苏科版2025年新七年级数学暑假培优练暑假作业09证明(知识梳理+6大题型+拓展突破)(原卷版+解析)

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暑假作业09 证明
知识点01 定义、命题、真命题、假命题
定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义.
命题：判断一件事情的句子叫命题．
注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．其中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项．
真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题.
假命题：如果条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.
注意：当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可.要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推理,证明它的正确性.
知识点02 证明
根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明．经过证明的真命题称为定理.
证明的步骤：1）根据题意，画出图形；2）根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；3）写出证明过程. 推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理.
知识点03 三角形的内角和定理及其推论
三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180°.
推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和.
三角形内角和定理主要用在求三角形中角的度数．①直接根据两已知角求第三个角；②依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；③在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一锐角．
知识点04 互逆命题
在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.
每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命题的逆命题也不一定仍为假命题.
题型一 判断是否是命题
1．下列语句是命题的是（ ）
A．两直线被第三条直线所截B．过直线外一点作这条直线的垂线
C．百家争鸣思想活跃D．内错角相等
【答案】D
【分析】本题考查了命题的概念，根据命题是能具有判定的语句，由题设和结论组成进行判定即可，掌握命题的概念是解题的关键．
【详解】解：A、两直线被第三条直线所截是陈述句，不是命题，不符合题意；
B、过直线外一点作这条直线的垂线是陈述句，不是命题，不符合题意；
C、百家争鸣思想活跃是陈述句，不是命题，不符合题意；
D、内错角相等，题设是内错角，结论是相等，是命题，符合题意；
故选： D．
2．下列语句在表述形式上，有什么共同特点？
（1）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（2）两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补；
（3）对顶角相等；
（4）等式两边都加同一个数，结果仍是等式．
你的发现：这些语句都是对一件事情作出了 ．
像这样判断一件事情的语句，叫作 ．
注意：①只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是 ．
②如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就 命题．
【答案】 判断 命题 命题 不是
3．下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
(1)将27开立方．
(2)任意三角形的三条中线相交于一点吗？
(3)锐角小于直角．
(4)（a为实数）．
【答案】(1)不是命题
(2)不是命题
(3)是命题
(4)是命题
【分析】根据命题的定义进行逐一判断即可．
【详解】（1）解：将27开立方不是命题；
（2）解：任意三角形的三条中线相交于一点吗？不是命题；
（3）解：锐角小于直角是命题；
（4）解：（a为实数）是命题．
【点睛】本题主要考查了命题的定义， 一般地，在数学中把用语言，符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．
题型二 判断命题真假
1．下列命题中是真命题的是（ ）
A．相等的角是对顶角B．同位角相等，两直线平行
C．若a⊥b，，则D．同旁内角互补
【答案】B
【分析】本题考查了平行线、对顶角、垂线及内错角等知识．利用平行线的性质、对顶角的定义、垂线的性质及平行的判定分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
B、同位角相等，两直线平行，故原说法正确，是真命题，符合题意；
C、在同一平面内的3条直线，，，若，，则，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
