人教B版高中数学必修3 7-1-1《任意角的概念与弧度制课时1》教学设计

这是一份人教B版高中数学必修3 7-1-1《任意角的概念与弧度制课时1》教学设计，共10页。
《任意角的概念与弧度制》教学设计课时1角的推广一、本节内容分析本节内容是任意角、弧度制,主要包括象限角和终边相同的角的概念、表示以及弧度制,为后续研究三角函数的其他内容打下基础.通过本节的学习,让学生体会角的概念不再局限于0°~360°,度量角的单位制除了角度制,还有弧度制本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:二、学情整体分析在义务教育阶段对角的学习基础上,继续对角进行推广,此内容难度不大,但学生表现不适应,特别是在负角的定义以及大于360°的角的学习过程中,要给学生熟悉知识的机会,循序渐进地开展教学活动.另外对于弧度制,学生感到生疏,对用一个实数表示角的方法会感到“奇怪”,同时对角度制与弧度制转化中的数学运算能力欠缺.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.角的推广2.孤度制及其与角度制的换算【教学目标设计】1.理解并掌握正角、负角、零角的概念,掌握用集合的形式表示终边相同的角,并会判断角的终边所在的象限.2.熟练掌握弧度制的定义,区别角度制与弧度制.3.能熟练地进行特殊角的弧度制与角度制的互化4.记忆扇形的弧长公式、面积公式,并应用,.【教学策略设计】本节内容主要是初中所学的角的概念的扩展和延伸,教学时,与生活实际相联系,使学生认识引入任意角的可行性与可靠性,并认识引入孤度制的必要性.教学要渗透运动的观点,引导学生利用数形结合的思想方法来认识问题、发现问题、解决问题.在理解角的概念中培养学生观察记忆、概括理解能力.在象限角与终边相同的角的学习过程中培养学生分析计算能力,并能用孤长和扇形面积公式解决一些简单问题.在教学中培养数学抽象、直观想象和数学运算核心素养.【教学方法建议】情境教学法、探究教学法,还有__________________________________________________【教学重点难点】重点:1.理解任意角的概念2.掌握终边相同的角的表示.3.了解弧度制,并能进行弧度与角度的换算,弧度制的运用.难点:1.判断角所在的象限,根据条件,求特定的角.2.理解弧度的概念,弧度制的运用.【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件、_________________________________________________2.其他材料:_____________________________________________________________四、教学活动设计教学导入师:同学们,我们常听跳水解说员说的跳水远动员向内、向外转体两周半,这是多大的角度呢?我们常常听体操解说员说的“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”又如何度量呢?师:在日常生活中经常会遇到这样的问题:时钟快了1.25小时,你需要将分针朝哪个方向旋转多少度才能将时钟校准?很明显,这里提到的角用我们学过的0度到360度的角达不到要求,今天我们就来学习角的推广.【设计意图】学生感知角可以通过终边不停地旋转得到,以前的角的范围不能满足现实要求,所以要进一步推广,激发学生兴趣,并产生急于解决问题的心理.教学精讲探究1 角的概念的推广师:以前我们学习的角的概念是如何描述的?如果将一个角的边动起来,请观察它是怎么动的?是否还能形成角?据此你觉得角还可以如何定义?【学生思考问题,回忆学过的角的概念】【设情境 巧激趣】根据学生已有经验,创设学生动手操作情境,学生可以自主从运动观念上形成新的角的概念,形成一种自主探究的意识.【要点知识】角的概念一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角.师:如何从旋转的角度来定义角,是否能解决导入中提到的“前空翻转体540度”“后空翻转体720度”?