进 A 、B 两种哪吒玩偶的单价分别是x 元，2x 元，再依题意列出 进行计算，即可作答．
（2）先设该玩具店购进A 种哪吒玩偶r 个，则该玩具店购进B 种哪吒玩偶(80 - r )个，根据A 种哪吒玩偶的数量不多于B 种哪吒玩偶数量的 2 倍，得r ≤ 2(80 - r )，解得 再设购 进A 、B 两种哪吒玩偶所需w 元，得w = -30r + 4800 ，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：:一个B 种哪吒玩偶是一个A 种玩偶价格的 2 倍，
:设购进A 、B 两种哪吒玩偶的单价分别是x 元，2x 元，
:某玩具店决定各用300 元购进了A 、B 两种哪吒玩偶．购进两种玩偶的数量共 15 个．
解得x = 30 ，
经检验：x = 30 是原分式方程的解，
则2x = 2 × 30 = 60 （元）
:购进A 、B 两种哪吒玩偶的单价分别是30 元，60 元，
（2）解：:该玩具店决定再次购进A 、B 两种哪吒玩偶共 80 个，
:设该玩具店购进A 种哪吒玩偶r 个，则该玩具店购进B 种哪吒玩偶(80 - r )个，
∵ A 种哪吒玩偶的数量不多于B 种哪吒玩偶数量的 2 倍， : r ≤ 2(80 - r ) ，
解得 ，
设购进A 、B 两种哪吒玩偶所需w 元，
∵ A 、B 两种哪吒玩偶的单价分别是30 元，60 元， : w = 30r + 60 (80 - r ) = -30r + 4800 ，
∵ -30 < 0 ，
: w 随着r 的增大而减小， 且r 为正整数，
:当r =53时， w 有最小值，且w = -30× 53 + 4800 = 3210 ， 即此次购进至少要花 3210 钱．
(2)图象见详解，当0 < x ≤ 5 时，y 随 x 的增大而增大
(3) -27＜m＜10 或m = 15
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的 运算，熟练掌握一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算是 解题的关键；
（1）过点 A 作AE 丄 BC 于点 E，由题意易得 然后分当点 P 在线段AB 上时，当点 P 在线段BC 上时，进而分类求解即可；
（2）根据（1）中函数解析式可进行画函数图象，然后问题可求解；
（3）根据（2）中函数图象可进行求解．
【详解】（1）解：过点 A 作AE 丄 BC 于点 E，如图所示：
∵ 上B = 45° ,
: △ABE 是等腰直角三角形，
当点 P 在线段AB 上时，由题意得： 则 过点 P 作PF 丄 BC 于 点 F，延长 FP 交AD 的延长线于点 G，如图所示，
: △PFB 是等腰直角三角形，
: △APG 是等腰直角三角形， : PG = AP = x ，
: y = S梯形ABCD - S△APD - S△BPC
= 4x +10 ；
当点 P 在线段BC 上时，如图，
由题意得
综上所述
（2）解：所作函数图象如下所示：
:该函数的一条性质是当0 < x ≤ 5 时，y 随 x 的增大而增大；
（3）解：当 y = 3x + m 经过点(5,30) 时，则30 = 15 + m ，即 m = 15 ， 当y = 3x + m 经过点(0,10) 时，则m = 10 ，
当y = 3x + m 经过点(9, 0) 时，则0 = 27 + m ，即 m = -27 ，
:要使y = 3x + m 与该函数图象有 1 个交点，则需满足-27＜m＜10 或m = 15 ．
24 ．(1)
(2)①1 ；②1；
(3)是，(2,1)
【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及一次函数的图象和性质，函数表达式的求解 等知识，解题的关键是：
AO = 3 ，OB = 6 ，则
（2）①先求出点A 、B 的坐标分别为： 、(0, c) ，将点C 的坐标，a = 2 ，b = 3 代入 一次函数表达式得：3 = 2k + c ，然后代入计算可；
②由①知 则
（3）待定系数法求出直线HT 的表达式为 ，设直线l 的表达式为：y = mx + n ，联 立方程组求出点 求出HN = - ，HM = ，代入
,整理得 y = mx + n = m (x - 2) + 1 ，即可求解．
即可求解．
【详解】（1）解：当 x =0 ，则 y = 6 ；当 y = 0 ，则 -2x + 6 = 0 ，解得 x = 3 ， :直线y= -2x + 6 分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，
:点A 、B 的坐标分别为：(3, 0) 、(0, 6) ，
: AO = 3 ，OB = 6 ，
则
（2）解：①当x = 0 ，则y = c ；当 y = 0 ，则 kx + b = 0 ，解得 x = - ， :直线y = kx + c 分别交x 轴和y 轴于点A 和B ，
∴点A 、B 的坐标分别为
将点C 的坐标代入一次函数表达式得：b = ak + c ， ∴当a = 2 ，b = 3 时，3 = 2k + c ，
∴ c = 3 - 2k ，
故答案为：1；

（3）解：设直线 HT 的表达式为：y = k1x + b1 ，
则 解得
设直线l 的表达式为：y = mx + n ，
联立上述两式得： x + 2 = mx + n ，
解得 则点
由点H 、N 的坐标得，NH2 = (çè- + 4,ö÷2 + (çè,ö÷2 = ，则
解得：n = 1 - 2m ，
则y = mx + n = m (x - 2) + 1 ， 当x = 2 时，y = 1，
即直线l 过定点(2,1) ．