专题2 不等式及其应用讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式，在高考中，基本不等式是作为求多变元的最值的工具，利用均值不等式求最值需要把握准确“一正、二定、三相等”的含义，并要掌握相应的技巧.
题型一：配凑法
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
例1若a>0，b>0，c>0且a(a+b+c)+bc=16，
则2a+b+c>m2+2m恒成立，则实数m的取值范围是( )
A. (−∞,−2)∪(4,+∞)B. (−∞,−4)∪(2,+∞)
C. −2,4D. −4,2
【思路点拨】
首先恒成立问题转化为最值问题，本题实质是求2a+b+c的最小值，表达式为“和式”结构，因此可将条件a(a+b+c)+bc=16转化为“积式”结构，也即因式分解为a+ba+c=16，进而利用均值不等式求解.
练1(2024·湖北省黄石市·月考试卷)已知正数x，y满足x+y=1，且x2y+1+y2x+1≥m，则m的最大值为 ( )
A. 163B. 13C. 2D. 4
练2(2023·山东省济南市·月考试卷)若函数f(x)=ax2+(b−1)x+1的图象恒过定点M(1,4)，且a>0，b>0，当1ab+9b有最小值时，a2−b2= ．
题型二：利用常数代换法求最值

常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，并进行代数变形，进而利用均值不等式来求最值.常见的有“1”的代换.
例2若x>0,y>0，且1x+1+1x+2y=1，则2x+y的最小值为( )
A. 2B. 23C. 12+3D. 4+23
【思路点拨】
通过换元x+1=a,x+2y=b将题设条件简化为1a+1b=1，然后将目标2x+y转化为关于a,b的表达式3a+b2−32，然后进行“1”的代换.
练3(2023·山东省菏泽市·模拟题)设实数x，y满足x+y=1，y>0，|x|>0，则2|x|+|x|y的最小值为( )
A. 2 2−2B. 2 2+2C. 2−1D. 2+1
题型三：化单变量

利用条件将其中一个变量用另一个变量表示，将多变量的问题转化为单变量的问题，再利用均值不等式求解，也可以通过齐次化转化，利用比值换元转化为单变量问题.
例3已知正数a，b满足1a+1b=2，则3b+1−a的最大值为 ．
【思路点拨】
先根据1a+1b=2得到b=a2a−1，将b=a2a−1代入3b+1−a然后化简得到3b+1−a=53−[13(a−13)+(a−13)]，然后再利用均值不等式求解最大值即可．
练4(2024·江苏省无锡市模拟)若对任意实数x>0，y>0，不等式x+xy≤ax+y恒成立，则实数a的最小值为( )
2−12B. 2−1C. 2+1D. 2+12
题型四：多次使用基本不等式

连续使用均值不等式的关键在于取等条件是否成立，可以根据变量的个数以及方程的个数来确定可使用均值不等式的次数，或者需要保证所用均值不等式等号成立的条件不冲突.
例4已知正数x，y，z满足x2+y2+z2=1，则S=1+z2xyz的最小值为( )
A. 3B. 3(3+1)2C. 4D. 2(2+1)
【思路点拨】
本题变量为3个，方程1个，因此可以“自由”使用两次均值不等式，根据题干条件，可以先将目标S=1+z2xyz中的xy利用均值不等式转化为x2+y2=1−z2，转化为单变量后进行化简，继续使用均值不等式求解即可.
练5(2024·福建省莆田市模拟)已知x+1>y>0，则x+4x+y+1+1x−y+1的最小值为( )
A. 3102−1B. 103C. 23−1D. 32−1
练6(2024·湖北省襄阳市模拟)已知x>0，y>0，z>0，则x+yx+zxy+64xyz的最小值为______．
题型五：柯西不等式

柯西不等式的二维形式是：a2+b2c2+d2≥ac+bd2，当且仅当ac=bd等号成立；
其向量形式为：m=a,b, n=c,d，则|m∙n|≤|m||n|
根据柯西不等式的结构，即a2+b2c2+d2≥ac+bd2，其实质是将数平方和的形式与一次求和形式之间的转化.也就是说如果不等式题中给出的已知是平方和的形式，要求一次方和的形式的情况时，就可以使用柯西不等式；反过来不等式题中如果给出的已知是一次方和的形式，要求平方和的形式，也可以使用柯西不等式.
例5已知m，n均为正实数，4m+n=9，则2m+1+n+3的最大值为______．
【思路点拨】
题干条件相当于目标的平方和的形式，因此可以通过配凑系数，利用柯西不等式求解.
练7(2024·北京市期末)已知a+b=3(a>0,b>0)，则a2b+b2a的最小值为_________．
练8(2024·山东省·单元测试)柯西不等式(Caucℎy−Scℎwarz Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(a²+b²)(c²+d²)≥(ac+bd)²，当且仅当ad=bc时即ac=bd时，等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3 4−3x+ 3x−2的最大值为( )
2 5B. 2 3C. 10D. 13

1.(2024·安徽省·月考试卷)已知实数a，b，c满足14a2+14b2+c2=1，则ab+2bc+2ac的取值范围是( )
A. −∞,4B. −4,4C. −2,4 D. −1,4
2.(2024·河南省·月考试卷)若正实数x，y满足x+y=1，且不等式4x+1+1y0,z>0，则maxxz+1y,x+1yz,yx+1z的最小值为 ．
6.(2024·安徽省安庆市期末)已知x,y,z均为正实数,且x2+4y2+8z2=16,则5−xyz的最小值为 ．
7.(2025·江苏省南京市联考)已知正实数x，y，z，则x2+2y2+z2xy+3yz的最小值为 ．
8. (2024·江苏省苏州市·月考试卷)已知x,y∈R，且x+y=1．
(1)求证：x2+3y2≥34；
(2)当xy>0时，不等式1x+1y≥|a−2|+|a+1|恒成立，求a的取值范围．