初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程同步练习题

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册一元二次方程同步练习题，共23页。试卷主要包含了一元二次方程的“三要素”，注意事项等内容，欢迎下载使用。
第一步：学
析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习
练题型 强知识：8大核心考点精准练
第二步：记
串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握
第三步：测
过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升
知识点1一元二次方程的概念
1.定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并
且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程
2.一元二次方程的“三要素”
一是整式方程，二是只含一个未知数，三是整理后未知数的最高次数是2
3.对“未知数的最高次数是2”的理解
(1)该项系数不为0:
(2)该项未知数指数为2;
(3)当方程中的二次项系数含有字母时,字母取值不确定,这个方程不一定是一元二次方程.如 ,当m=0时,属于一元一次方程.
知识点2一元二次方程的一般形式
1.一般形式
一元二次方程的一般形式是 (a≠0).其中 是二次项,a是二次项系数;bx是一次项,b是一次项系数;c是常数项.
2.一元二次方程的一般形式的特点:方程右边是0,左边是关于x的二次整式,且二次项系数不为 0.
3.特殊形式
二次项系数不为0,当b取0或c取0时,一元二次方程的一般形式呈现如下情况:
4.注意事项
确定一元二次方程的各项和各项系数时注意不要丢掉前面的符号.一般情况下,将一元二次方程整理为一般形式时,若二次项系数为负数,要乘“-1”把它转化为正数,若有的项系数是分数,要把它转化为整数.
知识点3 一元二次方程的解( 根)
1.概念
使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.如x=2和x=5 都是方程的解(根).
2.一元二次方程的解(根)满足的条件(1)未知数的值;(2)使方程左右两边相等
3.判断一个数是不是一元二次方程的解(根)的方法
4.方法技巧
利用一元二次方程的根求字母的值或代数式的值的方法
（1）求字母的值：可根据一元二次方程的根的定义，把这个根代入原
方程，得到一个含字母的方程，直接解这个方程求出字母的值，
（2）求代数式的值：把待求式灵活变形，运用代入法求值

【题型1】一元二次方程的定义
1．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的判断，根据只含有一个未知数，且含有未知数的项的最高次幂为2的整式方程，叫做一元二次方程，进行判断即可．
【详解】解：A、是一元二次方程，符合题意；
B、不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意；
C、原方程化简得：，不含二次项，不是一元二次方程，不符合题意；
D、含有2个未知数，不是一元二次方程，不符合题意；
故选A．
2．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程叫做一元二次方程判断．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．
【详解】解：
A. ，不是一元二次方程，不符合题意；
B. ，是一元二次方程，符合题意；
C. ，不是一个未知数，不符合题意；
D. ，不是一元二次方程，不符合题意；
故选：B．
3．（2024八年级上·上海·专题练习）判断下列方程是否为一元二次方程：
①；
②；
③；
④；
⑤；
⑥．
【答案】①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是
【分析】本题利用了一元二次方程的概念．根据一元二次方程的定义逐个判定即可求解．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．
【详解】解：①是一元二次方程；
②中有2个未知数，不是一元二次方程；
③是一元二次方程；
④中未知数在分母上，是分式方程，不是一元二次方程；
⑤，即不是一元二次方程；
⑥是一元二次方程；
综上，①是；②不是；③是；④不是；⑤不是；⑥是．
【方法点睛】
一元二次方程的概念可利用口诀记忆：
等号两边是整式，
化简整理右边0，
只含1个未知数，
最高次数是2次
【题型2】一元二次方程的一般形式
4．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）已知一元二次方程，则它的一次项系数为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的概念，形如，且a，b，c为常数，分别称为二次项系数，一次项系数，常数项．据此即可求解．
【详解】解：一元二次方程，则它的一次项系数为，
故选：B．
5．（24-25九年级上·广西贺州·期中）方程化为一元二次方程的一般形式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，首先利用单项式乘以多项式把等号左边展开，然后移项，把等号右边化为，再化简即可．解题的关键是掌握：任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式．
【详解】解：，
，即，
∴，
∴方程化为一元二次方程的一般形式是．
故选：A．
6．（2023九年级上·全国·专题练习）将下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它们的二次项系数、一次项系数及常数项．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
(4)见解析
【分析】先分别将各方程化为一般形式，再指出它们的各部分的名称．
【详解】（1）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是；
（2）解：方程化为一般形式为，二次项系数是9，一次项系数是0，常数项是；
（3）解：方程化为一般形式为，二次项系数是6，一次项系数是2，常数项是；
（4）解：方程化为一般形式为，二次项系数是3，一次项系数是，常数项是．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a，b，c是常数且）特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．特别要注意确认各项系数和常数项一定要包括前面的符号．
【方法点睛】
确足一元一次万程的各贝及具系数，三点注意莫忽视
(1)先把方程化为一般形式，如果二次项系数小于0，一般把方程两边同乘一1，将其二次项系数转化
为大于0的数
(2)指出一元二次方程各项的系数时，注意带上前面的符号，不要漏掉.
