2023-2024学年重庆市璧山区八年级（上）期末数学试卷-普通用卷

这是一份2023-2024学年重庆市璧山区八年级（上）期末数学试卷-普通用卷，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在一些黑体字中，有的汉字是轴对称图形，在下面的4个汉字中，可以看成是轴对称图形的是( )
A. 我B. 爱C. 中D. 国
2.下列式子中，是分式的是( )
A. 1xB. 12xC. −xπD. x+y5
3.下列计算正确的是( )
A. (a−b)2=a2−b2B. a6÷a2=a3
C. (−a3)⋅a3=a6D. 2xx+1+2x+1=2
4.如图，点B、E，C，F在同一条直线上，AB=DE，要使△ABC≌△DEF，则需要再添加的一组条件不可以是( )
A. ∠A=∠D，∠B=∠DEF
B. BC=EF，AC=DF
C. AB⊥AC，DE⊥DF
D. BE=CF，∠B=∠DEF
5.已知点A(2,a)关于x轴的对称点为点B(b,−3)，则a+b的值为( )
A. 5B. 1C. −1D. −5
6.如果一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是( )
A. 8B. 9C. 10D. 11
7.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲)，然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为( )
A. a2−b2=(a−b)2B. (a+b)2=a2+2ab+b2
C. (a−b)2=a2−2ab+b2D. a2−b2=(a+b)(a−b)
8.已知a+b=5，ab=−2，则a2−ab+b2的值是( )
A. 30B. 31C. 32D. 33
9.在等边三角形ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，P点的位置在( )
A. △ABC的重心处
B. AD的中点处
C. A点处
D. D点处
10.阅读理解：如果a−1a=1，我们可以先将等式两边同时平方得到(a−1a)2=1，再根据完全平方公式计算得：a2−2a⋅1a+1a2=1，即a2−2+1a2=1，所以a2+1a2=3.请运用上面的方法解决下面问题：如果x2−2x−1=0，则x2+1x2的值为( )
A. 2B. 4C. 6D. 8
二、填空题：本题共8小题，每小题4分，共32分。
11.要使分式m3m−2有意义，则m ______．
12.若七边形的内角中有一个角为100°，则其余六个内角之和为______．
13.因式分解a2+a−6的结果是______．
14.等腰三角形的一个角80°，它的另外两个角的度数分别为______．
15.如图，△ABC≌△A′BC′，∠ABC=66°，∠C=40°，此时点A恰好在线段A′C′上，则∠ABA′的度数为______．
16.如图，将长方形纸片ABCD沿其对角线AC折叠，使点B落在点B′的位置，AB′与CD交于点E.若AB=8，AD=3，求图中阴影部分的周长______．
17.若关于x的一元一次不等式组x+52≥5x3−1x+a<8的解集为x≤3，且关于y的分式方程a2−y+yy−2=−1的解是正数，则所有满足条件的整数a的值之和是______．
18.对于一个四位数M，若其千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称数M为“等合数”.例如：数3465，∵3+6=4+5，∴3465是“等合数”，数2364，∵2+6≠3+4，∴2364不是“等合数”，则最大的“等合数”为______；若“等合数”M各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M′，若F(M)=|M−M′|9为完全平方数，则满足条件的M的最值为______．
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
(1)分解因式：x3−9x；
(2)化简：(y+2)(y−2)−(y−1)2．
20.(本小题10分)
学习了轴对称后，小璧和小山来到乡村振兴基地进行了实践性研究.如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙三家农户.如果∠C=90°，∠B=30°，要使这三家农户所得土地的大小、形状都相同.小山认为可以先作∠A的平分线交BC于点D，然后再过点D作BC边的垂线即可，小壁思考片刻后认为小山的方法复杂了，她还有更简洁的方法就可以做到——只需要作边AB的垂直平分线一条辅助线即可办到.请聪明的你根据小璧的思路完成以下作图与填空：
(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线MN交BC于点D，垂足为点E.(只保留作图痕迹)
(2)已知：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，边AB的垂直平分线MN交BC于点D，垂足为点E，连接AD．
求证：S△ADC=S△ADE=S△BDE．
证明：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB= ______，
