专题19 通项公式常用方法讲义-2025届高三数学二轮复习 含答案

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在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈.求通项公式也是学习数列时的一个难点.由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强.

题型一：累加法求通项公式
如果递推公式形式为：an+1−an=fn，则可利用累加法求通项公式.
① 等号右边为关于n的表达式，且能够进行求和；
② an+1,an的系数相同，且为作差的形式.
例1(2024·湖北襄阳模拟) 已知数列an满足a1=1,an−an+1=anan+1(n+1)(n+2) (n∈N∗)，则nan的最小值是( )
A. 25B. 34C. 1D. 2
【思路点拨】
根据递推关系得出1an+1−1an=1n+1−1n+2，然后利用累加法求出an的通项公式，进而求出nan的通项公式，然后利用求函数单调性求出数列最小值即可．
【规范解析】
解：由an−an+1=anan+1(n+1)(n+2)(n∈N∗)，
得an−an+1anan+1=1(n+1)(n+2)=1n+1−1n+2，
即1an+1−1an=1n+1−1n+2，
∴1an−1an−1=1n−1n+1，…1a2−1a1=12−13，n⩾2
以上式子相加得： 1an−1a1=12−1n+1，
因为a1=1，所以an=2n+23n+1(n≥2)，
当n=1时，上式成立，即an=2n+23n+1，∴nan=2n2+2n3n+1，
令3n+1=t，(t=4,7,10,13,……)，即n=t−13，
所以nan=2n2+2n3n+1= 2×(t−13)2+2×t−13t=2t2+2t−49t=29(t−2t+1)，
又y=29(t−2t+1)在t≥4时单调递增，当t=4取得最小值为1，即nan的最小值是1．
故选：C．
练1(2024·全国·模拟预测) 数列an满足a1=2，a2=−4，且对任意正整数n，有an+2=2an+1−an+1，则an的最小值为( )
A. −16B. −17C. −18D. −19
【规范解析】
解：∵an+2−2an+1+an=1，
∴(an+2−an+1)−(an+1−an)=1，
而a2−a1=−4−2=−6，
∴数列{an+1−an}是以−6为首项，1为公差的等差数列．
∴an+1−an=−6+(n−1)×1=n−7，
∴a2−a1=1−7，
a3−a2=2−7，
···
an−an−1=(n−1 )−7，
∴an−a1=1+2+3+⋯+(n−1)−7(n−1)
=n(n−1)2−7(n−1)，n⩾2
∴an=n−14(n−1)2+2=12n2−15n+18，n⩾2
由于a1=2满足上式，
所以an=12n2−15n+18，
易得当n=7或8时an取得最小值，a7=a8=−19．
故选D．
练2（2024·广东·统考模拟预测）南宋数学家杨辉在《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般的等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.如数列1，3，6，10，前后两项之差组成新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，4，8，14，23，36，54，则该数列的第20项为( )
(注：12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6)
A. 1624B. 1024C. 1198D. 1560
【规范解析】
解：令{an}：1，4，8，14，23，36，54，⋯;
将数列{an}从第二项开始每一项与前一项作差得数列{bn}:3，4，6，9，13，18，⋯;
再将数列{bn}从第二项开始每一项与前一项作差得数列{cn}:1，2，3，4，5，⋯，则cn=n．
∵bn+1−bn=cn=n，∴累加法可得bn=3+n(n−1)2．
∵an+1−an=bn=3+n(n−1)2，
∴当n≥2且n∈N∗时，an−an−1=bn−1=3+n−1(n−2)2，
∴当n≥2且n∈N∗时，an=a1+12+22+⋯+(n−1)22−1+2+⋯+(n−1)2+3(n−1)=n(n−1)(n−2)6+3n−2，
当n=1时，也适合上式，
∴an=n(n−1)(n−2)6+3n−2(n∈N∗)，∴a20=1198．
题型二：累乘法求通项公式

如果递推公式形式为：an+1an=fn，则可利用累加法求通项公式.
例2（2024·浙江高三模拟）若数列an满足n−1an=n+1an−1n≥2，a1=2，则满足不等式an