(3)特例：若没有出现一次项bx,则b=0:若没有出现常数项，则c=0.
【题型3】由一元二次方程的定义求字母的值
7．（2025·黑龙江佳木斯·二模）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，形如的方程是一元二次方程，据此解答即可求解，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．
【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程，
∴，
∴，
故选：．
8．（24-25九年级上·甘肃武威·阶段练习）若方程是关于的一元二次方程，则 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次幂是2次的整式方程，特别注意二次项系数不为0，正确把握定义是解题关键．
根据一元二次方程的定义得到，即可求解．
【详解】解：由题意得，，
解得：，
故答案为：．
9．（24-25九年级上·湖南永州·期中）已知关于的方程
(1)为何值时，此方程是一元一次方程？
(2)为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数及常数项．
【答案】(1)
(2)当时，此方程是一元二次方程．此一元二次方程的二次项系数为，常数项为
【分析】此题考查了一元二次方程以及一元一次方程的定义，熟练掌握相关定义是解本题的关键．
（1）利用一元一次方程的定义判断即可；
（2）利用一元二次方程的定义判断确定出m的值，进而确定出二次项系数、一次项系数以及常数项即可．
【详解】（1）解：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．
由题意得：，
．
当时此方程是一元一次方程；
（2）由题意得：，
．
当时，此方程是一元二次方程．
此一元二次方程的二次项系数为，常数项为m.
【方法点睛】
确定一元二次方程待定字母的值（或取值范围）的步骤
(1)列：根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数等于2，二次项系数不为零，列出关于某个字母
的方程或不等式组；
(2)解：解方程或不等式组：
(3)定：确定字母的值（或取值范围）.
【题型4】一元二次方程的解
10．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列各数中，哪个是方程的解（ ）
A．B．1C．0D．2
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的解的定义，判断一个数是不是一元二次方程的解，将此数代入这个一元二次方程的左、右两边，看是否相等，若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根．理解和掌握一元二次方程的解的定义解题的关键．将各选项中的的值一一代入方程进行验证即可作出判断．
【详解】解：A．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
B．当时，
左边，右边，左边＝右边，
∴是方程的解，故此选项符合题意；
C．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意；
D．当时，
左边，右边，左边≠右边，
∴不是方程的解，故此选项不符合题意．
故选：B．
11．（23-24九年级上·全国·假期作业）下列哪些数是一元二次方程的根？
．
【答案】1和3
【分析】本题考查的是一元二次方程的解的含义，逐一把数据代入方程进行检验即可．
【详解】解：当时，左边12．
左边右边，
不是一元二次方程的根．
当时，左边，
∵左边右边，
不是一元二次方程的根．
当时，左边．
左边=右边，
是一元二次方程的根．
当时，左边．
左边右边，
不是一元二次方程的根．
当时，左边．
左边=右边，
是一元二次方程的根．
综上可知，1和3是一元一次方程的根．
12．（20-21九年级上·全国·课后作业）在下列各方程后面的括号内分别给出了一组数，从中找出方程的解：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据方程的解的定义，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可．
（2）根据方程的解的定义，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可
【详解】解：（1）把x＝代入原方程，
左边＝2×−6＝0，右边＝0，
∵左边＝右边
∴是方程的解．
把x＝代入原方程，
左边＝2×−6≠0，右边＝0，
∵左边≠右边
∴不是方程的解．
把x＝−代入原方程，
左边＝2×−6＝0，右边＝0，
∵左边＝右边
∴−是方程的解．
把x＝−代入原方程，
左边＝2×−6≠0，右边＝0，
∵左边≠右边
∴−不是方程的解．
（2）把x＝5＋2代入原方程，
左边＝2× ≠24，右边＝24，
∵左边≠右边
∴5＋2不是方程的解．
把x＝5−2代入原方程，
左边＝2×≠24，右边＝24，
∵左边≠右边
∴5−2不是方程的解．
把x＝−5＋2代入原方程，
左边＝2×＝24，右边＝24，
∵左边＝右边
∴−5＋2是方程的解．
把x＝−5−2代入原方程，
左边＝2×＝24，右边＝24，
∵左边＝右边
∴−5−2是方程的解．
【点睛】本题考查了方程的解的定义，学会利用代入法进行验证一个数是不是方程的解．
【方法点睛】
能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．判断一个数是否是一元二次方程的解，只需要代入原方程看是否左右相等.
