高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册7.1.1 角的推广学案设计，共6页。学案主要包含了核心素养，学习目标，学习重点，学习难点，学习过程，思路探究等内容，欢迎下载使用。

【核心素养】
1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养。
2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养。
【学习目标】
1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角。
2．理解象限角的概念。
3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置。
【学习重点】
理解象限角的概念。
【学习难点】
掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置。
【学习过程】
一、初试身手
1．钟表的分针在一个半小时内转了（ ）。
A．180°B．－180°
C．540°D．－540°
2．下列各角中，与330°角的终边相同的角是（ ）。
A．510°B．150°
C．－150°D．－390°
3．下列说法：
①第一象限角一定不是负角；
②第二象限角大于第一象限角；
③第二象限角是钝角；
④小于180°的角是钝角、直角或锐角。
其中错误的序号为________。（把错误的序号都写上）
二、合作探究
探究一：任意角的概念
【例1】（1）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是（ ）。
A．A＝B＝CB．A⊆C
C．A∩C＝BD．B∪C⊆C
（2）下面与－850°12′终边相同的角是（ ）。
A．230°12′B．229°48′
C．129°48′D．130°12′
[思路探究]利用角的概念进行判断。
探究二：象限角与区域角的表示
【例2】（1）如图，终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（ ）。
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α（2）已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围。
【思路探究】eq \x(\s\up(找出0°～360°内阴,影部分的角的集合))eq \(――→,\s\up16(＋k·360°),\s\d12(k∈Z))eq \x(\s\up(适合题意的,角的集合))
三、学习小结
1．角的概念
（1）角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。
（2）角的分类：
按旋转方向可将角分为如下三类：
①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；
②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；
③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。
2．角的加减法运算
（1）射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB的始边，OB叫做∠AOB的终边。
（2）引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋（－β）。这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和。
3．终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(β|β＝α＋k·360°，k∈Z))，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
4．象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
四、精炼反馈
1．以下说法正确的是（ ）。
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A⊆B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°（k∈Z）
2．已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有（ ）。
A．M＝NB．NM
C．MND．M∩N＝
3．若角α与角β终边相同，则α－β＝________。
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角。
（1）－120°；
（2）640°。
答案解析
一、初试身手
1．【答案】D。
【解析】钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°。
2．【答案】D
【解析】与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D。
3．【答案】①②③④。
【解析】由象限角定义可知①②③④都不正确。
二、合作探究
例1：【答案】（1）D；
（2）B
【解析】（1）第一象限角可表示为k·360°<α（2）与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°（k∈Z），当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′。]
例2：【答案】（1）C
【解析】在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为{α|k·360°＋150°<α（2）解：阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|（2k＋1）·180°＋60°≤β<（2k＋1）·180°＋105°，k∈Z}。
集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}。
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β三、精炼反馈
1．【答案】B
【解析】对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A⊆B，故选B．
2．【答案】C
【解析】由于k·90°（k∈Z）表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°（k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上的角。（如图（1））
又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角（如图（2）），因而MN，故正确答案为C．
3．【答案】k·360°（k∈Z）
【解析】根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°（k∈Z）。
4．【答案】（1）与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}。
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角。
（2）与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}。
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角。