人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集学案设计

这是一份人教B版 (2019)必修 第一册2.1.3 方程组的解集学案设计，共11页。

在一个笼子里有若干只鸡和兔，从笼子上看有30个头，从笼子下数有70只脚．
[问题] 这个笼子里共有多少只兔多少只鸡？




知识点 方程组的解集
1．方程组
一般地，将多个方程联立，就能得到方程组．
2．方程组的解集
方程组中，由每个方程的解集得到的交集称为这个方程组的解集．
eq \a\vs4\al()
当方程组中未知数的个数大于方程的个数时，方程组的解集可能有无穷多个元素，此时，如果将其中一些未知数看成常数，那么其他未知数往往能用这些未知数表示出来．
1．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－y＝4，,x＋y＝2，))的解集为________．
答案：eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）|（3，－1）))
2．若|x＋y－5|＋(x－y－9)2＝0，则x，y的值分别为________．
解析：由题意知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－5＝0， ①,x－y－9＝0， ②))
①＋②得2x－14＝0，即x＝7，
①－②得2y＋4＝0，即y＝－2.
答案：7，－2
3．由方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋m＝0，,y－3＝2m，))可得x与y的关系是________．
答案：2x＋y－3＝0
角度一 用代入消元法求二元一次方程组的解集
[例1] 求方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝－1， ①,4x－y＝5， ②))的解集．
[解] 法一：由②，得y＝4x－5， ③
把③代入①，得2x＋3(4x－5)＝－1，
解这个一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}．
法二：由①，得3y＝－2x－1，即y＝eq \f(－2x－1,3)， ③
把③代入②，得4x－eq \f(－2x－1,3)＝5，
解这个一元一次方程，得x＝1，
把x＝1代入③，得y＝－1.
所以这个方程组的解集为{(x，y)|(1，－1)}．
eq \a\vs4\al()
用代入消元法解二元一次方程组的步骤
角度二 用加减消元法求二元一次方程组的解集
[例2] 求下列方程组的解集：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x－7y＝－1， ①,3x＋7y＝13； ②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＝13， ①,5x＋4y＝22. ②))
[解] (1)法一(加法消元)：①＋②，得6x＝12，
解得x＝2，
把x＝2代入②，得3×2＋7y＝13，解得y＝1.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
法二(减法消元)：①－②，得－14y＝－14，
解得y＝1，
把y＝1代入①，得3x－7×1＝－1，解得x＝2.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
法三(加减法消元)：①＋②，得6x＝12，解得x＝2.
①－②，得－14y＝－14，解得y＝1.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，1)}．
(2)①×5－②×2，得7y＝21，解得y＝3，
把y＝3代入①，整理得2x＝4，解得x＝2.
所以方程组的解集为{(x，y)|(2，3)}．
eq \a\vs4\al()
用加减消元法解二元一次方程组的步骤
[跟踪训练]
求下列二元一次方程组的解集：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x,4)＋\f(y,3)＝3， ①,3x－2（y－1）＝11； ②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x＋y,2)＋\f(y－x,3)＝6， ①,2（x＋y）－3x＋3y＝24. ②))
解：(1)原方程组可变形为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋4y＝36， ③,3x－2y＝9， ④))
③－④，得6y＝27，解得y＝eq \f(9,2)，
把y＝eq \f(9,2)代入④，得3x－9＝9，解得x＝6.
所以这个方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\b\lc\ \rc\|(\a\vs4\al\c1(（x，y）))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6，\f(9,2))))).
(2)原方程组可变形为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋5y＝36， ③,x＝5y－24. ④))
把④代入③，得5y－24＋5y＝36，解得y＝6，
把y＝6代入④，得x＝5×6－24＝6.
所以这个方程组的解集为{(x，y)|(6，6)}.
[例3] 求下列方程组的解集：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋3y＋2z＝2， ①,3x＋2y－4z＝3， ②,2x－y＝7； ③))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x∶y＝3∶2， ①,y∶z＝2∶5， ②,z＋x＋y＝20. ③))
[解] (1)法一：①×2＋②，得5x＋8y＝7， ④
③与④组成二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝7，,5x＋8y＝7，))
解这个方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))
把x＝3，y＝－1代入①，得3＋3×(－1)＋2z＝2，所以z＝1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}．
法二：由③，得y＝2x－7， ④
把④代入①，整理得7x＋2z＝23, ⑤
把④代入②，整理得7x－4z＝17, ⑥
⑤与⑥组成二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(7x＋2z＝23，,7x－4z＝17，))
解这个方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,z＝1，))
把x＝3代入④，得y＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(3，－1，1)}．
(2)法一：由①和②，得x∶y∶z＝3∶2∶5.
