苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业11乘法公式的综合运用(知识梳理+5大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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暑假作业11 乘法公式的综合运用
知识点01 完全平方式的应用1（知2求3）
（、、、）
用可推导除一些变式：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①
= 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
注：在完全平方公式中，主要有、、、等模块，都可以通过与相结合推导出来。
补充公式：。
知识点02 完全平方公式应用2（求最值）
把代数式通过配凑等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式是非负性这一性质增加问题的条件，这种解题方法通常被称为配方法．配方法在代数式求值、解方程、最值问题等都有着广泛的应用．
知识点03 完全平方式的应用（求参数）
完全平方式含参：两数的平方和，再加上或减去它们积的倍，就构成了一个完全平方式．注意积的倍的符号，避免漏解．理解和掌握完全平方公式的结构特征是解题的关键．
注意：(1)对于a2=x(x0)，a有正负两种结果。(2)区分缺首尾项和缺中间项.
知识点04 乘法公式的几何背景
两个三项式相乘，若直接观察题目的结构无法找到合适的公式套用，这时需要作合理的裂项，添加括号，再利用整体思想套用公式，这时应用乘法公式解题的基本技巧。
题型一 通过对完全平方公式变形求值（知二求三）
1．已知，，则的结果是（ ）
A．19B．31C．D．
2．已知，，则的值是（ ）
A．64B．76C．88D．100
3．已知，则的值为（ ）
A．nB．C．0D．
4．已知．则多项式的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
5．已知，，则 ．
6．若，，则代数式的值是 ．
7．已知，则的值为 ．
8．已知，，求下列各式的值：
(1)；
(2)．
9．（1）已知，，求和的值．
（2）已知，求的值．
题型二 利用乘法公式求最值
1．对于代数式: ，下列说法正确的是（ ）
A．有最大值B．有最小值C．有最小值D．无法确定最大最小值
2．阅读材料：数学课上，杨老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以，当时，，因此的最小值是1．
通过阅读，解答问题：当x取何值时，代数式有最大或最小值，是多少？（ ）
A．当时，有最小值．B．当时，有最小值7．
C．当时，有最大值7．D．当时，有最大值．
3．若有最小值，则当 时，它的值最小，其最小值为 ．
4．已知代数式，当= 时，代数式的值最小，最小值是 ．
5．王老师提出问题：求代数式的最小值．要求同学们运用所学知识进行解答．
同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法；
解：，
∵，∴．
当时，的值最小，最小值是1．
∴的最小值是1．
请你根据上述方法，解答下列各题：
(1)直接写出的最小值为 ．
(2)求代数式的最小值．
(3)你认为代数式有最大值还是有最小值？求出该最大值或最小值．
6．阅读材料：求代数式的最小值？总结出如下解答方法：
解：
∵，
∴当时，的值最小，最小值是，
∴的最小值是．
根据阅读材料解决下列问题：
(1)填空：_________________；
(2)求代数式最小值．
题型三 利用乘法公式求参数
1．若是一个完全平方式，那么的值应该是（ ）
A．B．C．12D．
2．若关于x的二次三项式是一个完全平方式，那么a的值是（ ）
A．12B．C．6D．
3．若是完全平方式，则的值等于（ ）
A．B．C．或D．或
4．若关于的二次三项式是一个完全平方式，那么的值是（ ）
A．B．C．D．或
5．如果二次三项式是一个完全平方式，那么m的值是 ．
6．若关于x的多项式（m为常数）是一个完全平方式，则 ．
7．若关于x的二次三项式是完全平方式，则m的值为 ．
8．若是完全平方式，则m的值为 ．
9．阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】：
（1）若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为 ；
（2）配方： ；
【知识运用】：
（3）已知，求m，n的值．
10．对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：．
根据上述规定解决下列问题：
(1)计算；
(2)若是一个完全平方式，求常数的值；
(3)若，，求的值．
题型四 乘法公式在几何图形中的应用
1．用4张长为、宽为的长方形纸片按如图所示的方式拼成一个边长为的正方形，图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为．若，则、满足（ ）
A． B．C． D．
2．如图，正方形纸片甲、丙的边长分别是，，长方形纸片乙的长和宽分别为和．现有这三种纸片各张，取其中的若干张三种图形都要取到拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的个数为( )
A．3B．4C．5D．6
3．如图，正方形和长方形的面积相等，且四边形也为正方形，欧几里得在《几何原本》中利用该图得到了：．设．若，则图中阴影部分的周长为（ ）
A．40B．45C．50D．60
4．2024年央视春晚上伴随着全民齐诵《将进酒》，西安将万千观众再次带入盛世长安．长安灯璀璨，古都夜未央，小明为大唐不夜城的景观灯带设计了一个“中”字图案．他以长方形的四条边为边向外作四个正方形，如图示，若四个正方形的周长之和为32，面积之和为18，则长方形的面积为（ ）
A．B．C．7D．5
5．如图1，有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得到图2，图2中阴影部分的面积为4．将图1中的两个正方形A，B并排放置后构造新的正方形得到图3，图3中阴影部分的面积为30，则图1中两个正方形A与B的面积之和为 ．
6．如图，把三张边长相等的小正方形甲、乙、丙纸片按先后顺序放在一个大正方形内，丙纸片最后放在最上面．已知小正方形的边长为，如果斜线阴影部分的面积之和为，空白部分的面积和为4，那么的值为 ．
7．如图，两个正方形的边长分别为a，b，若，则四边形的面积为 ．
8．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为4和30，则正方形A，B的面积之和为 ．