由作图可知AE=BE，DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DEB=∠C=90°，
∴△EDA≌△EDB(SAS)，
∵DE垂直平分AB，
∴DA= ______，
∴∠DAE= ______，
∴∠DAC=∠CAB−∠DAE=60°−30°=30°，
∴∠DAC= ______，
∴△EDA≌△CDA(AAS)，
∴△EDA≌△EDB≌△CDA，
∴S△ADC=S△ADE=S△BDE．
21.(本小题10分)
先化简，再求值：(x+2x2−2x−x−1x2−4x+4)÷x−4x，其中x=12．
22.(本小题10分)
如图，点D，E分别在AB，AC上，∠ADC=∠AEB=90°，BE，CD相交于点O，OB=OC．
求证：∠1=∠2．
小虎同学的证明过程如下：
(1)小虎同学的证明过程中，第______步出现错误；
(2)请写出正确的证明过程．
23.(本小题10分)
某公司不定期为员工购买某预制食品厂生产的杂酱面、牛肉面两种食品．
(1)该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，此时杂酱面、牛肉面的价格分别为15元、20元，求购买两种食品各多少份？
(2)由于公司员工人数和食品价格有所调整，现该公司分别花费1260元、1200元一次性购买杂酱面、牛肉面两种食品，已知购买杂酱面的份数比牛肉面的份数多50%，每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，求购买牛肉面多少份？
24.(本小题10分)
上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC=30°，∠NBC=60°．
(1)求从海岛B到灯塔C的距离；
(2)这条船继续向正北航行，问在上午或下午的什么时间小船与灯塔C的距离最短？
25.(本小题10分)
已知：在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且∠ACB=90°，AC=BC．
(1)如图1，A(0,−2)，C(1,0)，当点B在第四象限时，则点B的坐标为______；
(2)如图2，若BO平分∠ABC，交AC于D，过A作AE⊥y轴，垂足为E，则AE与BD之间的数量关系是______，并证明；
(3)如图3，当点C在x轴正半轴上运动，点A在y轴正半轴，点B在第四象限时，作BD⊥y轴于点D，试判断①OC+BDOA与②OC−BDOA中是定值(只填序号)，定值为______．
26.(本小题10分)
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，点D为AB的中点，点E为线段AB上一动点．

(1)如图1，当点E在线段BD上时，若BC=3 3，BE= 3，求线段DE的长．
(2)如图2，当点E在线段AD上时，以CE为边作等边△CEF，点G是BC上一点，EC=EG.求证：AE=CG．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
C.是轴对称图形，故本选项符合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】A
【解析】解：1x是分式；
12x，−xπ，x+y5是整式．
故选：A．
根据分式的定义进行解答即可．
本题考查的是分式的定义，熟知一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：A.(a−b)2=a2−2ab+b2，故A不符合题意，
B.a6÷a2=a4，故B不符合题意，
C.(−a3)⋅a3=−a6故C不符合题意，
D.2xx+1+2x+1=2，故D符合题意，
故选：D．
利用完全平方公式、同底数幂的乘法与除法，分别分析各个选项即可得出正确答案．
本题考查了完全平方公式、同底数幂的乘法与除法，较简单．
4.【答案】C
【解析】解：A、可用ASA判定两个三角形全等；
B、根据SSS能判定两个三角形全等；
C、无法判定两个三角形全等；
D、根据SAS可以证明三角形全等．
故选：C．
此题是一道开放性题，实则还是考查学生对三角形全等的判定方法的掌握情况．此处可以运用排除法进行分析
本题考查全等三角形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单．
根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数得出a，b的值，从而得出a+b．
【解答】
解：∵点A(2,a)关于x轴的对称点是B(b,−3)，
∴a=3，b=2，
∴a+b=3+2=5．
故选：A．
6.【答案】A
【解析】解：多边形的外角和是360°，根据题意得：
180°⋅(n−2)=3×360°
解得n=8．
故选：A．
根据多边形的内角和公式及外角的特征计算．
本题主要考查了多边形内角和公式及外角的特征．求多边形的边数，可以转化为方程的问题来解决．
7.【答案】D
【解析】解：由图1将小正方形一边向两方延长，得到两个梯形的高，两条高的和为a−b，即平行四边形的高为a−b，