【题型5】一元二次方程的解的估算
13．（24-25九年级上·宁夏中卫·期末）在估算一元二次方程的解时，小明列表如下：
请判断其中一个解x的大致范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握估算一元二次方程近似解的方法．结合表中的数据，根据代数式的值的变化趋势，即可进行解答．
【详解】解：根据表格中的数据，可以发现：时，；
时，，
故一元二次方程的一个解x的范围是．
故选：B．
14．（24-25九年级上·湖南永州·期中）观察下面的表格：
判断方程的其中一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程的近似解，弄清表格中的数据是解本题的关键．观察表格可以发现的值和最接近，再看对应的的值即可得．
【详解】解：由表格可知，当时，；当时，；
当时，，
故选：B．
15．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）根据下面表格中的信息，判断关于的方程的一个解的范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是数形结合．由表中数据得到时，；时，，则取到之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围．
【详解】解：时，；时，，
关于的方程的一个解的范围是．
故选：C．
【题型6】由一元二次方程的解求字母的值
16．（24-25九年级上·辽宁大连·期中）若是关于x的一元二次方程的一个根，则m的值是（）
A．3B．2C．D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程解的定义，解题关键是将已知根代入方程，构建关于m的一元一次方程并求解．
根据方程根的定义，将代入方程得到关于m的方程，再求解该方程即可．
【详解】解：∵是方程的一个根，
∴把代入方程，得到，
．
解得．
故选：A．
17．（2025·江西·模拟预测）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握一元二次方程的根即能够使方程左右两边相等的未知数的值是解题关键．
将代入原方程即可求解．
【详解】解：将代入方程，得：，
解得：．
故答案为：．
18．（2025·江苏镇江·二模）已知是关于的一元二次方程的一个根，则 ．
【答案】
【分析】本题考查的是一元二次方程的解，掌握方程的解的含义是解题的关键．
把代入原方程可得答案．
【详解】解：把代入原方程：，
．
故答案为：．
【方法点睛】
已知方程的一个根，求代数式或待定系数的值时，可根据一元二次方程的根的定义，把根代入原方
程，得到一个关于某个字母的方程，通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值
【题型7】由一元二次方程的解求代数式的值
19．（2025·吉林·模拟预测）已知a是方程的一个根，则代数式的值为 ．
【答案】2031
【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，求代数式的值，根据一元二次方程的根的定义得出，然后把变形为，再把整体代入计算即可．
【详解】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴
，
故答案为：2031．
20．（2025·山东威海·二模）已知关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为 ．
【答案】1
【分析】此题考查一元二次方程的解的定义，根据一元二次方程的解的定义求解即可．
【详解】解：将代入，
得，即，
∵，
∴，
故答案为：1．
21．（24-25九年级上·北京·期中）已知是方程的根，求代数式的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先根据一元二次方程根的定义得到，再把所求代数式变形，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：是方程的根，
，
．
【题型8】由实际问题列一元二次方程
22．（2025·四川绵阳·一模）临近6月，九年级的同学就要毕业了，在毕业典礼中某班每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，该班共送了2652张照片．设该班有x名学生，根据题意，列出方程应为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了列一元二次方程，根据每一位同学都将自己的照片向全班其他同学各送一张留作纪念，即设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，据此根据照片总数量为2652张列一元二次方程即可．
【详解】解：设全班有x名学生，则每人要赠送张相片，
根据题意可得出，
故选：B
23．（24-25九年级下·重庆江津·期中）在研究物体的放射性衰变时，我们常常关注放射性物质质量随时间的变化．假设在年初，有一块质量为克的某种放射性同位素．由于放射性衰变，其质量会逐年减少．到年初，经过精确测量，该放射性同位素的质量降至克．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，熟练掌握利用增长率和减少率列一元二次方程是解题的关键．设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，则年初为，年初为，即可解答．
【详解】解：设这种放射性同位素质量的年平均减少率为，
根据题意，得；，
故选：B．
24．（2025·云南·模拟预测）如图，矩形草坪的长和宽分别为，，若将该草坪的长和宽各增加，扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的．根据题意，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题意“扩建后增加的面积是原来矩形草坪面积的”，可知扩建后草坪的面积是原来矩形草坪面积的，由此可得方程为．本题考查了列一元二次方程解应用题，读懂题意，找等量关系是解题的关键．
【详解】解：设该草坪的长和宽各增加，根据题意得
，
故选：A．
【易错点1】忽略一元二次方程中二次项系数不为零的条件
当一元二次方程的二次项系数或未知数的最高次数含字母时，必须保证二次项系数不为0，且未知数的最高次数为2
1．方程．
（1）当取何值时是一元二次方程？
（2）当取何值时是一元一次方程？
【答案】（1）；
（2）或．
