初中数学人教版（2024）九年级上册配方法课时练习

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册配方法课时练习，共25页。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：9大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1：直接配平方法
形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．
如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±；
如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±．
方程x2＝p的解的情况：
注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．
②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．
③方法是根据平方根的意义开平方．
知识点2：配方法
（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．
（2）用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；
⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．
要点诠释：
（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；
（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方.
（3）配方法的理论依据是完全平方公式．
【题型1】用直接开方法解方程
1．用直接开方法解方程．
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】方程变形后利用平方根定义开方转化为两个一元一次方程来求解．
【详解】解：（1）开方得：或，
解得：，；
（2）方程变形得：，
开方得：，；
（3）方程开方得：，
解得：；
（4）方程变形得：，
开方得：，
解得：，．
2．用直接开平方法解下列一元二次方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】各方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解．
【详解】解：（1），即，
开方得：；
（2），即，
开方得：；
（3），即，
开方得：，
解得：，；
（4），即，
开方得：，
解得：，．
3．用直接开平方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）直接开方，再移项、合并同类项即可；
（2）先方程两边都除以2，再直接开方；
（3）先把移项到方程右边，再直接开方；
（4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解．
【详解】解：（1），
，，
（2），
，
或；
（3），
，或
，或，
或；
（4），或，
，或，
，，
或1．
【题型2】直接开配方法的应用
4．关于的方程，下列说法正确的是
A．有两个解B．当 时，有两个解
C．当时，有两个解D．当时，方程无实根
【答案】
【分析】由于，左边是一个完全平方式，所以必须大于等于0才会有意义，然后用直接开平方法进行解答．
【详解】解：在方程中，因为，所以当时，方程才有意义．即有两个解．
故选：．
5．若一元二次方程的两根分别是与，则这两根分别是
A．1，4B．1，C．2，D．3，0
【答案】
【分析】方程的两根互为相反数，据此可得，求得的值，继而可得答案．
【详解】解：由题意知，方程的两根互为相反数，
，
解得，
，，
故选：．
6．已知甲方程式为，乙方程式为．关于甲、乙两方程式的解的情形，下列叙述何者正确？
A．甲有两个相异的解，乙无解
B．甲有两个相异的解，乙有两个相异的解
C．甲有两个相同的解，乙无解
D．甲有两个相同的解，乙有两个相异的解
【答案】
【分析】利用直接开平方法解方程，利用负数没有平方根可判断方程没有实数解，从而可对各选项进行判断．
【详解】解：对于方程，
，
解得，；
对于方程．
因为负数没有平方根，
所以此方程没有实数解．
故选：．
【题型3】 配方
7．将一元二次方程配方后可化为
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先把常数项移到等式的另一边，方程两边都加一次项系数一半的平方，按公式整理即可．
【详解】解：
把一元二次方程变形，
两边都加9，，
．
故选：．
8．将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】利用解一元二次方程配方法进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
，
，
故选：．
9．若关于的一元二次方程可配成，的形式， 25 ．
【答案】25．
【分析】先利用配方法得到，再确定、的值，然后计算的值．
【详解】解：，
，
，
，
所以，，
所以．
故答案为：25．
【题型4】 配方法解方程
10．解方程：．
【分析】根据配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：
，．
11．利用配方法解方程：．
【答案】，．
【分析】先移项，二次项的系数化成1，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，最后求出方程的解即可．
【详解】解：，
，
．
配方得：，
，
开方得：，
解得：，．
12．用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）．
【分析】方程二次项系数化为1，常数项移到右边，然后方程两边加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并，开方即可求出解．
【详解】解：（1）方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：或，
解得：，；
（2）方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：或，
解得：，；
（3）方程变形得：，
配方得：，即，
解得：，；
（4）方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
13．用配方法解下列方程：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）．