D、两直线平行，同旁内角互补，故原说法错误，是假命题，不符合题意；
故选：B．
2．下列命题中是真命题的有 ．（填序号）
①如果a⊥b，，则；
②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
③同位角相等；
④同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直；
⑤互补的两个角是邻补角；
⑥过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条；
⑦有理数和数轴上的点一一对应．
【答案】④
【分析】本题考查真假命题的判断，涉及垂直性质、平行线的判定与性质、有理数与数轴、邻补角定义、角平分线的定义等性质，根据相关知识逐个判断即可．
【详解】解：①如果，，未添加条件“在同一平面内”，无法判断a与c的关系，故①中命题是假命题；
②在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②中命题是假命题；
③两直线平行，同位角相等，故③中命题是假命题；
④如图，，平分，平分，
∴，，
∴，
∴，即，
∴同旁内角互补，则它们的角平分线互相垂直，故④中命题是真命题；
⑤互补的两个角不一定是邻补角，故⑤中命题是假命题；
⑥在同一平面内，过一点画已知直线的垂线可以画而且只能画一条，故⑥中命题是假命题；
⑦有理数和数轴上的点不是一一对应，故⑦中命题是假命题．
故答案为：④．
3．如图，①，②平分，③，④平分．
(1)若以②③④为条件，①为结论组成一个命题，则这个命题是_______（“真”或“假”）命题；
(2)证明（1）中的结论．
【答案】(1)真
(2)证明见解析
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的判定，角平分线的定义：
（1）由角平分线的定义得到，再根据已知条件可证明，即可证明，据此可得结论；
（2）同（1）证明即可．
【详解】（1）解：当以②③④为条件，①为结论组成一个命题时，
∵平分，平分
∴，
又∵
∴，
∴；
∴以②③④为条件，①为结论组成一个命题，这个命题是真命题；
故答案为：真；
（2）证明：∵平分，平分
∴
又∵，
∴，
∴．
题型三 写出一个命题的已知、求证及证明过程
1．试说明“若，，，则”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为（已知）；
②因为，（已知）；
③所以，（等式的性质）；
④所以（等量代换）；
⑤所以（等量代换）．
正确的顺序是( )
A．①→③→②→⑤→④B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④D．②→⑤→①→③→④
【答案】C
【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．
【详解】证明：因为，（已知），
所以，（等式的性质）；
因为（已知），
所以（等量代换）．
所以（等量代换）．
∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．
故选C．
【点睛】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．
2．实验、观察、归纳得到的结论 正确．因此，要判断一个数学结论是否正确，仅仅依靠实验、观察、归纳是不够的，必须进行有根有据的 ．
【答案】 不一定， 证明
3．命题：直角三角形的两锐角互余．

(1)将此命题写成“如果…，那么…”：______；
(2)请判断此命题的真假．若为假命题，请说明理由；若为真命题，请根据所给图形写出已知、求证和证明过程．
【答案】(1)如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
(2)该命题是真命题，详见解析
【分析】本题考查的是直角三角形的性质，逆命题的概念：
（1）根据逆命题的概念写出原命题的逆命题；
（2）根据三角形内角和定理计算，即可证明．
【详解】（1）解：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；
故答案为：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
（2）解：该命题是真命题
已知：如图，在中，
求证：
证明：
．
题型四 根据给出的论断组命题并证明
1．下列问题你不能肯定的是（ ）
A．一支铅笔和一瓶矿泉水的体积大小问题B．三角形与矩形的面积关系
C．三角形的内角和D．边形的外角和
【答案】B
【详解】试题解析：A. 二者大小关系一目了然，能肯定；
B. 二者面积大小关系不确定，不能肯定；
C. 能用三角形的内角和定理判断，能肯定；
D. 能用多边形的外角和判断，能肯定；
故选B.
2．如图所示，已知，，．下列结论：①；②；③．其中正确的结论是 ．（填序号）
【答案】①②③
【分析】根据SSS证明△ABD△FEC，由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可.
【详解】解：∵，
∴，
∴BD=EC，
∵，，
∴△ABD△FEC（SSS），
∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE，
∴，，
所以①②③都正确，
故答案为①②③.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质.