∵两个图中的阴影部分的面积相等，即甲的面积=a2−b2，乙的面积=(a+b)(a−b)．
即：a2−b2=(a+b)(a−b)．
所以验证成立的公式为：a2−b2=(a+b)(a−b)．
故选：D．
分别根据正方形及平行四边形的面积公式求得甲、乙中阴影部分的面积，从而得到可以验证成立的公式．
本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式求证明a2−b2=(a+b)(a−b)．
8.【答案】B
【解析】解：∵a+b=5，ab=−2，
∴a2−ab+b2=(a+b)2−3ab=25+6=31．
故选：B．
先根据完全平方公式变形，再把已知等式代入计算即可求出值．
此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2．
9.【答案】A
【解析】解：连接BP，
∵△ABC是等边三角形，D是BC的中点，
∴AD是BC的垂直平分线，
∴PB=PC，
△PCE的周长=EC+EP+PC=EC+EP+BP，
当B、E、E在同一直线上时，
△PCE的周长最小，
∵BE为中线，
∴点P为△ABC的重心，
故选：A．
连接BP，根据等边三角形的性质得到AD是BC的垂直平分线，根据三角形的周长公式、两点之间线段最短解答即可．
本题考查的是三角形的重心的概念和性质，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．
10.【答案】C
【解析】解：∵x2−2x−1=0，
∴x−2−1x=0，
即x−1x=2，
(x−1x)2=4，
所以x2+1x2−2=4，
即x2+1x2=6．
故选C．
把方程两边都除以x得到x−1x=2，再将等式两边同时平方得到(x−1x)2=4，然后根据完全平方公式可计算出x2+1x2=6．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．灵活应用完全平方公式是解决问题的关键．
11.【答案】≠23
【解析】解：由题意得：3m−2≠0，
解得：m≠23，
故答案为：≠23．
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案．
本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键．
12.【答案】800°
【解析】解：由题意可得七边形的内角和为：(7−2)×180°=900°，
∵该七边形的一个内角为100°，
∴其余六个内角之和为900°−100°=800°，
故答案为：800°．
利用多边形内角和公式求得七边形的内角和后与100°作差即可．
本题主要考查多边形的内角和，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
13.【答案】(a−2)(a+3)
【解析】解：a2+a−6=(a−2)(a+3)．
利用十字相乘法进行因式分解即可．
此题主要考查了因式分解，熟练掌握十字相乘法进行因式分解是解决问题的关键．
14.【答案】80°，20°或50°，50°
【解析】解：①当这个角是底角时，另外两个角是：80°，20°；
②当这个角是顶角时，另外两个角是：50°，50°；
故答案为：80°，20°或50°，50°．
没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分两种情况进行分析．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．
15.【答案】32°
【解析】解：∵∠ABC=66°，∠C=40°，
∴∠BAC=180°−66°−40°=74°，
∵△ABC≌△A′BC′，
∴∠A′=∠BAC=74°，AB=A′B，
∴∠A′=∠BAA′=74°，
∴∠ABA′=180°−74°×2=32°．
故答案为：32°．
由三角形内角和定理求出∠BAC=180°−66°−40°=74°，由全等三角形的性质推出∠A′=∠BAC=74°，AB=A′B，由等腰三角形的性质得到∠A′=∠BAA′=74°，于是得到∠ABA′=180°−74°×2=32°．
本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．
16.【答案】22
【解析】解：∵ABCD沿其对角线AC折叠，
∴AB′=AB=8，
阴影部分周长=AD+DE+EA+EB′+B′C+EC
=AD+DE+EC+EA+EB′+B′C
=AD+DC+AB′+B′C
=3+8+8+3
=22，
故答案为：22．
按照折叠后边长不变找到阴影部分周长与原矩形边长的关系，即可求得阴影部分周长．
本题考查翻折变换(折叠问题)以及矩形的性质，较为简单．
17.【答案】12
【解析】解：x+52≥5x3−1①x+a<8②，
由①得：
3(x+5)≥10x−6，
3x+15≥10x−6，
3x−10x≥−15−6，
−7x≥−21，
x≤3，
由②得：x<8−a，
∵关于x的一元一次不等式组x+52≥5x3−1x+a<8的解集为x≤3，
∴8−a≥3，
解得：a≤5，
a2−y+yy−2=−1，
方程两边同时乘y−2得：
−a+y=−(y−2)，
−a+y=−y+2，
2y=2+a，
y=2+a2，
