人教B版 (2019)必修 第三册8.1.2 向量数量积的运算律学案

8．1.2　向量数量积的运算律

[课程目标] 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式．

2．会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明．

[填一填]

平面向量数量积的运算律

(1)交换律：a·b＝b·a；

(2)分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c；

(3)数乘向量结合律：对任意实数λ，有λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．

[答一答]

应用两向量数量积运算应避免哪些思维误区？

提示：(1)向量的数量积运算不满足消去律．同学们在学习中容易错误地认为：由b·c＝c·a(其中c≠0)，可以约去c而得到b＝a.事实上，a与b完全可以方向不同．处理等式b·c＝c·a的手段是移项提取，即c·(a－b)＝0，所以c⊥(a－b)．

(2)向量的数量积运算同样也不满足乘法结合律．由于实数满足(a·b)·c＝a·(b·c)，从而容易错误地认为向量的数量积也满足结合律(a·b)·c＝a·(b·c)．

可以这样理解：(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，显然a与c不一定同向，所以二者一般不相等．

类型一　　　向量数量积的运算律

 [例1]　给出下列结论：

①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0，其中正确结论的序号是________．

[解析]　因为两个非零向量a，b垂直时，a·b＝0，故①不正确；

当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；

向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；

a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0，故④正确．

[答案]　④

向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时有许多不同之处．例如，由a·b＝0不能得出a＝0或b＝0.特别是向量的数量积不满足结合律，即一般情况下(a·b)·c≠a·(b·c)．

[变式训练1]　设a，b，c是任意的非零向量，且它们相互不共线，给出下列结论：

①a·c－b·c＝(a－b)·c；

②(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直；

③|a|－|b|<|a－b|；

④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.

其中正确的序号是①③④.

解析：根据向量的数量积的分配律知①正确；

因为[(b·c)·a－(c·a)·b]·c

＝(b·c)·(a·c)－(c·a)·(b·c)＝0，

∴(b·c)·a－(c·a)·b与c垂直，②错误；

因为a，b不共线，所以|a|，|b|，|a－b|组成三角形三边，

∴|a|－|b|<|a－b|成立，③正确；

④正确．故正确命题的序号是①③④.

类型二　　　　利用数量积求长度

 [例2]　已知|a|＝|b|＝5，向量a与b夹角θ＝，求|a＋b|，|a－b|，|3a＋b|.

[分析]　解本题首先求a·b，再考虑|a±b|，|3a＋b|与a·b的联系求解．

[解]　a·b＝|a||b|cosθ＝，

|a＋b|＝＝＝5，

|a－b|＝＝＝5，

|3a＋b|＝＝＝5.

此类求解模问题一般转化为求模平方，与向量数量积联系，要灵活应用a2＝|a|2，勿忘记开方.

[变式训练2]　已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：

(1)|a＋b|；

(2)|3a－4b|；

(3)|(a＋b)·(a－2b)|.

解：已知a·b＝|a||b|cosθ＝4×2×cos120°＝－4，a2＝|a|2＝16，b2＝|b|2＝4.

(1)因为|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－4)＋4＝12，

所以|a＋b|＝2.

(2)因为|3a－4b|2＝(3a－4b)2＝9a2－24a·b＋16b2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，

所以|3a－4b|＝4.

(3)因为(a＋b)·(a－2b)＝a2－2a·b＋a·b－2b2＝16－(－4)－2×4＝12，

所以|(a＋b)·(a－2b)|＝12.

类型三　　　　　　利用数量积解决垂直问题

 [例3]　已知|a|＝3，|b|＝2，a与b的夹角为60°，c＝3a＋5b，d＝ma－3b.当m为何值时，c与d垂直？

[分析]　可利用c⊥d⇔c·d＝0构造方程求m.

[解]　若c⊥d，则c·d＝0，

即(3a＋5b)·(ma－3b)＝0，

即3ma2－9a·b＋5ma·b－15b2＝0.

由a2＝|a|2＝9，b2＝|b|2＝4，a·b＝|a|·|b|·cos60°＝3，

得27m－27＋15m－60＝0，解得m＝.

向量的垂直问题主要借助于结论a⊥b⇔a·b＝0，把几何问题转化为代数问题.

[变式训练3]　如图，已知平行四边形ABCD中，＝a，＝b，且|a|＝|b|，试用a，b表示，并计算·，判断与的位置关系．

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴＝＝b，∴＝－＝b－a.而＝a＋b，

∴·＝(b－a)·(b＋a)＝b2－a2＝|b|2－|a|2.

