2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习专题10——整式乘法的运用（巩固练习）

这是一份2024-2025学年苏科版数学七年级下册期末复习专题10——整式乘法的运用（巩固练习），共27页。
（巩固练习）
【典型例题】
【例1】通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（ ）

A B.
C. D.
【例2】从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【例3】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积
为 ．
【例4】如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，，，那么阴影部分的面积等于 ．
【例5】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、．
（1）用含、的代数式表示________________；
（2）若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长；
（3）记的面积为，则______________（用字母表示）．
【例6】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片多少张，号卡片多少张，号卡片多少张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求值．
【举一反三】
【变式1】如图的正方形分割方案，可以验证（ ）
A. B.
C. D.
【变式2】如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（ ）
①②B．①③C．①②③D．①②③④
【变式3】已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【变式4】如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： ．
【变式5】如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
【变式6】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果．
【形成结论】
（1）探究2中（a+b+c）2＝ ；
【应用结论】
（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，求的值．
【巩固练习】
1.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A．B．
C．D．
2.我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
3.如图，有A、B、C三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片的张数分别为（ ）

A. 5，3，6B. 6，7，2C. 6，2，7D. 5，2，6
4.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．24B．29C．41D．45
5.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： ．你根据图乙能得到的数学公式是 ．

用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2a+b的正方形，需要B类卡
片 张．

7.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB=5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ．
8.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
（2）利用（1）中的结论，若，，求的值；
（3）如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
9.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图 2， 请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：为_______；
(2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片 张，B 号卡片_____张，C号卡片____张；
(3)解答问题：若则的值为_______；
(4)两个正方形 ABCD,AEFG 如图 3 摆放,边长分别为 x,y . 若 x2−y2=25 ,则图中阴影部分面积的和为_____.
10.【阅读材料】
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以
，
【尝试应用】
（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____；
（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____；
【拓广探索】
（3）若，，且，．求的值．
11.如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：①(x−2)(x+2)x2+4；
②1+121+1221+1241+128+1215．
【拓展】
直接写出2+122+124+128+1⋯232+1+1结果的个位数字．
12. 【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______；
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式：______．
（5）【解决问题】分解因式：______，______．
答案解析
【典型例题】
【例1】通过计算下列图形中阴影部分的面积，可以得到的代数恒等式是（ ）