【学生提出问题】角度大小可以累计计算,但不能用数学方法表示前后,如何解决此问题?师:数学中为表示方向,可以用“正”“负”进行区分,你能解决自己的疑问吗?【要点知识】角的概念的推广1.一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫作正角.如图:这个角是正角750°.2.一条射线绕着它的端点按顺时针方向旋转形成的角叫作负角.如图:角是负角,;角是负角,.3.如果一条射线没有作任何旋转,就称它形成了一个零角.零角的始边与终边重合.【情境学习】学生根据现实情境,抽象出数学问题,在解决问题中,提出新问题,培养学生发现和提出问题的能力.【概括理解能力】学生对角的相关概念的学习是通过“问题—探究—问题”的方式逐步完成的,在此过程中需要学生逐步完善概念,培养学生的概括理解能力.师:零角的始边与终边重合,如果是零角,那么.那么,始边与终边重合的角都是零角吗?【学生思考,讨论,回答问题,教师补充】生:不一定,始边与终边重合也可能是转动几周后重合,所以只有始边没做任何旋转,始边与终边重合的角才是零角.师:类比实数的加法与减法,角的加减法如何用画图来表示?生:如果把角的终边旋转角,那么所对应的角是.师:如果把角的始边绕着点按不同的方向旋转相同的量所成的两个角叫作互为相反角,记为.类似于实数的性质“减去一个数等于加上这个数的相反数”,得.【推测解释能力】角的概念的学习,需要从“充分条件与必要条件”两个维度进行辨析,学生经历推测和解释的过程,这样可以帮助学生理解概念本质.【典型例题】角的概念的推广例1 如图,已知角的终边为射线,分别作出的终边.【学生解决问题,教师对有困难的学生给予帮助】【设活动 深探究】通过教师创设的活动,让学生在活动中自主学习,对象限角的概念形成深刻的认识.探究2 象限角师:数学中的“基准”为我们解决问题提供便利,我们通常将角放在平面直角坐标系中,角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在轴的正半轴上,请同学任意画一个角,交流一下,你所画的角有什么特点?我们可以把角分成几类?【学生操作画角过程,并交流角的分类】【要点知识】象限角将角的顶点与坐标原点重合,角的始边落在轴的正半轴上,角的终边落在第几象限,就把这个角称为第几象限角.如果终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限(即轴线角).师:锐角、第一象限角、小于的角,这三个概念的区别是什么?生:第一象限角不一定是锐角,比如角是第一象限角,却不是锐角;锐角一定是第一象限角;锐角是大于且小于的角,而小于的角不仅包括锐角,还包括零角和负角.【概括理解能力】通过实例,使学生进一步理解象限角的概念,同时培养学生概括理解的能力.探究3 终边相同的角【情境设置】终边相同的角请同学们在同一坐标系中画出与的角,这两个角有什么共同点?师:你能用代数式表达这两个角的关系吗?生:.师:你能写出所有与角的终边相同的角吗?生:.师:所有与终边相同的角如何表示?【要点知识】终边相同的角的表示师:与的终边有什么关系?生:终边相同,因为.【自主学习】教师通过具体实例,让学生发现两个特殊的角的终边相同的关系,再由生生间讨论,思考,总结出一般情况下的两个终边相同的角的关系,体现了学生自主学习的特点.【猜想探究能力】通过猜想—探究—归纳的方法,帮助学生总结出终边相同的角的集合的表达方式,培养了学生的猜想探究能力.【简单问题解决能力】培养学生利用终边相同的角的知识解决简单问题的能力,发展学生的直观想象素养,认识特殊与一般的关系,总结解决问题的方法.师:下面我们来看例题.【典型例题】终边相同的角例2 分别写出与下列各角终边相同的角的集合,并把中适合不等式的元素写出来.(1);(2).师:终边相同的角有何关系?如何从整体中找到适当的角?生:写出终边相同的角.(1)(2)预设方案1:根据角的范围,猜测并写出的范围及相对应的角.预设方案2:(1),解得,则可以取,0,1,于是满足条件的角有.(2),解得,则可以取,于是满足条件的角有.师:为何此范围内共有3个角符合要求?