3．如图，有下列三个条件：①DE//BC；②；③．
(1)若从这三个条件中任选两个作为题设，另一个作为结论，组成一个命题，一共能组成几个命题？请你都写出来；
(2)你所写出的命题都是真命题吗？若是，请你就其中的一个真命题给出推理过程；若不是，请你对其中的假命题举出一个反例（温馨提示：）
【答案】(1)一共能组成三个命题，见解析
(2)都是真命题，推理见解析
【分析】（1）（1）根据两条件一结论组成命题，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可判定①②，根据平行线的判定，可判定③，即可
【详解】（1）解：一共能组成三个命题：
①如果DE//BC，，那么；
②如果DE//BC，，那么；
③如果，，那么DE//BC ；
（2）解：都是真命题，
如果DE//BC，，那么，
理由如下：∵DE//BC，
∴，
∵，
∴．
如果DE//BC，，那么；
理由如下：∵DE//BC，
∴，，
∵，
∴；
如果，，那么DE//BC ；
理由如下：∵，
∴∠B+∠C=180°-∠BAC，
∵∠1+∠2+∠BAC=180°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC，
∴∠B+∠C=∠1+∠2，
∵，，
∴∠B=∠1，
∴DE//BC ．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，判断命题的真假，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
题型五 写出命题的逆命题
1．下列命题的逆命题是假命题的是（ ）
A．对顶角相等B．两直线平行，同位角相等
C．若，则D．若，则
【答案】A
【分析】本题主要考查了逆命题、真假命题、平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
依据平行线的性质和判定、对顶角的定义以及有理数的乘方、等式性质逐项分析判断即可．
【详解】解：A．“对顶角相等”其逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这个命题是假命题，故符合题意；
B．“两直线平行，同位角相等”其逆命题为“同位角相等，两直线平行”，这个命题是真命题，故不符合题意；
C．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意；
D．“若，则”其逆命题为“若，则”，这个命题是真命题，故不符合题意．
故选：A．
2．命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是 命题．（填“真”或“假”）
【答案】真
【分析】本题考查了互逆命题的知识及命题的真假判断，把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题．命题“同旁内角互补，两直线平行”的条件是同旁内角互补，结论是两直线平行，故其逆命题是两直线平行，同旁内角互补，因为逆命题符合两直线平行的性质故是真命题．
【详解】解：命题“同旁内角互补，两直线平行”的逆命题是：两直线平行，同旁内角互补．
它是真命题，
故答案为：真．
3．写出下列各命题的逆命题，并判断逆命题的真假：
(1)对顶角相等；
(2)如果，那么．
【答案】(1)相等的角是对顶角；假命题
(2)如果，那么；真命题
【分析】本题考查了逆命题、判断命题的真假：
（1）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解；
（2）根据逆命题的定义写出逆命题，再根据判断命题的真假即可求解；
熟练掌握根据原命题写出逆命题是解题的关键．
【详解】（1）解：对顶角相等的逆命题：相等的角是对顶角，是假命题．
（2）如果，那么的逆命题：如果，那么，是真命题．
题型六 判断是否为互逆命题
1．下列说法错误的是（ ）
A．任何命题都有逆命题B．任何定理都有逆定理
C．命题的逆命题不一定是真命题D．定理的逆定理一定是真命题
【答案】B
【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意；
B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意；
C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意；
D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意；
故选：B．
2．命题1：如果直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，那么．命题2：如果一个三角形的三条边长分别为，，，且，那么这个三角形是直角三角形．则命题1与命题2是 命题．
【答案】互逆
【分析】根据互逆命题的定义直接得出的答案，在两个命题中，如果一个命题的结论和题干是另一个命题的题干和结论，则称它们为互逆命题．
【详解】根据互逆命题的定义可知命题1与命题2是互逆命题，
故答案为：互逆
【点睛】本题考查了互逆命题的定义，理解定义是解题的关键．
3．写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假．
(1)全等三角形的对应边相等；
(2)互为相反数的两个数的和为零．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查命题书写及判断真假：
（1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
（2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案；
【详解】（1）解：由题意可得，
“若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等，
∵三角形全等对应边相等，
∴该命题是真命题，
逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题；
（2）解：由题意可得，
“若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零，