设x＝3k，y＝2k，z＝5k(k≠0)，并代入③，得5k＋3k＋2k＝20，
解得k＝2.
所以x＝3k＝6，y＝2k＝4，z＝5k＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6，4，10)}．
法二：由①，得x＝eq \f(3,2)y， ④
由②，得z＝eq \f(5,2)y. ⑤
把④和⑤代入③，得
eq \f(5,2)y＋eq \f(3,2)y＋y＝20，解得y＝4.
把y＝4分别代入④和⑤，
得x＝6，z＝10.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(6，4，10)}．
eq \a\vs4\al()
解三元一次方程组的一般步骤
[注意] 解特殊的三元一次方程组时，应具体问题具体分析，观察方程组的特点及未知数系数之间的关系，灵活消元．对于一些特殊的方程组，有特殊的解法，例如：若一个方程组由两个方程构成，其中一个方程是x∶y∶z＝a∶b∶c(a，b，c为常数，且都不为0)，另一个方程是关于x，y，z的三元一次方程，解这种方程组时，可引入k(k≠0)，用含k的式子表示x，y，z，再代入三元一次方程中，化“三元”为“一元”，求出k的值，进而可求出x，y，z的值．
[跟踪训练]
求解下列方程组的解集：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x＋3y＋z＝6， ①,x－y＋2z＝－1， ②,x＋2y－z＝5； ③))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝1， ①,y＋z＝5， ②,z＋x＝2. ③))
解：(1)①＋③，得3x＋5y＝11， ④
③×2＋②，得3x＋3y＝9，即x＋y＝3. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋5y＝11，,x＋y＝3，))
解这个方程组， 得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1，))
把x＝2，y＝1代入③，得2＋2－z＝5，所以z＝－1.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(2，1，－1)}．
(2)法一：①＋②＋③，得2x＋2y＋2z＝8，即x＋y＋z＝4， ④
④－①，得z＝3.
④－②，得x＝－1.
④－③，得y＝2.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，3)}．
法二：②－①，得z－x＝4， ④
③与④组成二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(z＋x＝2，,z－x＝4，))
解这个方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－1，,z＝3.))
把x＝－1代入①，得－1＋y＝1，所以y＝2.
所以这个三元一次方程组的解集为{(x，y，z)|(－1，2，3)}.
[例4] 求下列方程组的解集：
(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝8， ①,xy＝12； ②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4xy＋4y2＋x－2y－2＝0， ①,3x＋2y－11＝0. ②))
[解] (1)由①得y＝8－x，③
把③代入②，整理得x2－8x＋12＝0.
解得x1＝2，x2＝6.
把x1＝2代入③，得y1＝6.
把x2＝6代入③，得y2＝2.
所以原方程组的解集为{(x，y)|(2，6)，(6，2)}．
(2)由①得(x－2y)2＋(x－2y)－2＝0，
解得x－2y＝1或x－2y＝－2，
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝1，,3x＋2y－11＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x－2y＝－2，,3x＋2y－11＝0，))得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(9,4)，,y＝\f(17,8).))
所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(（3，1），\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(9,4)，\f(17,8))))))).
eq \a\vs4\al()
求二元二次方程组解集的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次，因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、一元二次方程甚至一元一次方程．
[跟踪训练]
解下列方程组：(1)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－4y2＋x＋3y－1＝0， ①,2x－y－1＝0； ②))
(2)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－y2＝1， ①,（x－y）2－2（x－y）－3＝0. ②))
解：(1)由②，得y＝2x－1， ③
把③代入①，整理，得15x2－23x＋8＝0.
解这个方程，得x1＝1，x2＝eq \f(8,15).
把x1＝1代入③，得y1＝1；
把x2＝eq \f(8,15)代入③，得y2＝eq \f(1,15).
所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(（1，1），\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,15)，\f(1,15))))))).
(2)由②得(x－y－3)(x－y＋1)＝0.
所以x－y－3＝0或x－y＋1＝0.
所以原方程组可化为两个方程组：
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－y2＝1，,x－y－3＝0，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2－y2＝1，,x－y＋1＝0.))
用代入消元法解方程组，分别得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝\f(5,3)，,y1＝－\f(4,3)，))eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝－1，,y2＝0.))