A B.
C. D.
【答案】C
【例2】从边长为的大正方形纸板正中央挖去一个边长为的小正方形后，将其裁成四个大小和形状完全相同的四边形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的等式为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【例3】如图，在一块长方形草坪中间，有一条处处为宽的弯曲小路，则这块草地的面积为 ．
【答案】
【例4】如图，两个正方形的边长分别为a和b，其中B，C，G三点在同一直线上，，，那么阴影部分的面积等于 ．
【答案】48
【例5】如图，正方形的边长为，点在边上，四边形也是正方形，它的边长为，连接、、．
（1）用含、的代数式表示________________；
（2）若两个正方形的面积之和为60，且，求图中线段的长；
（3）记的面积为，则______________（用字母表示）．
【答案】（1）
（2）解：∵两个正方形的面积之和为60，
∴，
，
，
；
【小问3详解】
解：
．
故答案为：．
【例6】数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形．
（1）观察图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系；
（2）若要拼出一个面积为的矩形，则需要号卡片多少张，号卡片多少张，号卡片多少张．
（3）根据（1）题中的等量关系，解决如下问题：
①已知：，，求的值；
②已知，求值．
【答案】（1）解：大正方形的面积可以表示为：，或表示为：；
因此有；
【小问2详解】
解：，
需要A号卡片1张，B号卡片2张，C号卡片3张，
【小问3详解】
解：①，，，
，
，即的值为；
②令，
.
.
.
，
.
.
.
，
，
，
解得．
．
【举一反三】
【变式1】如图的正方形分割方案，可以验证（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【变式2】如图，甲、乙、丙、丁四名同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①；②；③；④．你认为正确的有（ ）
①②B．①③C．①②③D．①②③④
【答案】D
【变式3】已知长方形金鱼池的面积为1平方米，周长为6米，以长方形鱼池相邻两边向外作正方形的小花园，则两个正方形小花园面积之和是 ．
【答案】7
【变式4】如图，两个四边形均为正方形，根据图形的面积关系，写出一个正确的等式： ．
【答案】（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2
【变式5】如图，边长为a的大正方形是由1个边长为b的小正方形和4个形状大小完全相同的梯形组成．
(1)用含a，b的代数式表示其中一个梯形的面积：_________；
(2)请用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，由此，你能得到一个怎样的公式？
【答案】（1）解：根据题意得：梯形的面积为a+b×a−b22=14a+ba−b，
或：a2−b2÷4=14a2−b2；
故答案为：14a+ba−b或14a2−b2；
（2）解：方法一：用梯形面积乘以4，即14a+ba−b×4=a+ba−b；
方法二：用大正方形的面积减去小正方形的面积，即a2−b2．
【变式6】数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方面，具有精确性，形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性．“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的方法和面积法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．
【问题探究】
探究1：如图1所示，大正方形的边长是（a+b），它是由两个小正方形和两个长方形组成，所以大正方形的面积等于这四个图形的面积之和．根据等积法，我们可以得出结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．
探究2：请你根据探究1所使用的等积法，从图2中探究出（a+b+c）2 的结果．
【形成结论】
（1）探究2中（a+b+c）2＝ a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac ；
【应用结论】
（2）利用（1）问所得到的结论求解：已知a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，求ab+bc+ca的值；
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，求的值．
【答案】（1）∵等式左边是从整体看大正方形的面积等于边长的平方，
∴等式右边应该表示出组成大正方形的各个部分的面积的和．
∵组成大正方形的各个部分的面积分别为：a2，ab，ac，ab，b2，bc，ac，bc，c2，
∴它们的和为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac．
故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac；
（2）解：∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
∴2（ab+bc+ca）＝（a+b+c）2﹣（a2+b2+c2）．
∴ab+bc+ca＝．
∵a+b+c＝0，a2+b2+c2＝4，
∴ab+bc+ca＝﹣2；
（3）由（1）得：（ab+bc+ca）2＝a2b2+b2c2+c2a2+2ab2c+2abc2+2a2bc，
∴a2b2+b2c2+c2a2＝（ab+bc+ca）2﹣2ab2c﹣2abc2﹣2a2bc
＝（﹣2）2﹣2abc（a+b+c）
＝4﹣2abc×0，
＝4．
∵a+b+c＝0，
∴c＝﹣a﹣b．
∵a2+b2+c2＝4，
∴a2+b2+（﹣a﹣b）2＝4．
即 2a2+2b2+2ab＝4
∴a2+b2+ab＝2
∴原式＝＝2．
【巩固练习】
1.如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，再将剩下的阴影部分剪开，拼成右边的长方形，根据图形的变化过程可以验证下列哪一个等式成立（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
2.我们可以用图形中的面积关系解释很多代数恒等式．能用下面图形的面积关系解释的代数恒等式是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
3.如图，有A、B、C三种类型的卡片若干张，如果要拼成一个长为，宽为的大长方形，则需要A类、B类、C类卡片的张数分别为（ ）

A. 5，3，6B. 6，7，2C. 6，2，7D. 5，2，6
【答案】C
4.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点H为AE的中点，连接DH、FH，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为12，图2的阴影部分面积为10，则图1的阴影部分面积为（ ）
A．24B．29C．41D．45
【答案】C
5.利用图形中面积的等量关系可以得到某些数学公式．例如，根据图甲，我们可以得到两数和的平方公式： ．你根据图乙能得到的数学公式是 ．

【答案】 ．
用如图所示的正方形和长方形卡片若干张，拼成一个边长为2a+b的正方形，需要B类卡
片 张．

【答案】4
7.小聪在学习完乘法公式后，发现完全平方公式经过适当的变形或数形结合，可以解决很多数学问题．如图摆放两个正方形卡片，A、M、B在同一直线上．若AB=5，且两个正方形面积之和为13，则阴影部分的面积为 ．
【答案】6
8.如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图1中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是________；
（2）利用（1）中的结论，若，，求的值；
（3）如图3，点C是线段上的一点，分别以、为边在的同侧作正方形和正方形，连接、、，当时，的面积记为，当时，的面积记为，以此类推，当时，的面积记为，计算的值．
【答案】（1）故答案为：；
【小问2详解】
由（1）中公式可得：
．
同理可得：
；
【小问3详解】
连接，
在正方形和正方形中，，
，
∴和的边上的高相等，
．
当时，，
当时，，
……
当时，，
∴
．
9.数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．
(1)观察图 2， 请你写出下列三个代数式：之间的等量关系：为_______；
(2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片 张，B 号卡片_____张，C号卡片____张；
(3)解答问题：若则的值为_______；
(4)两个正方形 ABCD,AEFG 如图 3 摆放,边长分别为 x,y . 若 x2−y2=25 ,则图中阴影部分面积的和为_____.
【答案】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为
故答案为：；
（2）解：


