2022年新高考数学二轮提升数列专题第31讲《证明数列不等式：放缩法》（2份打包，解析版+原卷版）

第31讲 证明数列不等式：放缩法

一、解答题

1．（2021·四川·雅安市教育科学研究所高一期末）设数列的前项和为，且成等差数列．

（1证明为等比数列，并求数列的通项；

（2）设，且，证明．

（3）在（2）小问的条件下，若对任意的，不等式恒成立，试求实数λ的取值范围.

2．（2021·山东·嘉祥县第一中学高三期中）已知函数，，．

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在，使得成立，求实数的取值范围；

（3）证明不等式（其中是自然对数的底数）．

3．（2021·四川·射洪中学高三月考（文））已知函数，，.

（1）求的最大值；

（2）若对，总存在使得成立，求的取值范围；

（3）证明不等式：.

4．（2021·全国·高三专题练习）已知正项数列的前项和为，且.

（1）计算、、，猜想数列的通项公式；

（2）用数学归纳法证明数列的通项公式；

（3）证明不等式对任意恒成立.

5．（2021·全国·高二单元测试）设数列的前项和为，已知，且．

（1）证明为等比数列，并求数列的通项公式；

（2）设，且，证明；

（3）在（2）的条件下，若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围．

6．（2021·全国·高三月考（理））设函数，其中．

（1）当时，求函数的图象在点处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性；

（3）当，且时，证明不等式．

7．（2021·全国·高二课时练习）已知数列，前n项和为，对任意的正整数n，都有恒成立．

（1）求数列的通项公式；

（2）已知关于n的不等式…对一切恒成立，求实数a的取值范围；

（3）已知 ，数列的前n项和为，试比较与的大小并证明．

8．（2021·四川·树德中学高一月考）已知数列满足递推关系，，又.

（1）当时，求数列的通项公式；

（2）若数列满足不等式恒成立，求的取值范围；

（3）当时，证明.

9．（2021·吉林·乾安县第七中学高二月考（理））

已知函数 (是自然对数的底数，).

（I）证明：对，不等式恒成立；

（II）数列的前项和为，求证：．

10．（2016·江苏·一模）数列满足且.

（1）用数学归纳法证明：；

（2）已知不等式对成立，证明：（其中无理数）.

11．（2011·浙江嘉兴·一模（文））已知函数

（1）若函数是上的增函数，求的取值范围；

（2）证明：当时，不等式对任意恒成立；

（3）证明：

12．（2021·四川·石室中学高一期末）已知函数的图象上有一点列，点在轴上的射影是，且（且），．

（1）求证：是等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）对任意的正整数，当]时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）设四边形的面积是，求证：．

13．（2021·江苏·高二单元测试）设各项均为正数的数列的前项和为，若构成等比数列，且

（1）求数列的通项公式；

（2）求证：对任意正整数，有

14．（2021·浙江·学军中学高三期中）已知数列的各项均为正数，前项和为，，，若对任意的正整数，有

（1）求的通项公式；

（2）设数列满足，求证：.

15．（2021·河北·高三专题练习）设数列的前项和为，满足，且，，成等差数列．

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明：对一切正整数，有．

16．（2022·全国·高三专题练习（理））设数列的前项和为.已知，，.

（1）求的值；

（2）求数列的通项公式；

（3）证明:对一切正整数，有.

17．（2021·浙江温州·一模）设为正项数列的前项和，满足.

（1）求的通项公式；

（2）若不等式对任意正整数都成立，求实数的取值范围；

（3）设（其中是自然对数的底数），求证：.

18．（2021·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知函数.

（1）当时，讨论函数的单调性，并证明：；

（2）若函数与的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围.

19．（2021·全国·高三专题练习）已知函数（e为自然对数的底数），其中a∈R.

（1）试讨论函数f（x）的单调性；

（2）证明：.

20．（2021·云南·模拟预测（文））已知函数

（１）讨论的单调性；

（2）证明：．

21．（2021·山东·模拟预测）函数，

（1）判断时，的零点个数，并加以说明；

（2）正项数列满足，，

①判断数列的单调性并加以证明.

②证明：

22．（2021·全国·高三专题练习（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）当时，证明：

（i）；

（ii）证明：．

23．（2021·浙江嘉兴·一模）已知数列满足，.

（Ⅰ）判断数列的单调性；

（Ⅱ）证明：；

（Ⅲ）证明证明：.

24．（2021·浙江·镇海中学高三期中）已知数列满足上：，.

（1）若，证明：数列是等差数列；

（2）若，判断数列的单调性并说明理由；

（3）若，求证：.

25．（2021·云南昆明·高三月考（理））已知函数（）.

（1）讨论的单调性；

（2）证明：（，）.