【分析】（1）只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此求出的值即可；
（2）只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此分和两种情况讨论求解即可．
【解答】解：（1）方程是一元二次方程，
，
；
（2）当时，原方程为，是一元一次方程，符合题意；
当时，
方程，
，
；
综上所述，或．
2．已知关于的方程．
（1）当为何值时，此方程是一元一次方程？
（2）当为何值时，此方程是一元二次方程？
【答案】（1）；
（2）．
【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可；
（2）根据一元二次方程的定义解答即可．
【解答】解：（1）方程是一元一次方程，
则，且．
解得；
（2）方程是一元二次方程，
则，
解得．
【易错点2】未整理成一般形式就确定方程的项及各项系数而出错
一元二次方程的二次项系数、一次项系数与常数项是针对一元二次方程的一般形式定义的，因此确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项时，若方程不是一般形式，需将这个一元二次方程化为一般形式.同时要注意，二次项系数、一次项系数与常数项包括它们前面的符号.不含一次项或常数项时，一次项系数或常数项为0
3．关于的一元二次方程化为一般形式后为，试求，的值．
【答案】，．
【分析】先利用乘法公式展开，再合并得到一般式为，于是得到，，然后解方程得到、的值．
【解答】解：，
，
所以，，
解得，．
4．设，，分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项，根据下列条件，写出该一元二次方程．
（1），且；
（2）．
【分析】（1）设一份为，表示出，及，代入列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出，及的值，写出方程即可；
（2）利用非负数之和为0，非负数分别为0求出，及的值，写出方程即可．
【解答】解：（1）设一份为，则，，，
，
解得：，
，，，
则方程为；
（2），
，，，
解得：，，，
则方程为．
一、单选题
1．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了一元二次方程的定义，根据“含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程”进行求解即可．
【详解】解：A、是一元一次方程，不是一元二次方程，故不符合题意；
B、是一元二次方程，故符合题意；
C、，未知数的最高次数是3，不是一元二次方程，故不符合题意；
D、该方程含有分式，不是一元二次方程，故不符合题意；
故选：B．
2．（24-25九年级上·广东广州·期中）关于的方程是一元二次方程，则满足（ ）
A．B．C．D．为任意实数
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定式是解题的关键；
一般地形如（a，b，c都是常数，且）的方程叫做一元二次方程，据此解答即可．
【详解】方程是关于的一元二次方程，
，
解得．
故选：A．
3．（22-23九年级上·广西河池·期中）已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（ ）
A．2021B．2022C．2023D．2024
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的解的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，解题时应注意把当成一个整体，利用了整体的思想．
将代入原方程求出，然后整体代入代数式求解即可．
【详解】解：将代入方程，
得，即，
∴，
故选：C．
4．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）若关于x的一元二次方程的一个根为1，则k的值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程中求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为1，
∴把代入中得：，解得，
故选：A．
5．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期中）根据表格，判断关于的方程的一个解的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查了用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．根据表中数据可得：和时，代数式的值一个小于，一个大于，从而可判断当的某个值时，代数式的值为．
【详解】解：当时，，
当时，，
所以方程的一个解的取值范围为：，
故选：B．
6．（2025·山西吕梁·二模）太原的名优特产老陈醋醋香四溢，具有软化血管等功效．一位经销商在直播平台经营某种老陈醋礼盒，其进价为每盒50元，按70元出售，平均每天可售出100盒．后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20盒．若该经销商想要平均每天获利2240元，每盒老陈醋礼盒应降价多少元？若设每盒老陈醋礼盒应降价元，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意设每盒应降价元，再根据利润（售价进价）销量即可列出方程．
【详解】解：设每盒应降价元，
∵商场平均每天可销售老陈醋礼盒100盒，如果降价2元，则每天可多售出20盒，
∴销量为：盒，
∵平均每天盈利2240元，
∴，
故选：B．
二、填空题
7．（24-25九年级上·江西宜春·阶段练习）已知一元二次方程的二次项系数为3，则一次项系数为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，多项式的项和单项式的系数等知识点，注意：找多项式的项或项的系数时，带着前面的符号．根据一元二次方程的一般形式得出答案即可．
【详解】解：∵一元二次方程的二次项的系数为3，
∴一次项的系数为，
故答案为：．
8．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若是关于的一元二次方程，则的值是 ．
【答案】或
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解法，理解一元二次方程的定义和解法是解答关键．
根据一元二次方程的定义，未知数的最高次数是，二次项系数不为，含有一个未知数的整式方程列出方程来求解．
【详解】解：是关于的一元二次方程，
