苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业10平行线的基本模型(知识梳理+5大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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暑假作业10 平行线的基本模型
模型1、猪蹄模型（M型）
如图，①已知：AB∥CD，结论：∠APC=∠A+∠C；②已知：∠APC=∠A+∠C，结论：AB∥CD.

① ②图 ③图
③已知：AB∥CD，结论：∠A+∠P2+∠C=∠P1+∠P3.
模型2、铅笔头模型
如图，①已知：AB∥CD，结论：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°；
②已知：∠PAB+∠APB+∠PCD=360°，结论：AB∥CD.

① ②图 ③图
③已知：AB∥CD，结论：∠1+∠2+…+∠n=180（n－1）.
模型3、拐弯模型
①（鸟嘴形）：如图，已知AB∥CD，结论：∠1=∠2+∠3.
②（骨折形）：如图，AB∥CD，结论：∠2=∠1+∠3.

模型4、“5”字模型
如图，AB∥CD，结论：∠1+∠3－∠2=180°.
模型5：平行线的动态角度模型（折叠、旋转、动点）
1、翻折和折叠问题其实质就是对称问题，翻折图形的性质就是翻折前后图形是全等的，对应的边和角都是相等的，对应点连线被对称轴垂直平分。
2、平行线旋转问题的技巧是利用平行线的性质和旋转的性质，通过画图和推导等方法解决问题。
具体来说，可以采用以下几个步骤：
1）画出问题中的图形，并标出已知条件和需要求解的量；
2）利用平行线的性质，找出与所求解的量有关的平行线段或角度，并尝试构造相应的平行线；
3）利用旋转的性质，将所求解的量旋转到已知条件所在的位置，从而得到一个新的图形；
4）利用新图形中的已知条件和平行线的性质，推导出所求解的量的值；
5）检查所求解的量是否符合实际情况，如果符合，则得到了正确的解答。
3、动点压轴问题：分析过程很重要，代数法表示角度是基本处理方法。
题型一 平行基本模型之M模型
1、如图所示，如果 AB ∥ CD ，则∠α、∠β、∠γ之间的关系为（ ）

A．∠α+∠β+∠γ＝180°B．∠α－∠β+∠γ＝180°
C．∠α+∠β－∠γ＝180°D．∠α－∠β－∠γ＝180°[
2、如图，已知，平分，平分，，，则的度数为___________．（用含n的式子表示）
3、已知直线AB//CD，EF是截线，点M在直线AB、CD之间．
(1)如图1，连接GM，HM．求证：∠M＝∠AGM＋∠CHM；
(2)如图2，在∠GHC的角平分线上取两点M、Q，使得∠AGM＝∠HGQ．试判断∠M与∠GQH之间的数量关系，并说明理由．
题型二 平行基本模型之铅笔模型
1、如图，，则下列说法中一定正确的是

A．B．
C．D．
2、如图，，射线，分别与，交于点M，N，若，则的度数是 ．

3、探究题
(1)如下图，，，．求度数；

(2)如下图，，点在射线上运动，，．

①当点P在A，B两点之间运动时，，，之间的数量关系为__________
②当点P在A，B两点外侧运动时(点P与点A，B，O三点不重合)，请写出，，之间的数量关系，并说明理由．

题型三 平行基本模型之鸡翅模型
1、①如图1，，则；②如图2，，则；③如图3，，则；④如图4，直线 EF，点在直线上，则．以上结论正确的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2、（2023春·广东东莞·七年级东莞市光明中学校考期中）（1）如图（1）AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
（2）观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（3）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
3、（2023·全国·七年级假期作业）已知，，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，作的平分线交于点，点为上一点，连接，若的平分线交线段于点，连接，若，过点作交的延长线于点，且，求的度数．
题型四 平行基本模型之骨折模型
1、如图所示，AB∥CD，∠E＝37°，∠C＝ 20°，则∠EAB的度数为__________．
2、如图，若，则∠1+∠3-∠2的度数为______
3、（1）如图，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度数；
（2）如图，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍与∠E的补角的和为190°，求∠ABE的度数．
（3）如图，P为（2）中射线BE上一点，G是CD上任一点，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度数．
题型五 平行基本模型之折叠问题
1．折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
2．如图1，将长方形ABCD沿CE（点E在AB上，不与点A，B重合）折叠，点B落在点处，连接，，设，．变化长方形的大小如图2所示，若的值增大了，且保持不变，则的值（ ）
A．增大了B．减小了C．增大了D．减小了
3．如图将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为、，若，且，则 ．

