高中数学人教B版 (2019)必修 第三册角的推广教案及反思

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册角的推广教案及反思，共8页。
板书设计
教学研讨
角的概念从静态到动态，范围从推广到任意大小，从过去的只有正角，到现在的还有零角、负角，以及研究角的背景是在平面直角坐标系中等等这些变化对于学生来说是思维上的大挑战，因此教学中要尽量多地用实例来说明推广的意义.
在平面直角坐标系中动态的研究角，一下子增加了许多概念，零角和负角、终边相同的角、象限角等等，而且周期性的提出给学生有点眼花缭乱的感觉，因此在讲概念及关系时，要准确到位.
总体上，本节教学内容难度不大，多练习，学生应该可以掌握本节知识.
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
情境引入
同学们，我们在拧螺丝时，按逆时针方向旋转会越拧越松，按顺时针方向旋转会越拧越紧.但不知同学们有没有注意到，在这两个过程中，扳手分别所组成的两个角之间又有什么关系呢？
师：在小学和初中是如何定义角的？
生：我们把有公共端点的两条射线组成的图形称为角.
师：这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角的，因此角的范围是，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”.生活中很多实例会不在该范围内，你能举出一些例子吗？
生：…
师：看来有必要将角的概念推广到任意角，想一想用什么方法才能推广到任意角？
引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性，为引人正角、负角、零角的概念做好准备.
探究新知
1.角的概念的推广.
（1）“旋转”形成角.
如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角.旋转开始时的射线OA叫做角的始边，旋转终止的射线OB叫做角的终边，射线的端点O叫做角的顶点.
（2）“正角”“负角”与“零角”.
习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角称为正角；按照顺时针方向旋转而成的角称为负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，称为零角.这样定义的角，由于是旋转生成的，所以也常称为转角.
（3）角的加减运算.
角的概念推广之后，利用转角给出与的几何意义.
2.象限角.
为了方便起见，通常将角放在平面直角坐标系中来讨论，并约定：角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.
例如，角都是第一象限角，角都是第四象限角，角都是第三象限角，角是第二象限角等.
3.终边相同的角.
（1）观察：角，它们的终边都与角的终边相同.
（2）探究：终边相同的角都可以表示成一个到的角与个周角的和：
（3）结论：所有与终边相同的角连同在内可以构成一个集合：
.
即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
例1 在到范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
（1）；（2）.
解：（1），
角与角的终边相同，它是第三象限角.
教师用多媒体演示角的形成过程.
教师指导学生依定义分别作出大小和方向不同的角，并指出角的“顶点”“始边”“终边”.突出“旋转”，注意“顶点”“始边”“终边”.
教师设计以下问题组织学生思考讨论回答：
（1）正角与负角有何本质区别？
（2）正角与负角的实际意义有何不同？
（3）角的概念推广以后应该包括哪些角？
教师应注意指明：正角与负角是具有相反意义的旋转量，它的正负规定纯系习惯，就好像与正数、负数的规定一样，零角无正负.
教师用多媒体演示角的加减运算的几何意义，学生注意观察.
教师提出问题，学生讨论回答：
（1）在平面直角坐标系中表示角时，对角的顶点与角的始边有什么要求？
（2）你对“角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限”这句话是怎么理解的？
（3）分别举出几个第一、二、三、四象限角的例子.
教师引导学生观察分析：
（1）终边相同的角有何特点？（相差整数个周角）
（2）试表示出与角终边相同的角.
（3）用集合表示终边相同的角请注意以下问题：
①；
②是任意角；
③终边相同的角不一定相等，但是相等的角一定终边相同，终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍.
选例1的第（1）题板书来示范解题的步骤，第（2）题请几个学生板演，其他学生在下面自己完成，针对学生板演所出现的步骤上的问题及时给予更正，教师要适时引导学生做好总结归纳.
使学生通过观察角的形成过程，获取对新概念的直观印象.
使学生从本质上认识角的形成以及角的分类.
通过观察旋转绝对量的变化学习角的加减运算.
学习新概念与问题讨论相结合，进一步加深学生对于新概念的理解与掌握.
从观察分析入手，通过具体例子，归纳总结出终边相同的角的表示方法，并初步认识用集合表示终边相同的角需注意的几个问题.
例1 主要让学生学会如何在到范围内，找出与某个角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.
例题讲解
（2），
角与角的终边相同，它是第四象限角.
例2 分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式的元素写出来.
（1）；（2）.
解：（1）.解不等式，得，所以k可取，0或1.
因此S中满足的元素是
（2）.
解不等式，得，所以k可取0，1或2.
因此S中满足的元素是
例3 写出终边在第一象限内的角的集合.
解：因为大于且小于的角的终边一定在第一象限，而且如果一个角的终边在第一象限，这个角的终边一定与内某个角的终边相同，因此终边在第一象限内的角的集合为.
例4 写出终边在x轴上的角的集合.
解：在内，终边在x轴上的角有两个，即与，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为，，所以，终边在x轴上的角的集合.
例2可以组织学生讨论，然后让学生回答，互相更正，对出现的错误进行纠正讲解，并要求学生熟练掌握这些常见角的集合的表示方法.
例3、例4先让学生讨论交流，然后回答，教师补充评价并完善解题过程.
例2 主要想解决：所有与角终边相同的角连同角在内可以构成一个集合：，即：任何一个与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和.
例3、例4主要是让学生掌握终边在第一象限内以及终边在x轴上的角的集合的表示方法.
课堂练习
教材第7页练习A第3~5题.
先让学生独立完成，然后讨论交流，最后教师评价，统一答案.
通过利用所学知识解决问题，培养学生的知识运用能力.
归纳小结
从知识、方法两个方面对本节课的内容进行归纳总结.
本节课我们学习了正角、负角和零角的概念以及象限角的概念，要注意如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.本节课重点是掌握终边相同的角的表示法.严格区分“终边相同”和“角相等”，“轴线角”“象限角”和“区间角”，“小于的角”“第一象限角”“到的角”和“锐角”的不同意义.
让学生在教师的叙述回顾中再现本节课的核心内容.
课后作业
教材第7页练习B第1~5题.
教师布置作业，学生独立完成.
巩固新知.
7.1.1角的推广
1.角的概念的推广
顶点 始边 终边
正角 负角 零角
2.象限角
终边相同的角
3.例题讲解
例1
例2
例3
例4
4.课堂练习
5.归纳小结
6.课堂作业