又∵|a|＝|b|，∴·＝0，即⊥.

类型四　　　　　　用向量解决平面几何问题

 [例4]　如图，在正三角形ABC中，D、E分别是AB、BC上的一个三等分点，且AE、CD交于点P.求证：BP⊥CD.

[证明]　设＝λ，并设正三角形ABC的边长为a，

则有＝＋＝λ＋

＝λ＋

＝(2λ＋1)－λ，

又＝－，∥，

设＝k，

∴(2λ＋1)－λ＝k－k，

于是有解得λ＝.

∴＝，∴＝，

∵＝－，

∴＝＋＝＋

＝＋

＝＋，

∴·＝·

＝·－2＋2－·

＝a2cos60°－a2＋a2－a2cos60°＝0，

∴⊥，∴BP⊥CD.

1解决此类问题通常先选取一组基底，基底中的向量最好是已知模及两者之间的夹角，然后将问题中出现的向量用基底表示，再利用向量的运算法则、运算律以及一些重要性质运算，最后把运算结果还原为几何关系.

2如果题目中有垂直关系，也可建立适当的坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题转化为代数运算.)

 [变式训练4]　四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？并说明理由．

解：四边形ABCD是矩形，理由如下：

∵a＋b＋c＋d＝0，∴a＋b＝－(c＋d)，

∴(a＋b)2＝(c＋d)2，

即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2.

由于a·b＝c·d，

∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，①

同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2，②

由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，即四边形ABCD两组对边分别相等．

∴四边形ABCD是平行四边形．

由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0，

即a·b＝0，∴a⊥b，即AB⊥BC.

综上所述，四边形ABCD是矩形．

类型五　　　平面向量数量积的综合应用

 [例5]　设平面内两非零向量a与b互相垂直，且|a|＝2，|b|＝1，又k和t是两个不同时为零的实数．

(1)若x＝a＋(t－3)b与y＝－ka＋tb垂直，求k关于t的函数关系式k＝f(t)；

(2)求函数k＝f(t)的最小值．

[分析]　本题主要以向量为载体考查函数的有关知识，由已知条件x⊥y，即x·y＝0，可以得到函数关系式k＝f(t)，然后利用函数性质求最值．

[解]　(1)∵a⊥b，∴a·b＝0，又x⊥y，∴x·y＝0，

即[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0.

－ka2－k(t－3)a·b＋ta·b＋t(t－3)b2＝0，

∵|a|＝2，|b|＝1，

∴－4k＋t2－3t＝0，

即k＝(t2－3t)．

(2)由(1)知，k＝(t2－3t)＝(t－)2－，即函数的最小值为－.

以向量为载体考查函数的性质、平面几何、解析几何、立体几何等是近几年高考热点问题，一定要认真掌握.

 [变式训练5]　设a与b是两个互相垂直的单位向量，当k为整数时，向量m＝ka＋b与向量n＝a＋kb的夹角能否等于60°？证明你的结论．

解：不能．证明如下：

∵向量a与b是两个互相垂直的单位向量，

∴|a|＝|b|＝1，a·b＝0.

又|m|2＝(ka＋b)2＝k2＋1，

|n|2＝(a＋kb)2＝k2＋1，

m·n＝(ka＋b)·(a＋kb)＝2k，

∴2k＝·×cos60°，即4k＝k2＋1，解得k＝2±，这与k为整数矛盾，∴m与n的夹角不能等于60°.

1．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝(　C　)

A．37   B．13

C.   D.

解析：|a＋b|＝＝

＝＝.

2．若向量a，b，c满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　D　)

A．4   B．3

C．2   D．0

解析：由a∥b，可设b＝λa，又a⊥c，则a·c＝0，所以c(a＋2b)＝c·(1＋2λ)a＝(1＋2λ)ac＝0.故选D.

3．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝(　C　)

A．－8   B.

C．－   D．8

解析：由题意，|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝cos60°＝.

∴(2e1－e2)·(－3e1＋2e2)＝－6e－2e＋7e1·e2＝－8＋＝－.

4．若非零向量a，b满足|a|＝3|b|＝|a＋2b|，则a与b夹角的余弦值为－.

解析：∵|a|＝3|b|＝|a＋2b|，

∴|a|2＝9|b|2＝|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b，

∴a·b＝－|b|2，

∴cos〈a·b〉＝＝＝－.