所以原方程组的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(（x，y）\b\lc\|(\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,3)，－\f(4,3)))，（－1，0）)))).
[例5] 某汽车在相距70 km的甲、乙两地往返行驶，行驶中有一坡度均匀的小山，该汽车从甲地到乙地需要2.5 h，从乙地到甲地需要2.3 h．假设该汽车在平路、上坡路、下坡路的行驶过程中时速分别是30 km，20 km，40 km，则从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路的长度各是多少？
[解] 设从甲地到乙地的过程中，上坡路、平路、下坡路分别是x km，y km和z km.
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝70，,\f(x,20)＋\f(y,30)＋\f(z,40)＝2.5，,\f(z,20)＋\f(y,30)＋\f(x,40)＝2.3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝12，,y＝54，,z＝4，))
故从甲地到乙地的过程中，上坡路是12 km，平路是54 km，下坡路是4 km.
eq \a\vs4\al()
列方程组解应用题的一般步骤
(1)审：认真审题，分清题中的已知量、未知量，并明确它们之间的等量关系；
(2)设：恰当地设未知数；
(3)列：依据题中的等量关系列出方程组；
(4)解：解方程组，求出未知数的值；
(5)验：检验所求得的未知数的值是否符合题意和实际意义；
(6)答：写出结论．
[跟踪训练]
甲、乙两人分别从相距30千米的A、B两地同时相向而行，经过3小时后相距3千米，再经过2小时，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙两人的速度．
解：设甲的速度为每小时x千米，乙的速度为每小时y千米．
①当甲、乙两人相遇前相距3千米时，
得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋3y＝30－3，,30－5x＝2（30－5y），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝5.))
②当甲、乙两人经过3小时相遇后又相距3千米时，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋3y＝30＋3，,30－5x＝2（30－5y），))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(16,3)，,y＝\f(17,3).))
故甲的速度为每小时4千米，乙的速度为每小时5千米；或甲的速度为每小时eq \f(16,3)千米，乙的速度为每小时eq \f(17,3)千米．
数学文化与方程组问题
[典例] (链接教科书第52页情境与问题)《九章算术》第八章“方程”问题一：今有上禾①三秉②，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗③；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗．问上、中、下禾实一秉各几何．
请列方程组求解这个问题．
①禾：粮食作物的总称；②秉：束；③斗：计量单位，1斗＝10升．
提示：设上禾一秉x斗，中禾一秉y斗，下禾一秉z斗，根据题意，可列方程组
eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3x＋2y＋z＝39， ①,2x＋3y＋z＝34， ②,x＋2y＋3z＝26， ③))
①－②得x－y＝5， ④
②×3－③得5x＋7y＝76， ⑤
④×7＋⑤得x＝eq \f(37,4)，
从而y＝eq \f(17,4)，z＝eq \f(11,4).
故上、中、下禾一秉各为eq \f(37,4)，eq \f(17,4)，eq \f(11,4)斗．
[知能拓展]
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作，全书分为九章，共246个问题，包含了算术、代数、几何等多方面的成就．
代数方面 ，《九章算术》的第八章为“方程”，但指的是一次方程组，本例就是其中的第一个问题．《九章算术》给出了解这个问题的“方程术”，其实质是将方程中未知数的系数与最后的常数项排成长方形的形式，然后采用“遍乘直除”的算法来解，过程可表示如下．
eq \a\vs4\al(3 2 1 39,2 3 1 34,1 2 3 26) ⇒ eq \a\vs4\al(3 2 1 39,0 5 1 24,0 4 8 39) ⇒ eq \a\vs4\al(3 2 1 39,0 5 1 24,0 0 4 11) ⇒ eq \a\vs4\al(4 0 0 37,0 4 0 17,0 0 4 11)
其中第一步是将第二行的数乘以3，然后不断地减去第一行，直到第一个数变为0为止，然后对第三行做同样的操作，其余的步骤都类似．
不难看出， “遍乘直除”的目的在于消元．按照我国著名数学史学家李文林先生的说法，《九章算术》的方程术，是世界数学史上的一颗明珠．
《九章算术》在代数方面的另一项成就是引进了负数，在用“方程术”解方程组时，可能出现减数大于被减数的情形，为此，《九章算术》给出了“正负术”，即正负数的加减运算法则．
另外，“开方术”也是《九章算术》的代数成就之一，其实质是给出了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的数值求解步骤．而且，“开方术”中还提到：若开之不尽者，为不可开．这是意识到了无理数的存在．
你知道其他地区类似的代数成就出现的时间吗？感兴趣的同学请查阅有关书籍或网络进行了解吧！
[迁移应用]
(2018·浙江高考)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，))当z＝81时，x＝__________，y＝__________．
解析：由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＋81＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)×81＝100，,))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝19，,5x＋3y＝73，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝11.))