∵关于y的分式方程a2−y+yy−2=−1的解是正数，
∴2+a2>0①2+a2−2≠0②，
由①得：a>−2，
由②得：a≠2，
∴a>−2且a≠2，
综上可知：a的取值范围为：−2∴满足条件的整数a的值为−1，0，1，3，4，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和为：
−1+0+1+3+4+5=12，
故答案为：12．
先解已知条件中的不等式组和分式方程，求出a的取值范围，再求出满足条件的所有整数a的值，最后求出它们的和即可．
本题主要考查了解一元一次不等式组和分式方程，解题关键是熟练掌握解一元一次不等式组和分式方程的一般步骤．
18.【答案】9999 1265或9845．
【解析】解：由“等合数”的定义可得最大的“等合数”为9999；
设“等合数”M为abcd−，
则a+c=b+d，即a−d=b−c，
F(M)=|M−M′|9
=|1000a+100b+10c+d−1000d−100c−10d−a|9
=|999a+90b−90c−999d|9
=|999(a−d)+90(b−c)|9
=|1089(a−d)|9
=121|a−d|，
∵F(M)=|M−M′|9为完全平方数，
∴a−d=b−c=±1或±4，
∵“等合数”M各个数位上的数字互不相同且均不为零，
∴满足条件的M的最小值为1265，最大值为9845；
故答案为：9999；1265或9845．
根据“等合数”的定义可得最大的“等合数”为9999；
设“等合数”M为abcd−，根据“等合数”M各个数位上的数字互不相同且均不为零，将其千位上的数字与个位上的数字对调，百位上的数字与十位上的数字对调，组成一个新的四位数记为M′，若F(M)=|M−M′|9为完全平方数，得到F(M)=121|b−c|，再根据完全平方数的定义得到a−d=b−c=±1或±4，依此分析即可求解．
本题主要考查了质数与合数，完全平方数，理解新定义的运算是解题的关键．
19.【答案】解：(1)x3−9x
=x(x2−9)
=x(x+3)(x−3)；
(2)(y+2)(y−2)−(y−1)2
=y2−4−(y2−2y+1)
=y2−4−y2+2y−1
=2y−5．
【解析】(1)先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可；
(2)根据平方差公式、完全平方公式分别计算即可．
本题考查了分解因式，整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键．
20.【答案】60° DB ∠B ∠DAE
【解析】解：(1)如图：
MN即为所求；
(2)证明：∵∠C=90°，∠B=30°，
∴∠CAB=60°，
由作图可知AE=BE，DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DEB=∠C=90°，
∴△EDA≌△EDB(SAS)，
∵DE垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴∠DAE=∠B，
∴∠DAC=∠CAB−∠DAE=60°−30°=30°，
∴∠DAC=∠DAE，
∴△EDA≌△CDA(AAS)，
∴△EDA≌△EDB≌△CDA，
∴S△ADC=S△ADE=S△BDE．
故答案为：60°，DB，∠B，∠DAE．
(1)用尺规作图作出AB的垂直平分线即可；
(2)根据推理过程填空即可．
本题考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握作已知线段的垂直平分线的尺规作图方法．
21.【答案】解：原式=[x+2x(x−2)−x−1(x−2)2]⋅xx−4
=x2−4−x2+xx(x−2)2⋅xx−4
=x−4x(x−2)2⋅xx−4
=1(x−2)2，
当x=12时，原式=1(12−2)2=49．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22.【答案】(1)二；
(2)证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠BDC=∠CEB=90°，
在△DOB和△EOC中，
∠BDO=∠CEO∠DOB=∠EOCOB=OC，
∴△DOB≌△EOC(AAS)，
∴OD=OE，
在Rt△ADO和Rt△AEO中，
OD=OEOA=OA，
∴Rt△ADO≌Rt△AEO(HL)，
∴∠1=∠2．
【解析】(1)解：小虎同学的证明过程中，第二步出现错误，
故答案为：二；
(2)见答案．
(1)根据全等三角形的判定定理判断；
(2)证明△DOB≌△EOC，根据全等三角形的性质得到OD=OE，再证明Rt△ADO≌Rt△AEO，得到∠1=∠2．
本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．
23.【答案】解：(1)设购买炸酱面x份，牛肉面y份，
根据题意得：x+y=17015x+20y=3000，
解得：x=80y=90．
答：购买炸酱面80份，牛肉面90份；
(2)设购买牛肉面m份，则购买炸酱面(1+50%)m份，
根据题意得：1200m−1260(1+50%)m=6，
解得：m=60，
经检验，m=60是所列方程的解，且符合题意．