生:此范围可看成是角转动了3周,每转一周只有一个角与条件符合.【发现创新能力】打开学生“举一反三”式的问题解决思维方式,通过较复杂的问题情境,培养学生将新知、数学表达、数学思想方法相结合的解决问题的方法,提高学生数形结合思想和分类讨论思想的应用意识.师:接下来看下面例题.【典型例题】终边相同的角例3 写出终边在第一象限内的角的集合.师:第一象限的锐角的集合是什么?你能写出终边在第一象限内的角的集合吗?生:第一象限的锐角为,终边在第一象限内的角的集合师:接下来看例4.【典型例题】终边相同的角例4 写出终边在轴上的角的集合.师:终边在轴上的角有几类?分别怎样表示?生:两类,分别是.师:能否将两个集合并成一个集合?生:.师:请仔细观察图形,两个相邻的终边在轴上的角相差多少度?如何将所有的终边在轴上的角表达出来?生:.师:“数”和“形”两个角度均可以解决此问题,你能感受并谈一谈“数”和“形”解决问题时,各自的特点吗?生:数的关键在于“运算”,形的关键在于“观察”.【深度学习】例3与例4是“从个体到局部”,也就是从与一个角终边相同的表示,过渡到符合某个范围的终边相同的角的表达,体现逐层深入的学习过程,达到深度学习的效果.师:这节课你学到了什么?【课堂小结】角的推广【设计意图】通过图形的形式,帮助学生形成知识结构,复习与巩固所学知识.教学评价本节内容通过具体的生活情境引出角的概念,立足于学生的实际,从学生已有认知出发,层层深入,逐步建立起学生对角的认知.无论是对角的概念的推广,还是弧度制的引入均通过生活中的情境,从情境中抽象出数学问题,并以情境为背景进行合理的推理,使知识的生成自然有序,逐步建构知识体系,符合学生的认知特点;同时也提升了学生发现和提出问题,分析和解决问题的能力.本节课教学注重数形结合、分类讨论思想的点拨与运用,学生在解决问题的过程中,提升对数学思想方法的认识;同时问题解决过程提升了学生数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养.应用所学知识,完成下题:如图,村里有一个近似于扇形的水塘,测得弧形池边长为长为,直形池边,现准备用来养鱼,若每亩水面可以放鱼苗1万尾,那么这个水塘中约可放多少尾鱼苗?(苗)解析:求出水塘的面积是解决本题的关键,再由亩,得到可放鱼苗的尾数,设扇形的半径,水塘面积为,由弧度定义知,即,解得.所以因为亩,所以(亩).因为每亩水面可放鱼苗10000尾,所以(尾),所以这个水塘中约可放5625尾鱼苗.【设计意图】充分发挥情境教学的作用,立足于学生已有经验,结合现实生活情境,启迪学生思维,使学生逐步形成知识结构.板书设计1.角的概念的推广2.象限角3.终边相同的角:所有与角终边相同的角,连同角在内,可构成一个集合4.孤度制的定义5.角度制与孤度制之间的换算关系:6.孤度制下的扇形的公式(1)孤长公式;(2)扇形的面积公式【以学定教】根据学生的学习实际,利用板书强调本节的重点内容,且板书呈现结构化的特点,帮助学生形成本节的知识结构.教学反思本节内容是三角函数的基础,教学须体现知识的基础性.本节教学体现了知识的探究过程,无论是概念性知识还是过程性知识,均让学生经历知识的探究过程,此过程主要通过情境创设和问题串展开教学活动,使知识的形成自然有序.通过本节内容提升学生数学素养仍需要进一步进行思考.【以学论教】对于角的概念,学生具有一定的认知基础,而生活中又有很多耳熟能详的角高于学生对角的认识.因此,抓住这一特点,将生活情境与学生经验相结合,启发学生对角的进一步探究是本节教学设计的出发点,也就是根据学情来确定教学方法.必备知识学科能力学科素养高考考向角的概念的推广学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象【考查内容】弧度制、角的三角函数值.【考查题型】选择题、填空题象限角与终边相同的角直观想象弧度制以及与角度制的换算,弧长公式及扇形面积公式数学运算直观想象逻辑推理核心知识1.角的概念的推广2.象限角与终边相同的角3.弧度制以及与角度制的换算,孤长公式及扇形面积公式数学运算直观想象数学抽象逻辑推理核心素养