专题23 “不动点法”处理迭代数列 讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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对于一个函数f(x)，我们把满足fm=m的值x=m称为函数f(x)的“不动点”．利用“不动点法”可以构造新数列，求数列的通项公式，研究数列的单调性，解决一些数列有关的不等式，更能深刻的反应迭代数列的函数本质.

题型一：用“不动点”求数列通项
迭代原理：
函数的迭代图象，简称蛛网图或者折线图，函数y=f(x)和直线y=x共同决定．
其步骤如下：
1．在同一坐标系中作出y=f(x)和y=x的图像（草图），并确定不动点．（如图1所示）

图1 图2
2．在找出不动点之后，确定范围，将不动点之间的图像放大，并找出起始点a1（如图2所示）
3．由a1向y=f(x)作垂直于x轴的直线与y=f(x)相交，并确定交点a1,a2．
4．由a1,a2向y=x作平行于x轴的直线与y=x相交，并确定交点a2,a2．
5．由a2,a2向y=f(x)作垂直于x轴的直线与y=f(x)相交，并确定交点a2,a3．
重复4，5，直至找到点an,an+1的最终去向．
例1（1）设数列an满足a1=1,an+1=2an+1，求an的通项公式．
（2）已知数列an满足a1=3,an+1=7an−2an+4,求该数列的通项公式．
【思路点拨】
（1）若fx=ax+b(a≠0,1)，p是f(x)的不动点．数列an满足an+1=f(an)，
则an+1−p=a(an−p)，即an−p是公比为a的等比数列．
（2）设fx=ax+bcx+d (c≠0,ad－bc≠0)，数列an满足an+1=fan,a1≠fa1．若f(x)有两个相异的不动点p,q，则an+1−pan+1−q=k∙an−pan−q(此处k=a−pca−qc).
【规范解析】
（1）如上图1、图2可得，函数y=2x+1的不动点为-1，
故y=2x+1满足y−(−1)=2[x−(−1)] 即y+1=2x+1，
由数列an,an+1构成的任一点均位于函数y=2x+1上，
故可知an+1+1=2an+1,
∴an+1是公比为2的等比数列，
∴an=2n−1.
（2）由方程x=7x−2x+4，得数列an的不动点为1和2，
an+1−1an+1−2=7an−2an+4−17an−2an+4−2=7an−2−an+47an−2−2an+4=65∙an−1an−2，
所以an−1an−2是首项为a1−1a1−2=2，公比为65的等比数列，
所以an−1an−2=2∙65n−1,
解得an=12∙65n−1−1+2=4∙6n−1−5n−12∙6n−1−5n−1，n∈N∗.
练1已知数列an满足an+1=−13an−2，a1=4，求数列an的通项公式．
【规范解析】
设fx=−13x－2，由fx=x，得x=−32.∴an+1+32=−13an+32，
又a1=4，∴an+32是以112为首项，以−13为公比的等比数列，
∴an+32=112∙−13n−1，
∴an+32=112∙−13n−1，n∈N∗.
练2设数列an满足8an+1an−16an+1+2an+5=0n≥1,n∈N∗,且a1=1,
记bn=1an−12n≥1,求数列bn的通项公式.
【规范解析】
由已知得an+1=2an+516−8an,由方程x=2x+516−8x,得不动点x1=12,x2=54.
所以an+1−12an+1−54=2an+516−8an−122an+516−8an−54=12∙an−12an−54,
又a1−12a1−54=1−121−54=−2，
所以数列an−12an−54是首项为-2,公比为12的等比数列,
所以an−12an−54=−2∙12n−1=−42n,解得an=2n−1+52n+4.
故bn=1an−12=2n+43,n∈N∗.
题型二：用“不动点”研究数列单调性

蛛网图与数列的单调性
1：y=f(x)的单调增区间存在两个不动点x1,x2(x1an，在两不动点以外的区间则是递减的，即an+1