∵两个互为相反的数和为0，
∴是真命题，
逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题．
1．为说明命题“若，则”是假命题，所列举反例正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是命题的证明和判断，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据举反例时需满足题设，而不满足结论求解即可．
【详解】解：A、，则，不是反例，不符合题意；
B、，则，不是反例，不符合题意；
C、，则，是反例，符合题意；
D、，，则，不是反例，不符合题意；
故选：C．
2．下列命题中，是真命题的是（ ）
A．同旁内角互补
B．相等的角是对顶角
C．如果，那么
D．同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
【答案】D
【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，垂线的定义，对顶角的定义，乘方的定义，熟知相关知识是解题的关键．
【详解】解：A、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
B、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意；
C、如果，那么，原命题是假命题，不符合题意；
D、同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，原命题是真命题，符合题意；
故选：D．
3．下列命题中真命题有（ ）
①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
②两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补；
③如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】B
【分析】本题考查定理与命题，解题的关键是掌握平行线的判定与性质、垂直的相关定理．根据平行线的判定与性质、垂直的相关定理逐项判断．
【详解】解：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，所以原命题是真命题；
②两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，所以原命题是假命题；
③在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，所以原命题是假命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，所以原命题是真命题；
故选：B．
4．下列命题：①同旁内角互补；②若，则；③同角的补角相等； ④三角形三个内角的和等于．其中是真命题的个数是（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】C
【分析】根据平行线的性质，绝对值的意义，同角的补角的性质，三角形内角和定理逐一判断，即可得到答案．
【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意；
②，但，原命题是假命题，不符合题意；
③同角的补角相等，原命题是真命题，符合题意；
④三角形三个内角的和等于，原命题是真命题，符合题意；
所以，真命题的个数是2个，
故选：C．
【点睛】本题考查了真假命题，熟练掌握相关定理和性质是解题关键．
5．甲和乙玩一个猜数游戏，规则如下：已知五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，现甲、乙两人分别从中各自随机取一张，然后根据自己手中的数推测谁手上的数更大，甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大；乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大。假设甲、乙所作出的推理都是正确的，那么乙手中的数是（ ）
A．5B．4C．3D．不能确定
【答案】B
【分析】先分析甲手中的数，根据甲不知道谁手中的数更大，推出甲手中的数不可能为2和6，再根据乙也不知道谁手中的数更大，即可推出乙手中的数不可能为3和5，即可得出答案
【详解】五张纸牌上分别写有2、3、4、5、6五个数字，
∵甲看了看自己手中的数，想了想说：我不知道谁手中的数更大，
∴甲手中的数可能为3，4，5，
∵乙听了甲的判断后，思索了一下说：我也不知道谁手中的数更大．
∴乙手中的数不可能是3，5，只能是4．
故选：B．
【点睛】本题考查逻辑推理，考查简单的合情推理，根据题目意思分析判断是解题的关键．
6．命题“若，则”的逆命题是 ．
【答案】若a-3b
【分析】根据逆命题睥定义求解即可．
【详解】解：若，则的逆命题是若a-3b，
故答案为：若a-3b．
【点睛】本题考查逆命题，熟练掌握逆命题的定义“一个命题的题设是另一个命题结论，结论是另一个命题的题设，这样的两个命题互为逆命题”是解题的关键．
7．“锐角与钝角是互为补角”是 命题．（填写“真”或“假”）
【答案】假
【分析】利用互补的定义进行判断即可．
【详解】解：30°的锐角和100°的钝角的和为130°，不是互为补角，
所以“锐角与钝角是互为补角”是假命题．
故答案为：假．
【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是能够举出反例．
8．甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现甲共当裁判9局，乙、丙分别进行了14局、12局比赛，在这半天的训练中，甲、乙、丙三人共进行了 局比赛，其中最后一局比赛的裁判是 ．
【答案】 17 甲
【分析】先确定了乙与丙打了9局，甲与丙打了3局，乙与甲打了5局，进而确定三人一共打的局数，可推导出甲当裁判9局，乙当裁判3局，丙当裁判5局，甲当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案．
【详解】解：∵甲当了9局裁判，