4．数学活动课上，琳琳同学将一张长方形纸条沿折叠，点落在点处．
(1)如图，她通过测量发现：，请你证明她的结论；
(2)如图，点在上，点在上，连接，，将四边形沿所在直线折叠得到，交于，点的对应点落在点处，点的对应点落在点处．她通过测量发现：，请你证明她的结论．
(3)如图，在（）的条件下，将四边形沿向上折叠得到四边形，点的对应点恰好落到上的点处，点落到点处，猜想，与的数量关系，并证明你的结论．
1．如图，，E，F分别是上的点，分别是和的平分线，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，已知，，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，已知，平分平分，，则的度数为（ ）度．

A．55B．50C．40D．30
4．如图，把一张长方形纸沿折叠，若，则有下列结论：；； ；．其中正确的有（ ）
A．个B．个C．个D．个
5．如图，已知：，，平分，，有下列结论：①；②；③；④.结论正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图，已知，，，则 度．

7．如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 ．
8．如图，，分别平分，，若，则的度数是 ．
9．如图，，、分别平分和，，与互补，则的度数为 ．
10．如图，由线段组成的图形像∑，称为“形”．
（1）如图1，形中，若，，则 ；
（2）如图2，连接形中B，D两点，若，，试猜想与的数量关系 ．
11．【模型发现】某校数学研讨会的学生在活动中发现：图1中的的几何图形，很像小猪的猪蹄，于是将这个图形称为“猪蹄模型”，“猪蹄模型”中蕴含着角的数量关系．

（1）如图1，，是，之间的一点，连接，，试说明：；
【灵活运用】
（2）如图2，，，是，之间的两点，当时，请找出和之间的数量关系，并说明理由；
【拓展延伸】
（3）如图3，，，，均是，之间的点，如果，直接写出的度数．
12．如图，，点，分别在，上，点在，之间，连接，，且．请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图．
(1)在图1中作，且．
(2)如图2，，作．且．
13．已知：两直线、满足点是平面内一动点，连接、

(1)如图，若点在两直线外部，则 、、之间满足什么数量关系？请证明这个结论
(2)如图，若点在两直线外部，连接，则、、、之间满足什么数量关系？请证明结论(不能用三角形内角和为)
(3)若点在两直线内部，且在右侧，则、、、之间满足什么数量关系？(不需证明)
14．课题学习：平行线的“等角转化”功能．
阅读理解：
如图1，已知点是外一点，连接，．求的度数．
（1）阅读并补充下面推理过程．
解：过点作，所以 ， ．
又因为．所以．
解题反思：
从上面的推理过程中，我们发现平行线具有“等角转化”的功能，将，， “凑”在一起，得出角之间的关系，使问题得以解决．
方法运用：
（2）如图2，已知，求的度数．
提示：过点作．
深化拓展：
（3）已知，点在点的右侧，，平分，平分，，所在的直线交于点，点在与两条平行线之间．
如图3，点在点的左侧，若，则的度数为 ．
15．对于平面内的和，若存在一个常数，使得，则称为的系补周角．如若，，则为的6系补周角．
(1)若，则的4系补周角的度数为___________
(2)在平面内，点是平面内一点，连接，．
①如图1，，若是的3系补周角，求的度数．
②如图2，和均为钝角，点在点的右侧，且满足，（其中为常数且，点是角平分线上的一个动点，在点运动过程中，请你确定一个点的位置，使得是的系补周角，并直接写出此时的值（用含的式子表示）．
1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，中，，顶点，分别在直线，上．若，，则的度数为（ ）

A．B．C．D．
2．（2020·江苏南通·中考真题）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36°B．34°C．32°D．30°
3．（2021·山东东营·中考真题）如图，，于点F，若，则（ ）
A．B．C．D．
4．（2021·辽宁锦州·中考真题）如图，AM∥BN，∠ACB＝90°，∠MAC＝35°，则∠CBN的度数是（ ）
A．35°B．45°C．55°D．65°
5．（2020·四川广元·中考真题）如图，，M，N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么 （ ）
A．B．C．D．