苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业06二元一次方程组的解法(知识梳理+9大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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暑假作业06 二元一次方程组的解法
知识点01 二元一次方程组的相关概念
1）二元一次方程的定义：方程中含有两个未知数（一般用和），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
2）二元一次方程的解 定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3）二元一次方程组的定义：把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组. 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数.
4）二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
知识点02 二元一次方程组的解法
1）解二元一次方程组的思想
2）解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有（或）的代数式表示（或），即变成（或）的形式；
②将（或）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去（或），得到一个关于（或）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出（或）的值；
④把（或）的值代入（或）中，求（或）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解.
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.
知识点03 三元一次方程组
1）定义：含有三个未知数，且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组.
2）三元一次方程组的解法：解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
题型一 二元一次方程的定义
1．下列方程中，属于二元一次方程的是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知是关于x，y的二元一次方程，则 ．
3．如果是关于x、y的二元一次方程，求m的值．
题型二 二元一次方程的解
1．若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则的值为（ ）
A．3B．2C．D．5
2．若是二元一次方程的一组解，则的值为 ．
3．已知是二元一次方程的一个解．
(1)求m的值；
(2)用含x的代数式表示y．
题型三 已知二元一次方程组的解求参数
1．已知 是二元一次方程组的解，则的值是（ ）
A．1B．2C．3D．4
2．已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
3．已知是方程组的解，求k和m的值．
题型四 代入消元法
1．用代入法解方程组，消去y后所得到的方程，正确的是（ ）
A．B．C．D．
2．已知二元一次方程，用含x的代数式表示y，则 ．
3．已知方程是关于的二元一次方程．
(1)求的值；
(2)用含的式子表示．
题型五 加减消元法
1．利用加减消元法解方程组，嘉嘉说：要消去x，可以将；淇淇说：要消去y，可以将，关于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉对，淇淇不对B．嘉嘉不对，淇淇对
C．嘉嘉和淇淇都对D．嘉嘉和淇淇都不对
2．已知关于、的方程组，则的值为 （用含的代数式表示）
3．在《二元一次方程组》的单元复习时，李老师给出方程组，请同学们用自己喜欢的方法解这个方程组．
小丽和小华解方程组的部分过程如下表：
(1)小丽和小华解方程组的过程是否正确：小丽的过程______，小华的过程______．（在横线处填写“正确”或“不正确”）
(2)请你用喜欢的方法解二元一次方程组：．
题型六 二元一次方程组的特殊解法
1．对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（ ）
A．B．0C．4D．6
2．小明对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出了这样的想法：这两个方程组之间存在一定的联系，可以尝试用“整体替换”的方法进行求解． 按照小明的想法，可以求出方程组的解为 ．
3．计算：解方程组
题型七 二元一次方程组的错解复原问题
1．在解关于x，y的方程组时甲看错①中的a，解得，乙看错②中的b，解得，则a和b的正确值应是（ ）
A．，B．，C．，D．，
2．小明和小文解一个二元一次方程组，小明正确解得，小文抄错了，解得，已知小文抄错了外没有发生其他错误，则
3．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为乙把字母b看错了得到方程组的解为
(1)求a，b的正确值；
(2)求原方程组的解．
题型八 同解方程组
1．与方程组有相同解的方程是（ ）
A．B．
C．D．
2．已知关于x、y的方程组与有相同的解，则a和b的值为 ．
3．已知关于，的方程组和关于，的方程组的解相同，求的值．
题型九 三元一次方程组
1．为确保信息安全，信息需要加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文，，，对应密文，，，如果接收方收到密文7，12，22，则解密得到的明文为（ ）
A．6，2，7B．2，6，7C．6，7，2D．7，2，6
2．小梦在某购物平台上购买甲、乙、丙三种商品，当购物车内选择3件甲、2件乙、1件丙时显示的价格为420元；当购物车内选择2件甲、3件乙、4件丙时显示的价格为580元，则当她购买甲、乙、丙各三件时，应该付款 元．
3．解下列三元一次方程组：
(1)
(2)
1．已知方程组，则的值是（ ）
A．B．2C．D．0
2．二元一次方程组的解是二元一次方程的解，那么的值是（ ）
A．B．C．D．
3．若与的值互为相反数，则的值为（ ）
A．B．C．D．
4．已知关于，的方程组，下列结论：
①当时，方程组的解也是的解；②无论取何值，，不可能互为相反数；
③，都为非负整数的解有对；④若，则，其中不正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5．已知二元一次方程组有正整数解，则正整数m的值为（ ）
A．4或5B．5或6C．4或8D．6或8
6．已知实数、满足，则的值是 ．
7．已知是方程组的解，则的值为 .
8．如果方程组的解是二元一次方程的一个解，那么m的值为 ．
9．若关于x，y的方程组的解是，则方程组的解是 ．
10．二元一次方程组有可能无解，例如方程组无解，原因是：将，得，它与②式存在矛盾，导致原方程组无解．若关于，的方程组无解，则，满足的条件是 ．
11．用代入法解方程组：
12．已知关于，的方程组与有相同的解，求的值．
13．（1）已知关于，的二元一次方程组与方程有相同的解，求的值．
（2）关于，的二元一次方程组的解为正整数，求整数的值．
14．已知关于x，y的方程组
(1)用含m的代数式表示x、y；
(2)若方程组的解也满足方程，求m的值：
(3)当a、b满足什么条件时，无论m取何值，是个定值，并求出这个定值．
15．【计算】
小红计算时，得到的结果是，则“”表示的数为 ．
【发现】
小红对计算结果很感兴趣，她发现有些数A可以表示成（x、y为自然数）的形式，她把这类数称为“神秘数”，例如：，，…，所以3，19，327是“神秘数”．请写出两个10以内的“神秘数”（不包含3）： ， ．
【探究】
小红进一步研究，发现像19，327这样的“神秘数”可以用两个连续奇数按发现中给出的运算表达出来，她把这些“神秘数”称为“双奇神秘数”．试说明所有“双奇神秘数”被4除余3．
【应用】
若两个“双奇神秘数”的差是12，则这两个“双奇神秘数”是 和 ．
1．（2021·江苏无锡·中考真题）方程组的解是（ ）
A．B．C．D．
2．（2019·江苏南通·中考真题）已知a、b满足方程组，则a+b的值为( )
A．2B．4C．—2D．—4
3．（2022·江苏无锡·中考真题）二元一次方程组的解为 ．
4．（2020·江苏南京·中考真题）已知x、y满足方程组，则的值为 ．
5．（2019·江苏宿迁·中考真题）下面3个天平左盘中“△”“□”分别表示两种质量不同的物体，则第三个天平右盘中砝码的质量为 ．
6．（2023·江苏连云港·中考真题）解方程组
7．（2021·江苏扬州·中考真题）已知方程组的解也是关于x、y的方程的一个解，求a的值．
8．（2020·江苏连云港·中考真题）解方程组．
小丽：②①，得
小华：由②得③，把①代入③，得