【分析】（1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（4）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（5）整理后移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
【详解】解：（1），
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（2），
，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（3），
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（4），
，
，
配方得：，
，
开方得：，
，；
（5），
，
配方得：，
，
开方得：，
，．
【题型5】用配方的非负性求代数式的值
14．已知，求的值为
A．3B．6C．9D．27
【答案】
【分析】依据题意，由，可得，从而，，则，进而计算可以得解．
【详解】解：由题意，，
．
．
，．
．
．
故选：．
15．已知，，满足，，，则的值为
A．B．5C．6D．
【答案】
【分析】题目中的式子相加，然后利用配方法变形为完全平方的形式，再利用非负数的性质即可求得所求式子的值．
【详解】解：，，，
，
，
，
，
，，，
解得，，，，
．
故选：．
【题型6】 用配方法求代数式的最值
16．探究代数式的最小值时，我们可以这样处理：
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以．
所以当时，的值最小，最小值是1．
所以的最小值是1．
依据上述方法，解决下列问题：
（1）当 时，有最小值是 ；
（2）多项式有最 （填“大”或“小” 值，该值为 ；
（3）已知，求的最小值．
【答案】（1）；；
（2）大；17；
（3）．
【分析】（1）（2）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答；
（3）根据题意得到，利用配方法把变形，再根据偶次方的非负性解答．
【详解】解：（1），
，
当时，的值最小，最小值是0．
．
当时，有最小值是，
故答案为：；；
（2），
，
，
有最大值0，
有最大值，最大值为17，
故答案为：大；17；
（3），
，
，
则的最小值为．
17．上数学课时，胡老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答问题：求代数式的最小值．
同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法：
解：．
因为，
所以当时，的值最小，最小值是0．
所以，
所以有最小值，最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列问题：
（1）知识再现：求代数式的最小值；
（2）知识运用：代数式有最 大 （填“大”或“小” 值，这个最值是 ；
（3）知识拓展：若，求的立方根．
【答案】（1）3；
（2）大；；
（3）的立方根是．
【分析】（1）利用配方法把原式变形，再根据偶次方的非负性解答；
（2）同（1）的作法解答；
（3）把配方后：，再利用平方的非负性即可解答．
【详解】解：（1），
，
当时，的值最小，最小值是0，
，
当时，的最小值是3；
（2）
，
则当时，有最大值，最大值是，
故答案为：大；；
（3），
，
，，
，，
，
的立方根是．
【题型7】 用配方法求三角形的周长
18．已知，，为△的三条边．
（1）若，，△的周长是小于17的奇数，求的长．
（2）若△为等腰三角形，且，满足，求△的周长．
【答案】（1）或；
（2）7或8．
【分析】（1）三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围，再根据周长是小于17的奇数进一步确定的范围以及是偶数，据此可得答案；
（2）利用完全平方公式得到，则由非负数的性质可求出、的值，再分腰长为何腰长为两种情况，结合构成三角形的条件讨论求解即可．
【详解】解：（1）已知，，为△的三条边，则，
，，
，
由题意可得：，
，
，
且是偶数，
或；
（2）若△为等腰三角形，且，满足，
，
，
，，
，
，，
，，
当腰长为2时，则该等腰三角形的三边长为2，2，3，
，
此时能构成三角形，
该三角形的周长为；
当腰长为3时，则该等腰三角形的三边长为2，3，3，
，
此时能构成三角形，
该三角形的周长为；
综上所述，该三角形的周长为7或8．
19．阅读材料：若，求，的值．
解：，
，
．
，．
．
阅读上面的材料，解决以下两个问题：
（1）已知，求的值；
（2）已知等腰三角形的三条边分别为，，，其中，满足，求这个等腰三角形的周长．
【答案】（1）；
（2）15．
【分析】（1）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得、的值，从而得到答案；
（2）根据题意，可以将代数式化为两个完全平方和等于0的形式，可以求得，值，根据等腰三角形的定义及三角形的三边关系分别讨论求解即可得到答案．
【详解】解：（1）由条件可知，
，
，，
，，
；
（2）由条件可知，
，
，，
解得，，
当为腰长时，三边分别为3，3，6，因为，不满足三角形任意两边之和大于第三边，所以不能构成三角形，
当为腰长时，三边分别为3，6，6，因为，，满足三角形三边关系，
此时三角形周长为．
综上所述，这个等腰三角形的周长为15．
【题型8】 用配方法判断三角形的形状
20．已知，，为三边长．
（1）求证：．
（2）当，试判断的形状．
【答案】（1）证明过程见解答；
（2）是等边三角形．
【分析】（1）先依据完全平方公式将原式变形为，然后再利用平方差公式进行分解，然后结合三角形的三边关系进行判断即可；
（2）先利用完全平方公式将原式变形为，然后，依据非负数的性质可得到、、之间的关系，从而可对的形状作出判断．
【解答】（1）证明：，
，，为三边长，
，，
，，
；
（2）解：是等边三角形．
理由：，
，
，
，
是等边三角形．
【题型9】 用配方法求特殊方程的解
21．若关于的方程，，均为常数，的解是，，求方程的解．
【答案】，．
【分析】利用直接开平方法得方程的解，则，，再解方程得，所以，．
【详解】解：解方程，，均为常数，得，
而关于的方程，，均为常数，的解是，，
所以，，
方程的解为，
所以，．
22．已知关于的方程，，为常数，的解是，，那么方程的解为
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】先把方程可变形为：，然后根据题意可得：或，从而进行计算即可解答．
【详解】解：方程可变形为：，
由题意得：或，
解得：，，
故选：．
【易错点1】 用配方法解方程时没有把握关键步骤而出错
1．解方程：．
【分析】先去括号得到，再在左右两边同时加上一次项系数4的一半的平方即可求解．
【详解】解：，
，
，
，
，
解得，．
【易错点2】 用配方法解方程时没有把二次项化成1而出错
2．用配方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）．