∴乙、丙之间打了9局，
又∵乙、丙分别共打了14局、12局，
∴乙与甲打了局，丙与甲打了局，
∴甲、乙、丙三人共打了局，
又∵甲当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数，
∴甲当裁判的局为奇数局，
∴最后一局比赛的裁判是：甲，
故答案为：17，甲．
【点睛】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题．
9．电脑系统中有个“扫雷”游戏，游戏规定：一个方块里最多有一个地雷，方块上面如果标有数字，则是表示此数字周围的方块中地雷的个数． 如图1中的“3”就是表示它周围的八个方块中有且只有3个有地雷．如图2，这是小明玩游戏的局部，图中有4个方块已确定是地雷（标旗子处），其它区域表示还未掀开，问在标有“A”~“G”的七个方块中，能确定一定是地雷的有 （填方块上的字母）．
【答案】B、D、F、G
【分析】根据题意，初步推断出C对应的方格必定不是雷， A、B对应的方格中有一个雷，中间D、E对应方格中有一个雷且最右边的“4”周围4个方格中有3个雷，由此再观察C下方“2”、B下方的“2”、D下方的“2”和F下方的“4”，即可推断出A、C、E对应的方格不是雷，且B、D、F、G对应的方格是雷，由此得到本题答案．
【详解】解：由题图中第三行第一列的“1”可知,第二行第一列是雷。 用假设法推理如下：①假设A是雷，则由B下方的2可知：B不是雷；C不是雷；与C下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则A不可能是雷；
②假设B不是雷，由B下方的“2”可知：C是雷，由C下方的“2”可知：D是雷；与D下方的“2”发生矛盾。假设不成立，则B是雷；
③假设A不是雷，B是雷，则由B下方的“2”可知，C不是雷；由C下方的“2”可知，D是雷；由D下方的“2”可知：E不是雷；由E下方的“3”可知，F是雷；由F下方的4可知：G是雷，∴B、D、F、G一定是雷．
故答案为：B、D、F、G．
【点睛】本题主要考查了推理论证，本题给出扫雷游戏的图形，要求我们推理A、B、C、D、E、F对应方格是否为雷，着重考查了扫雷的基本原理和推理与证明的知识．
10．小明在解答“已知ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以∠B＜90°．
（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
【答案】（3）（4）（1）（2）
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
【详解】证明：假设，
那么，由，得，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），
故答案为：（3）（4）（1）（2）．
【点睛】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
11．证明：平行于同一条直线的两条直线平行．
已知：____________．
求证：____________．
证明：
【答案】见解析
【分析】写出已知，求证，利用平行线的判定定理证明即可．
【详解】已知：如图，直线中，，，

求证：．
证明：作直线的截线，交点分别为．

∵,
∴，
∵,
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
12．某次数学竞赛中有5道选择题，每题1分，每道题在A、B、C三个选项中，只有一个是正确的．下表是甲、乙、丙、丁四位同学每道题填涂的答案和这5道题的得分：
(1)则丁同学的得分是 ；
(2)如果有一个同学得了1分，他的答案可能是 （写出一种即可）
【答案】(1)3
(2)（答案不唯一）
【分析】（1）分甲从第1题到第5题依次错一道，进而得出其余四道的正确选项，再根据乙，丙的选项和得分判断，进而得出甲具体选错的题号，即可得出结论；
（2）由（1）先得出五道题的正确选项，然后留一个正确，其他都错误即可得出结论．
【详解】（1）解：当甲选错了第1题，那么，其余四道全对，
针对于乙来看，第1，3，5道错了，做对两道，此时，得分为2，而乙得分3，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错了第2题，那么其余四道全对，
针对于乙来看，第2，3，5道错了，做对2道，此时，得分为2分，而乙得分3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第3题时，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第5道错了，而乙的得分是3分，所以，乙只能做对3道，即：第3题乙也选错，即：第3题的选项C正确，
针对于丙来看，第1，5题错了，做对3道，此时，丙的得分为3分，而丙的得分为2分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第4题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3，4，5道错了，做对了2道，此时，得分2分，而乙的得分为3分，所以，此种情况不符合题意，
当甲选错第5题，那么其余四道都对，
针对于乙来看，第3道错了，而乙的得分为3分，所以，乙只能做对3道，所以，乙第5题也错了，所以，第5题的选项A是正确的，
针对于丙来看，第1，3，5题错了，做对了2道，得分2分，
针对于丁来看，第3，5题错了，做对了3道，得分3分，
故答案为：3；
（2）解：由（1）知，五道题的正确选项分别是：，
如果有一个同学得了1分，那么，只选对1道，
即：他的答案可能是或或或等，
故答案为：（答案不唯一）
【点睛】此题是推理论证题目，确定出五道题目的正确选项是解本题的关键．
13．如图，在三角形中，点在边的延长线上，射线在的内部．给出下列信息：①；②平分；③．请选择其中的两条信息作为条件，余下的一条信息作为结论组成一个真命题，并说明理由．
【答案】答案见详解
【分析】根据平行线性质及判定，角平分线定义及等量代换即可得到证明；
【详解】解：选择①②作为条件，③作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴平分；