答：购买牛肉面60份．
【解析】(1)设购买炸酱面x份，牛肉面y份，利用总价=单价×数量，结合该公司花费3000元一次性购买了杂酱面、牛肉面共170份，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设购买牛肉面m份，则购买炸酱面(1+50%)m份，利用单价=总价÷数量，结合每份杂酱面比每份牛肉面的价格少6元，可得出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)找准等量关系，正确列出分式方程．
24.【答案】解：(1)∵∠NBC=60，∠NAC=30°，
∴∠ACB=60°−30°=30°，
∴AB=BC，
∵AB=15×2=30海里，
∴从海岛B到灯塔C的距离为30海里；
(2)过C作CP⊥AB于P，
则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，
∵∠NBC=60°，∠BPC=90°，
∴∠PCB=90°−60°=30°，
∴PB=12BC=15海里，
∴15÷15=1小时，
∴这条船继续向正北航行，在上午的11时时间小船与灯塔C的距离最短．
【解析】(1)根据已知条件得到∠ACB=60°−30°=30°，
根据等腰三角形的性质得到结论；
(2)过C作CP⊥AB于P，则线段CP即为小船与灯塔C的最短距离，根据直角三角形的性质即可得到结论．
本题考查了含30°直角三角形的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，熟练正确直角三角形的性质是解题的关键．
25.【答案】(3,−1) BD=2AE 1
【解析】解：(1)过点B作BD⊥OD于D，
∵A(0,−2)，C(1,0)，
∴OA=2，OC=1，
∵∠BCD+∠ACO=90°，∠ACO+∠OAC=90°，
∴∠BCD=∠OAC，
在△AOC和△CDB中，
∠COA=∠BDC=90°∠COA=∠BCDAC=BC，
∴△AOC≌△CDB(AAS)，
∴CD=OA=2，BD=OC=1，
∴点B坐标为(3,−1)，
故答案为(3,−1)；
(2)BD=2AE，理由如下：延长BC，AE交于点F，
∵AC=BC，AC⊥BC，
∴∠BAC=∠ABC=45°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠COD=22.5°，∠DAE=90°−∠ABD−∠BAD=22.5°，
在△ACF和△BCD中，
∠DAE=∠CODBC=AC∠BCD=∠ACF=90°，
∴△ACF≌△BCD(ASA)，
∴AF=BD，
在△ABE和△FBE中，
∠ABE=∠FBEBE=BE∠AEB=∠FEB，
∴△ABE≌△FBE(ASA)，
∴AE=EF，
∴BD=2AE，
故答案为BD=2AE；
(3)OC−BDOA是定值，
理由如下：作BE⊥OC于E，则BD=OE，
∵∠CAO+∠ACO=90°，∠ACO+∠BCE=90°，
∴∠CAO=∠BCE，
在△ACO和△BCE中，
∠BEC=∠COA=90°∠BCE=∠CAOBC=AC，
∴△ACO≌△BCE(AAS)，
∴CE=OA，
∴OA+DB=OC．
∴OC−BDOA=1，
故答案为1．
(1)过点B作BD⊥OD于D，由“AAS”可证△AOC≌△CDB，可得OA=CD=2，BD=OC=1；
(2)延长BC，AE交于点F，由“ASA”可证△ACF≌△BCD，可得AF=BD，由“ASA”可证△ABE≌△FBE，可得AE=EF，即可求得BD=2AE；
(3)作BE⊥OC，则BD=OE，由“AAS”可证△ACO≌△BCE，可得CE=OA，可得OA+DB=OC，即可求解．
本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．
26.【答案】(1)解：∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=90°−∠B=90°−60°=30°，
∴AB=2BC=2×3 3=6 3，
又∵点D为AB的中点，
∴BD=12AB=BC=3 3，
∴DE=BD−BE=3 3− 3=2 3．
(2)证明：如图，过点E作EQ⊥BC于点Q，作EP⊥AC于点P，则四边形EPCQ为矩形，

∴EP=CQ，
又∵∠A=30°，
∴AE=2EP，
又∵EC=EG，EQ⊥BC，
∴CG=2CQ，
∴AE=CG．
【解析】(1)由30°角的直角三角形的性质和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可以得到BD=12AB=BC，然后利用线段的和差解题即可；
(2)过点E作EQ⊥BC于点Q，作EP⊥AC于点P，则四边形EPCQ为矩形，然后利用30°角所对的直角边等于斜边的一半得到AE=2EP，利用等腰三角形的三线合一得到CG=2CQ，即可得到结论．
本题考查含30°角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造矩形是解题的关键．证明：∵∠ADC=∠AEB=90°，
∴∠DOB+∠B=∠EOC+∠C=90°．
∵∠DOB=∠EOC，
∴∠B=∠C.……第一步
又OA=OA，OB=OC，
∴△ABO≌△ACO.……第二步
∴∠1=∠2.……第三步