【分析】各方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式变形后，开方即可求出解．
【详解】解：（1）方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，；
（2）方程变形得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：；
（3）整理得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，．
一．选择题（共8小题）
1．方程的根是
A．B．C．，D．，
【答案】
【分析】利用直接开平方法对所给一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：，
，
则，
所以，．
故选：．
2．用配方法解方程，下列配方法正确的是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】先把常数项移到等号右边，等号两边同时加上一次项系数一半的平方，最后配方即可．
【详解】解：，
，
，
故选：．
3．用配方法解一元二次方程时，化为的形式可得到
A．B．C．D．
【答案】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，继而得出答案．
【详解】解：由条件可得，
则，
即，
故选：．
4．若关于的方程没有实数根，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】
【分析】根据所给一元二次方程，结合完全平方的非负性即可解决问题．
【详解】解：由题知，
因为关于的方程没有实数根，
所以．
故选：．
5．如图是数学课上，解方程接力赛时的接力过程，计算步骤最先出错的是
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】
【分析】根据解一元二次方程的一般步骤即可求解．
【详解】解：，即：，
开方，得：，
则计算步骤最先出错的是甲，
故选：．
6．已知关于的方程，，均为常数，且的两个解是和，则方程的解是
A．，B．，C．，D．，
【答案】
【分析】把后面一个方程中的看作整体，相当于前面一个方程中的求解．
【详解】解：关于的方程的解是，，
方程变形为，
即此方程中或，
解得，．
故选：．
7．若代数式，，则和的大小关系是
A．B．C．D．无法确定
【答案】
【分析】依据题意，由，，可得，又对于任意的实数都有，则，进而可以判断得解．
【详解】解：由题意，，，
．
又对于任意的实数都有，
．
对任意实数，均有，即．
故选：．
8．若关于的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是
A．2018B．2020C．2025D．2030
【答案】
【分析】依据题意，利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最大值即可．
【详解】解：由题意得，，
又，
．
，
，
，
．
当时，能取的最小值是2020，
故选：．
二．填空题（共7小题）
9．方程的解为 ， ．
【答案】，．
【分析】利用直接开方法求解即可．
【详解】解：，
，
，．
故答案为：，．
10．若方程（x+2）2＝m﹣1有解，则m的取值范围是 m≥1 ．
【答案】m≥1．
【分析】根据直接开平方法可得关于m的不等式，进而求解可得．
【详解】解：方程（x+2）2＝m﹣1有解，
∴m﹣1≥0，
∴m≥1．
故答案为：m≥1．
11．关于的方程的解是，，，均为常数，，则方程的解是 ， ．
【答案】，．
【分析】利用换元法对所给一元二次方程进行求解即可．
【详解】解：由题知，
因为关于的方程的解是，，
则由方程得，
或6，
所以，．
故答案为：，．
12．一元二次方程x（x﹣2）＝6的正实数根是 ．
【答案】．
【分析】利用配方法解一元二次方程即可．
【详解】解：原方程配方得：x2﹣2x＝6，
∴x2﹣2x+1＝7，
∴（x﹣1）2＝7，
∴，
∴正实数根是，
故答案为：．
13．用配方法解方程时，可将方程变为的形式，则的值为 14 ．
【答案】14．
【分析】找到一次项系数，等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此即可求解．
【详解】解：将方程配方得：，
，
故答案为：14．
14．把方程配方成的形式为 ．
【答案】．
【分析】先移项得到，再把方程两边加上4，然后把方程左边利用完全平方公式写成完全平方的形式即可．
【详解】解：，
，
．
故答案为：．
15．如果将关于的一元二次方程配方成，那么 ．
【分析】利用配方法对所给一元二次方程进行变形即可．
【详解】解：由题知，
，
，
，
则．
又因为，
所以．
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
16．解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1），；
（2），；
（3），；
（4），．
【分析】（1）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答；
（2）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答；
（3）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答；
（4）利用解一元二次方程直接开平方法进行计算，即可解答．
【详解】解：（1），
，
，
，；
（2），
，
，
，
，；
（3），
，
，
，
，；
（4），
，
，
，
，．
17．用配方法解下列方程：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）．
【答案】（1）；
（2）；
（3），；
（4），；
（5），；
（6），．
【分析】运用配方法的步骤解一元二次方程即可得解．
【详解】解：（1），
，
，
，
；
（2），
，
，
，
，
；
（3），
，
，
，
，
，
，；
（4），
，
，
，
，
，
，；
（5），
，
，
，
，
，
，；
（6），
，
，
，
，
，
，．
18．原题呈现：若，求、的值．
方法介绍：
①看到可想到如果添上常数4恰好就是，这个过程叫做“配方”，同理，恰好把常数5分配完；
②从而原式可以化为由平方的非负性可得且．
经验运用：
（1）若，求的值．
（2）当，，分别取何值时，代数式有最小值？并求其最小值．
【答案】（1）；
（2）当，时，代数式有最小值，最小值为5．
【分析】（1）将已知等式整理，配方，利用偶次方的非负性可求得和的值，从而的值可求；
（2）将已知等式整理，配方，利用偶次方的非负性即可求解．
【详解】解：（1）已知等式整理得：，
即，
，，
解得：，，
；
（2）已知等式整理得：
，
，，，
，
当，，，即，时，
代数式有最小值，最小值为5．