，
解得或．
故答案为：或．
9．（23-24九年级上·广西河池·期中）若m是方程的一个根，则的值 ．
【答案】1
【分析】本题考查一元二次方程的根，代数式求值，根据方程的根得到，进而得到，整体代入法求出代数式的值即可．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∴，
故答案为：1．
10．（24-25九年级上·广东惠州·阶段练习）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手次，设这次参加会议有人，那么可以列方程为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设到会的人数为人，则每个人握手次，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设到会的人数为人，则每个人握手次，
根据题意得，
故答案为：．
11．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·期末）我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是864平步，其中宽与长的和为60步，问宽和长各几步？若设矩形的长为步，根据题意可列方程 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准题目中的等量关系，是解题的关键．由宽和长共六十步，可得出宽为步，根据矩形的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．
【详解】解：设矩形的长为x步，则宽为步，根据题意得：
．
故答案为：．
三、解答题
12．（22-23八年级下·浙江·课后作业）判断下列各式哪些是一元二次方程．
①；②；③ ；④ ；
⑤ ；⑥ ；⑦ ．
【答案】②③⑥.
【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
【详解】解：①不是方程；
④ 不是整式方程；
⑤ 含有2个未知数，不是一元方程；
⑦ 化简后没有二次项，不是2次方程，
②③⑥符合一元二次方程的定义．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的辨别，熟练掌握一元二次方程的定义是解答此题的关键．
13．（23-24八年级下·全国·假期作业）将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出二次项系数、一次项系数和常数项．
(1)；
(2)；
(3)关于的方程．
【答案】(1)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为
(2)，二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0
(3)，二次项系数为，一次项系数为，常数项为
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式，掌握一般形式是解本题的关键；
（1）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（2）先去括号，再移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
（3）先移项，把方程的右边化为0，从而可得答案；
【详解】（1）解：
移项，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为．
（2），
去括号，得；
移项、合并同类项，得，
整理，得．
二次项系数为3，一次项系数为，常数项为0．
（3）
移项、合并同类项，得．
二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
14．（23-24九年级上·广东梅州·期中）若是关于的一元二次方程的一个解．求的值．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，将代入原方程，找出关于的方程是解题的关键．将代入原方程可得出关于的一元一次方程，解之即可求出的值．
【详解】解：将代入原方程得：，
，
．
答：的值为
15．（21-22九年级上·北京海淀·期末）已知是方程的一个根，求代数式的值．
【答案】6
【分析】把代入方程，得出，再整体代入求值即可．
【详解】解： = ．
∵ a是方程的根
∴ ．
∴ ．
∴ 原式 = 6．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解和代数式求值，解题关键是明确方程解的意义，整体代入求值．
16．（23-24九年级上·甘肃定西·期中）已知是关于x的一元二次方程，求m的值．
【答案】
【分析】本题主要查了一元二次方程的定义．根据“含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程式是一元二次方程”，即可求解．
【详解】解：∵是关于x的一元二次方程，
∴且，
解得：．
17．（21-22九年级·全国·假期作业）已知关于x的方程（m﹣）﹣x＝3，试问：
(1)m为何值时，该方程是关于x的一元一次方程？
(2)m为何值时，该方程是关于x的一元二次方程？
【答案】(1)m＝或或
(2)
【分析】（1）根据方程中只含有一个未知数且未知数的最高次数是1次的整式方程是一元一次方程，可得答案；
（2）根据一元二次方程的定义求解，一元二次方程必须满足两个条件： (1) 未知数的最高次数是2； (2) 二次项系数不为0；由这两个条件得到相应的关系式，再求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得m2﹣1＝1，
解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m﹣＝0，解得m＝，
当m＝时，该方程是一元一次方程；
m2﹣1＝0，解得m＝±1，
m＝±1时，该方程是一元一次方程，
综上，当m＝或或±1时，该方程是关于x的一元一次方程；
（2）解：由题意，得m2﹣1＝2且m﹣≠0，
解得m＝﹣，
当m＝﹣时，该方程是关于x的一元二次方程．
【点睛】本题利用了一元二次方程的概念，只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是ax2+bx+c=0 (且a≠0) ，特别要注意a≠0的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．x
x
1.1
1.2
1.3
1.4
-0.59
0.84
2.29
3.76