答案：8 11
1．方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝10，,2x＋y＝16，))的解集是( )
A．{(x，y)|(6，4)} B．{(x，y)|(5，6)}
C．{(x，y)|(3，6)} D．{(x，y)|(2，3)}
解析：选A 由x＋y＝10，得y＝10－x，代入2x＋y＝16，得x＋10＝16，解得x＝6，所以y＝10－6＝4.故方程组的解集为{(x，y)|(6，4)}．故选A.
2．已知集合A＝{(x，y)|y＝x3}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B的元素个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选D 联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝x3，,y＝x，))消元，得x3＝x，
所以x(x－1)(x＋1)＝0，所以x＝0，1，－1，
故有三个交点，即(－1，－1)，(0，0)，(1，1)，所以集合A∩B中有3个元素．
3．下列四个集合中为方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＋z＝0，,2x－y－z＝1，,3x－y－z＝2，))的解集的是( )
A．{(x，y，z)|(0，1，－2)} B．{(x，y，z)|(1，0，1)}
C．{(x，y，z)|(0，－1，0)} D．{(x，y，z)|(1，－2，3)}
解析：选D eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋2y＋z＝0， ①,2x－y－z＝1， ②,3x－y－z＝2， ③))
①＋②得3x＋y＝1， ④
③－②得x＝1，将x＝1代入④得y＝－2，
将x＝1，y＝－2代入②得z＝3.
4．设计一个二元二次方程组，使得这个二元二次方程组的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3.))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝－2.))试写出符合要求的方程组________．
解析：由于这两组解都有：xy＝2×3＝6，x－y＝－1，
故可组成方程组为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＝6，,x－y＝－1.))
答案：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(xy＝6，,x－y＝－1))(答案不唯一)
5．求方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝26，,xy＝5.))的解集．
解：eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝26，①,xy＝5，②))①＋②×2得，x2＋y2＋2xy＝36，即(x＋y)2＝36，得x＋y＝6或x＋y＝－6；
①－②×2得，x2＋y2－2xy＝16，即(x－y)2＝16，
得x－y＝4或x－y＝－4.
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝6，,x－y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝6，,x－y＝－4，))
或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝－6，,x－y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝－6，,x－y＝－4，))
解此四个方程组，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x1＝5，,y1＝1，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＝1，,y2＝5，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x3＝－1，,y3＝－5，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x4＝－5，,y4＝－1.))
故方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＝26，,xy＝5，))的解集是{(x，y)|(5，1)，(1，5)，(－1，－5)，(－5，－1)}．
新课程标准解读
核心素养
1.会利用代入消元法或加减消元法解二元一次方程组
数学运算
2.能运用合适的方法求解二元二次方程组
数学运算
求二元一次方程组的解集
(1)变形
选取一个系数比较简单的二元一次方程进行变形，变形为y＝ax＋b(或x＝ay＋b)(a，b是常数，a≠0)的形式
(2)代入
把y＝ax＋b(或x＝ay＋b)代入另一个没有变形的方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程
(3)求解
解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
(4)回代
把求得的未知数的值代入步骤(1)中变形后的方程，求出另一个未知数
(5)写解集
用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式
(1)变形
根据同一个未知数系数的绝对值的最小公倍数，将方程的两边都乘适当的数
(2)加减
两个方程中同一个未知数的系数互为相反数时，将两个方程相加；同一个未知数的系数相等时，将两个方程相减
(3)求解
解消元后的一元一次方程，求出一个未知数的值
(4)回代
把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程中，求出另一个未知数的值
(5)写解集
用集合表示为{(x，y)|(…，…)}的形式
求三元一次方程组的解集
(1)消元
把方程组中的一个方程与另外两个方程分别组成方程组，利用代入消元法或加减消元法，消去两个方程组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组
(2)求解
解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值
(3)回代
将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数比较简单的方程，得到一元一次方程
(4)求解
解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值
(5)写解集
把方程组的解用集合表示出来
二元二次方程组的解集
方程组的实际应用