9．如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．

(1)你认为图2中的阴影部分的正方形的边长等于______？
(2)请用两种不同的方法求图2中阴影部分的面积．
①______________________________②______________________________
(3)观察图2，请你写出代数式，，之间的等量关系______根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若，，求的值．
10．有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，分别为个小方块的面积．
(1)请用图中所给图形的边长与面积，表示其中的等量关系_______．
(2)利用（1）中的结论解决：若，则_____，_____．
(3)如图2所示，线段的一点，以为边向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积．
(4)若实数满足，求代数式的值．
题型五 乘法公式中俄的新定义运算
1．定义，，给出下列结论错误的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
2．对于任意有理数，，现用“”定义一种运算：，根据这个定义，代数式可以化简为（ ）
A．B．C．D．
3．若定义“*”运算“”若：，则等于（ ）
A．B．C．D．
4．定义，例如 ，则的结果为（ ）
A．B．C．D．
5．现定义一种新运算：※，其中，均为有理数，则91※ ．
6．定义：如果一个正整数平方后得到的数，十位数字比个位数字大1，我们把这样的正整数称为“领先数”．例如，，那么11是领先数．若将领先数从小到大排列，则第4个领先数是 ；第36个领先数是 ．
7．将4个数排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义，，则 ．
8．我们定义，例如．如果、均为有理数，并且满足，那么的值为 ．
9．定义，如．已知（m为常数），．
(1)若A的代数式中不含x的一次项，求m的值；
(2)若A中的m满足，计算的结果．
10．【阅读材料】配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题．
定义：若一个整数能表示成（a，b为整数）的形式，则称这个数为“完美数”
例如，5是“完美数”，理由：因为．所以5是“完美数”
(1)已知53是“完美数”，请将它写成（a，b为整数）的形式______；
(2)若可配方成的形式（m、n均为常数），求的值；
(3)已知（x，y是整数，k是常数），若S为“完美数”，求k的值．
1．如图，从边长为的正方形纸片中前去一个边长为的小正方形，剩余部分沿虚线剪拼成一个矩形（不重叠、无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A． B．C．D．
2．若是完全平方式，则m的值是（ ）．
A．6或B．10或C．或10D．或6
3．已知，则的值是（ ）
A．1B．C．3D．4
4．用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为的正方形，需要类卡片的张数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．4张长为m，宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，图中空白部分的面积为，阴影部分的面积为，若，则m，n满足的关系是（ ）
A．B．C．D．
6．不论a、b为任意有理数，多项式的值总是不小于 ．
7．已知，则的值为 ．
8．若实数m满足，则的值是 ．
9．算式的个位数字为 ．
10．阅读材料：若x满足，求的值．
解：设，则，．
所以．
带仿照上例解决下面问题：
若x满足，则的值是 ．
11．先化简再求值：，其中，．
12．已知，求代数式的值．
13．把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．
例如，由图1，可得等式：．
(1)由图2，可得等式_____；
(2)利用（1）所得等式，解决问题：已知，，求的值；
(3)如图3，将两个边长为、的正方形拼在一起，、、三点在同一直线上，连接和，若这两个正方形的边长、如图标注，且满足，．请求出阴影部分的面积．
14．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”．
(1)请判断：36_____“幸运数”；（填“是”或“不是”）
(2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由．
①佳佳发现：两个连续偶数和（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数．
②琪琪发现：2024是“幸运数”．
15．完全平方公式不仅具有一定的几何意义，而且将其进行适当变形后还可以解决很多数学问题．
例如：若满足，
求的值．小军的解法如下：
解：设，，
则，
．
∴．
(1)将图1中的四个小长方形拼成一个如图2所示的大正方形，求解下列问题：
①观察图2，请你用等式表示，，之间的数量关系．
②若，，求的值．
(2)若满足，求的值．
1．（2022·江苏南通·中考真题）已知实数m，n满足，则的最大值为（ ）
A．24B．C．D．
2．（2023·内蒙古赤峰·中考真题）已知，则的值是（ ）
A．6B．C．D．4
3．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ．
4．（2022·江苏泰州·中考真题）已知 用“＜”表示的大小关系为 .
5．（2021·江苏扬州·中考真题）计算： ．
6．（2020·江苏宿迁·中考真题）已知a+b＝3，a2+b2＝5，则ab的值是 ．
7．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ．
8．（2022·湖南益阳·中考真题）已知m，n同时满足2m+n＝3与2m﹣n＝1，则4m2﹣n2的值是 ．
9．（2022·四川广安·中考真题）已知a+b=1，则代数式a2﹣b2 +2b+9的值为 ．
10．（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式是一个完全平方式，则实数t的值为 ．
11．（2023·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中，.
12．（2022·江苏盐城·中考真题）先化简，再求值：，其中．
13．（2022·江苏苏州·中考真题）已知，求的值．
14．（2020·江苏常州·中考真题）先化简，再求值：，其中．