选择①③作为条件，②作为结论．理由如下：
∵，
∴，，
∵平分，
∴，
∴；
选择②③作为条件，①作为结论．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，，
∴，
∴；
【点睛】本题考查书写命题，平行线的性质与判定及角平分线的定义，解题的关键是正确书写命题．
14．如图，已知直线，给出下列信息：
①；②平分；③．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是 ，结论是 (只要填写序号)，并说明理由．
(2)在（1）的条件下，若比的倍少度，求的度数．
【答案】(1)①②；③；理由见解析
(2)
【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据等角的余角相等可得出，再由平行线的性质可得，从而结论得证；
（2）由（1）得：，根据比的倍少度，可得关系式，求得，，再根据即可得到的度数．
【详解】（1）解：条件：①②，结论：③．理由如下：
∵平分，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：①②；③．
（2）由（1）得：，
∵比的倍少度，
∴，
∴，
解得：，
∴，
∴．
∴的度数．
【点睛】本题考查了角平分线的定义，等角的余角相等，平行线的性质，解方程组等知识．理解和掌握平行线的性质，等角的余角相等是解题的关键．
15．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：
①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF．
(1)请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）．
(2)请证明（1）中你组成的命题的正确性．
【答案】(1)②③，①
(2)见解析
【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可；
（2）以②③为条件，在三角形CEF和BDF中通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF=∠CBE．
【详解】（1）解：选择的条件是②③，结论是①；
（2）证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD，
∴∠CEB=∠BFD，
∵CD⊥AB，
∴∠BFD+∠DBF=90°，
∵∠CBE+∠CEB=90°，
∴∠DBF=∠CBE，
∴BE平分∠ABC．
【点睛】本题考查了命题的定义，三角形内角和，解题的关键是要读懂题意，选择正确的条件和结论．
1．（2022·上海·中考真题）下列说法正确的是（ ）
A．命题一定有逆命题B．所有的定理一定有逆定理
C．真命题的逆命题一定是真命题D．假命题的逆命题一定是假命题
【答案】A
【分析】根据命题的定义和定理及其逆定理之间的关系，分别举出反例，再进行判断，即可得出答案．
【详解】解：A、命题一定有逆命题，故此选项符合题意；
B、定理不一定有逆定理，如：全等三角形对应角相等没有逆定理，故此选项不符合题意；
C、真命题的逆命题不一定是真命题，如：对顶角相等的逆命题是：相等的两个角是对顶角，它是假命题而不是真命题，故此选项不符合题意；
D、假命题的逆命题定不一定是假命题，如：相等的两个角是对顶角的逆命题是：对顶角相等，它是真命题，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了命题与定理，掌握好命题的真假及互逆命题的概念是解题的关键．把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，所有的命题都有逆命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．
2．（2020·四川雅安·中考真题）下列四个选项中不是命题的是（ ）
A．对顶角相等
B．过直线外一点作直线的平行线
C．三角形任意两边之和大于第三边
D．如果，那么
【答案】B
【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．
【详解】解：由题意可知，
A、对顶角相等，故选项是命题；
B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，故选项不是命题；
C、三角形任意两边之和大于第三边，故选项是命题；
D、如果，那么，故选项是命题；
故选：B．
【点睛】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．
3．（2022·江苏无锡·中考真题）请写出命题“如果，那么”的逆命题： ．
【答案】如果，那么
【分析】根据逆命题的概念解答即可．
【详解】解：命题“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】此题考查了互逆命题的知识，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
4．（2022·浙江湖州·中考真题）“如果，那么”的逆命题是 ．
【答案】如果，那么
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，从而得出答案．
【详解】解：“如果，那么”的逆命题是：
“如果，那么”，
故答案为：如果，那么．
【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是理解题意，掌握逆命题的定义．
5．（2019·江苏泰州·中考真题）命题“三角形的三个内角中至少有两个锐角”是 （填“真命题”或“假命题”）．
【答案】真命题
【分析】根据三角形内角和为180°进行判断即可．
【详解】∵三角形内角和为180°，
∴三角形的三个内角中至少有两个锐角，是真命题；
故答案为真命题．
【点睛】本题考查命题与定理.判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．
第一题
第二题
第三题
第四题
第五题
得分
甲
C
C
A
B
B
4
乙
C
C
B
B
C
3
丙
B
C
C
B
B
2
丁
B
C
C
B
A