∵A种纸片的面积为B种纸片的面积为C种纸片的面积为，
∴需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张，
故答案为：；
（3）解：∵
∴，
∴；
（4）阴影部分的面积和为：
10.【阅读材料】
对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个因式分解的等式．如图1-1，边长为的大正方形切去一个边长为的小正方形，剩余部分的面积为，如图1-2，把剩余部分按如图所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方形（或正方形），则甲的面积为，乙的面积为，丙的面积为，所以
，
【尝试应用】
（1）利用材料中得到的因式分解等式计算：_____；
（2）通过不同的方法表示同一个几何体的体积，也可以探求相应的因式分解等式．如图2-1，棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积按如图2-2所示的方式继续切割为甲、乙、丙三个长方体，类比第（1）题，求可得到的因式分解等式为_____；
【拓广探索】
（3）若，，且，．求的值．
【答案】（1）9800；
（2）棱长为的实心大正方体切除一个棱长为的小正方体，剩余部分的体积，
甲的体积为：，
乙的体积为：，
丙的体积为：，
∴剩余部分的体积为甲、乙、丙的体积之和，即，
∴，
故答案为：；
[拓广探索]
（3）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
根据（2）的计算得到，
同理，，
∴．
11.如图1，边长为a的大正方形内有一个边长为b的小正方形．

（1）用含字母的代数式表示图1中阴影部分的面积为__________；
（2）将图1的阴影部分沿斜线剪开后，拼成了一个如图2所示的长方形，用含字母的代数式表示此长方形的面积为__________；（多项式乘积的形式）
（3）比较图1和图2的阴影部分面积，请你写出一个整式乘法的公式__________；
（4）结合（3）的公式，计算：①(x−2)(x+2)x2+4；
②1+121+1221+1241+128+1215．
【拓展】
直接写出2+122+124+128+1⋯232+1+1结果的个位数字．
【答案】（1）由图1可知，阴影部分的面积为a2−b2，
故答案为：a2−b2；
（2）由图1可知，长方形的长为a+b，宽为a−b，
∴图2中长方形的面积为a+ba−b，
故答案为：a+ba−b；
（3）由题意可知，图1中阴影面积与图2长方形面积相等，
∴a2−b2=a+ba−b，
故答案为：a2−b2=a+ba−b；
（4）①(x−2)(x+2)x2+4
=x2−4x2+4
=x4−16；
②1+121+1221+1241+128+1215
=21−121+121+1221+1241+128+1215
=21−1221+1221+1241+128+1215
=21−1241+1241+128+1215
=21−1281+128+1215
=21−1216+1215
=2−1215+1215
=2；
拓展：2+122+124+128+1⋯232+1+1
=2−12+122+124+128+1⋯232+1+1
=22−122+124+128+1⋯232+1+1
=24−124+128+1⋯232+1+1
=28−128+1⋯232+1+1
=216−1216+1232+1+1
=232−1232+1+1
=264−1+1
=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，……
∴2n结果的个位数字4次为一个循环，
∵64÷4=16，
∴264结果的个位数字为6．
12. 【知识生成】我们已经知道，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积可以得到一个数学等式，例如由图1可以得到，请解答下列问题：

（1）写出图2中所表示的数学等式______；
（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：
已知，，求的值；
（3）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形，z张宽、长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为长方形，则______；
（4）【知识迁移】事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图4①表示的是一个棱长为x的正方体挖去一个棱长为y的小正方体，小明由图2操作得到启发，请你根据分割如图4②的操作，写出一个数学等式：______．
（5）【解决问题】分解因式：______，______．
【答案】（1）
（2）∵，，
∴；
【小问3详解】
∵
∴，，，
∴，
故答案为：
小问4详解】
由题意可得：
故答案为：
【小问5详解】
，
故答案为：；．